人教A版 (2019)選擇性必修第一冊1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示精品達(dá)標(biāo)測試-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解空間直角坐標(biāo)系.
2.能在空間直角坐標(biāo)系中寫出所給定點、向量的坐標(biāo)．
知識點一空間直角坐標(biāo)系
1．空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念
(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O(shè)為原點，分別以i，j，k 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
(2)相關(guān)概念：O叫做原點，i，j，k 都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．
2．右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
思考空間直角坐標(biāo)系有什么作用？
答案可以通過空間直角坐標(biāo)系將空間點、直線、平面數(shù)量化，將空間位置關(guān)系解析化．
知識點二空間一點的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量eq \(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底 {i，j，k}下與向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)．
思考空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)有何特征？
答案 x軸上的點的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，即(x，0,0)．
y軸上的點的橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，即(0，y，0)．
z軸上的點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為0，即(0,0，z)．
知識點三空間向量的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝(x，y，z)．
思考空間向量的坐標(biāo)和點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？
答案點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x，y，z)，那么向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 的坐標(biāo)也為(x，y，z)．
1．空間直角坐標(biāo)系中，在x軸上的點的坐標(biāo)一定是(0，b，c)的形式．( × )
2．空間直角坐標(biāo)系中，在xOz平面內(nèi)的點的坐標(biāo)一定是(a，0，c)的形式．( √ )
3．關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對稱的點其縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)相反．( √ )
一、求空間點的坐標(biāo)
例1 (1)畫一個正方體ABCD－A1B1C1D1，若以A為坐標(biāo)原點，以棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則
①頂點A，C的坐標(biāo)分別為________________；
②棱C1C中點的坐標(biāo)為________；
③正方形AA1B1B對角線的交點的坐標(biāo)為________．
(2)已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出各頂點的坐標(biāo)．
反思感悟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系的原則
①讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面．
②充分利用幾何圖形的對稱性．
(2)求某點M的坐標(biāo)的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，即點M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，再求M點在z軸上射影的豎坐標(biāo)z，即為M點的豎坐標(biāo)z，于是得到M點的坐標(biāo)(x，y，z)．
跟蹤訓(xùn)練1 在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD，H為C1G的中點，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E，F(xiàn)，G，H的坐標(biāo)．
二、空間點的對稱問題
例2 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點P(－2,1,4)．
(1)求點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)；
(2)求點P關(guān)于xOy平面對稱的點的坐標(biāo)；
(3)求點P關(guān)于點M(2，－1，－4)對稱的點的坐標(biāo)．
反思感悟空間點對稱問題的解題策略
(1)空間點的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．
(2)對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個結(jié)論．
跟蹤訓(xùn)練2 已知點P(2,3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點為P1，點P1關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點為P2，點P2關(guān)于z軸的對稱點為P3，則點P3的坐標(biāo)為________．
三、空間向量的坐標(biāo)
例3 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M為BC1的中點，N為A1B1的中點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC1,\s\up6(—→))，eq \(BC1,\s\up6(—→))的坐標(biāo)．
反思感悟向量坐標(biāo)的求法
(1)點A的坐標(biāo)和向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 的坐標(biāo)形式完全相同；
(2)起點不是原點的向量的坐標(biāo)可以通過向量的運算求得．
跟蹤訓(xùn)練3 已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，設(shè)點A，B在yOz平面上的射影分別為A1，B1 ，則向量eq \(A1B1,\s\up6(—→))的坐標(biāo)為__________．
1．點P(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是在( )
A．y軸上 B．xOy面上 C．xOz面上 D．yOz面上
2．在空間直角坐標(biāo)系中，點P(1,3，－5)關(guān)于平面xOy對稱的點的坐標(biāo)是( )
A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)
C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)
3．在空間直角坐標(biāo)系中，點P(－1，－2，－3)到平面yOz的距離是( )
A．1 B．2 C．3 D.eq \r(14)
4．點P(1,1,1)關(guān)于xOy平面的對稱點P1的坐標(biāo)為______；點P關(guān)于z軸的對稱點P2的坐標(biāo)為________．
5．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，則向量eq \(AC1,\s\up6(—→))的坐標(biāo)為________．
1．知識清單：
(1)空間直角坐標(biāo)系的概念．
(2)點的坐標(biāo)．
(3)向量的坐標(biāo)．
2．方法歸納：
數(shù)形結(jié)合、類比聯(lián)想．
3．常見誤區(qū)：
混淆空間點的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)的概念，只有起點在原點的向量的坐標(biāo)才和終點的坐標(biāo)相同．

1.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則點B1的坐標(biāo)是( )
A．(1,0,0) B．(1,0,1) C．(1,1,1) D．(1,1,0)
2．點A(0，－2,3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是( )
A．在x軸上 B．在xOy平面內(nèi)
C．在yOz平面內(nèi) D．在xOz平面內(nèi)
3．在空間直角坐標(biāo)系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)兩點的位置關(guān)系是( )
A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于yOz平面對稱
C．關(guān)于坐標(biāo)原點對稱 D．以上都不對
4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點P(1，eq \r(2)，eq \r(3))，過點P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標(biāo)為( )
A．(0，eq \r(2)，0) B．(0，eq \r(2)，eq \r(3))
C．(1,0，eq \r(3)) D．(1，eq \r(2)，0)
5．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，B1E＝eq \f(1,4)A1B1，則eq \(BE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)，－1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0，－1))
6．點P(1,2，－1)在xOz平面內(nèi)的射影為B(x，y，z)，則x＋y＋z＝________.
7．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，則線段AB中點的坐標(biāo)為________．
8．已知空間直角坐標(biāo)系中三點A，B，M，點A與點B關(guān)于點M對稱，且已知A點的坐標(biāo)為(3,2,1)，M點的坐標(biāo)為(4,3,1)，則B點的坐標(biāo)為________．
9.建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，正方體DABC－D′A′B′C′的棱長為a，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中點，寫出正六邊形EFGHIJ各頂點的坐標(biāo)．
10.如圖所示，過正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的邊長為2，OP＝2，連接AP，BP，CP，DP，M，N分別是AB，BC的中點，以O(shè)為原點，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\(OM,\s\up6(→))，\(ON,\s\up6(→))，\f(1,2)\(OP,\s\up6(→))))為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系．若E，F(xiàn)分別為PA，PB的中點，求點A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)．
11．已知空間中點A(1,3,5)，點A與點B關(guān)于x軸對稱，則向量點B的坐標(biāo)為________．
12．在空間直角坐標(biāo)系中，點M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影為點M1，則點M1關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是________．
13．如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為2，則圖中的點M關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為________．
14.如圖是一個正方體截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則△ABC的重心G的坐標(biāo)是________．
15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(2,1，－1)，則p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為________．
16．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，BC＝2，原點O是BC的中點，點D在平面yOz內(nèi)，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求點D的坐標(biāo)．
1．3.2 空間向量運算的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握空間向量的坐標(biāo)表示.
2.掌握空間兩點間距離公式.
3.會用向量的坐標(biāo)解決一些簡單的幾何問題．
知識點一空間向量的坐標(biāo)運算
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
思考空間向量運算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示有何聯(lián)系？
答案空間向量運算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致；如：一個空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)．
知識點二空間向量的平行、垂直及模、夾角
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
當(dāng)b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
知識點三空間兩點間的距離公式
設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
則P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2).
思考已知點A(x，y，z)，則點A到原點的距離是多少？
答案 OA＝|eq \(OA,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
1．空間直角坐標(biāo)系中，向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)與終點B的坐標(biāo)相同．( × )
2．設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b則eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2).( × )
3．設(shè)A(0,1，－1)，O為坐標(biāo)原點，則eq \(OA,\s\up6(→))＝(0,1，－1)．( √ )
4．若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2). ( √ )
一、空間向量的坐標(biāo)運算
例1 (1)已知O為坐標(biāo)原點，A，B，C三點的坐標(biāo)分別是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求點P的坐標(biāo)，使eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))．
(2)已知a＝(λ＋1,1,2λ)．若|a|＝eq \r(5)，且與c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
反思感悟空間向量坐標(biāo)運算的規(guī)律及注意點
(1)由點的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個端點的坐標(biāo)確定；
(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后代入公式計算．
(3)由條件求向量或點的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標(biāo)．
跟蹤訓(xùn)練1 已知a＋b＝(2，eq \r(2)，2eq \r(3))，a－b＝(0，eq \r(2)，0)，則a＝________，b＝______，a·b＝________.
二、向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用
命題角度1 空間平行垂直問題
例2 如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M是線段EF的中點．
求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
命題角度2 夾角、距離問題
例3 如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點．
(1)求BN的長；
(2)求A1B與B1C所成角的余弦值．
反思感悟利用空間向量的坐標(biāo)運算的一般步驟
(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點的坐標(biāo)；②寫出向量的坐標(biāo)．
(3)論證、計算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算．
(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為平行與垂直、夾角與距離問題．
跟蹤訓(xùn)練2 如圖，長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD，H為C1G的中點．
(1)求證：EF⊥B1C；
(2)求FH的長．
(3)求EF與C1G所成角的余弦值；
利用空間向量解決探索性問題
典例正方體ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中點，點H在平面ABCD上，且GH∥BD1，試判斷點H的位置．
[素養(yǎng)提升]
(1)解決本題的關(guān)鍵是建立正確、恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算問題．
(2)通過計算解決幾何中的探索性問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力．
1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O為坐標(biāo)原點，若eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，則點B的坐標(biāo)應(yīng)為( )
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ>0，則λ等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是( )
A．1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,5)
4．在空間直角坐標(biāo)系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝eq \r(110)，則m的值為________．
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))的夾角為________．
1．知識清單：
(1)向量的坐標(biāo)的運算．
(2)向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用．
2．方法歸納：類比、轉(zhuǎn)化．
3．常見誤區(qū)：
(1)由兩向量共線直接得到兩向量對應(yīng)坐標(biāo)的比相等．
(2)求異面直線所成的角時易忽略范圍；討論向量夾角忽略向量共線的情況．

1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，則b等于( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
2．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，則C的坐標(biāo)是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(k，1)，若a＋2b與a－b平行，則k的值是( )
A．－6 B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D．14
4．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq \r(14)，若(a＋b)·c＝7，則a與c的夾角為( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，則對角線|eq \(AC1,\s\up6(—→))|的長為( )
A．9 B.eq \r(29) C．5 D．2eq \r(6)
6．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三點共線，則m＋n＝________.
7．若eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4,6，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥eq \(AB,\s\up6(→))，a⊥eq \(AC,\s\up6(→))，則a＝________.
8．已知點A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，則點P的坐標(biāo)是________．
9．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|eq \(AB,\s\up6(→))|取最小值時，A，B兩點的坐標(biāo)，并求此時的|eq \(AB,\s\up6(→))|.
10.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB＝eq \r(3)，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點．
(1)求AC與PB所成角的余弦值；
(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥平面PAC，求N點的坐標(biāo)．
11．一束光線自點P(1,1,1)出發(fā)，被xOy平面反射到達(dá)點Q(3,3,6)被吸收，那么光線所經(jīng)過的距離是( )
A.eq \r(37) B.eq \r(33) C.eq \r(47) D.eq \r(57)
12．已知O為坐標(biāo)原點，eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當(dāng)eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)，\f(3,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(7,3)))
13．若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夾角為鈍角，則實數(shù)x的取值范圍是________．
14．三棱錐P－ABC各頂點的坐標(biāo)分別為A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，則三棱錐P－ABC的體積為________．
15．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則eq \(BP,\s\up6(→))＝________.
16．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1為正三角形，所有的棱長都是2，M是BC邊的中點，則在棱CC1上是否存在點N，使得異面直線AB1和MN所成的角等于45°？
向量運算
向量表示
坐標(biāo)表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數(shù)量積
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

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