高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示評(píng)優(yōu)課教學(xué)課件ppt

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人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)
1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示
我國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題》中指出:“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式,簡(jiǎn)單講就是形與數(shù),歐幾里得幾何體系的特點(diǎn)是排除了數(shù)量關(guān)系,對(duì)于研究空間形式,你要真正的‘騰飛’,不通過數(shù)量關(guān)系,我想不出有什么好的辦法…….” 吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”,也就是坐標(biāo)系的引入,使得幾何問題“代數(shù)化”,為了使得空間幾何“代數(shù)化”,我們引入了坐標(biāo)及其運(yùn)算.
1. 了解空間直角坐標(biāo)系理解空間向量的坐標(biāo)表示2. 掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示3. 掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用4. 掌握空間向量的模夾角以及兩點(diǎn)間距離公式，能運(yùn)用公式解決問題
?
z
知識(shí)辨析：1.畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分成八個(gè)部分.2.在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.本書建立的都是右手直角坐標(biāo)系.
2.點(diǎn)的坐標(biāo)
3.向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,作 .由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),可簡(jiǎn)記作a=(x,y,z).
1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}為空間的一個(gè)單位正交基底,則a的坐標(biāo)為　　　　.?
(3,2,-1)
答案:向量 的坐標(biāo)恰好是終點(diǎn)P的坐標(biāo),這就實(shí)現(xiàn)了空間基底到空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換.
思考：在空間直角坐標(biāo)系中,向量 的坐標(biāo)與終點(diǎn)P的坐標(biāo)有何關(guān)系?
二、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則設(shè)向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)　
(λa1,λa2,λa3)　
a1b1+a2b2+a3b3
2.空間向量的坐標(biāo)與其端點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則 =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).
3.空間向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則(1)當(dāng)b≠0時(shí),a∥b?a=λb?　　 　　　　　　(λ∈R);?(2)a⊥b?　　　　　?　　　　　　　　　　.?
點(diǎn)睛：當(dāng)b的坐標(biāo)中b1,b2,b3都不等于0時(shí),a與b平行的條件還可以表示為a∥b? .
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
4.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標(biāo)表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則
1.已知空間向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),則有m+n=　　　　　?,3m-n=　　　　　?,(2m)·(-3n)=　　　　　.?
(-1,-1,1)
(5,-11,19)
168
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
4
2.已知空間向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,則λ=　 　,若a⊥b,則 λ=　　.?　　
用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下:
例2 已知在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).
思路分析先由點(diǎn)的坐標(biāo)求出各個(gè)向量的坐標(biāo),再按照空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解.
(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.
空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算注意以下幾點(diǎn):(1)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于這個(gè)向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則類似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,牢記運(yùn)算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵.(3)運(yùn)用公式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算:(a ± b)2=a2±2a·b+b2; (a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.
(2)把ka+b與ka-2b用坐標(biāo)表示出來,再根據(jù)數(shù)量積為0求解.
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,
向量平行與垂直問題主要題型(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題,即平行與垂直的應(yīng)用.解題時(shí)要注意:①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)a=λb),建立關(guān)于參數(shù)的方程;②最好選擇坐標(biāo)形式,以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.
3.已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).(1)若a∥b,分別求λ與m的值;
例4如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點(diǎn).
(1)求BM,BN的長(zhǎng).(2)求△BMN的面積.
思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,寫出B,M,N等點(diǎn)的坐標(biāo),從而得出 的坐標(biāo).然后利用模的公式求得BM,BN的長(zhǎng)度.對(duì)于(2),可利用夾角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面積公式計(jì)算.
解:以C為原點(diǎn),以CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).
反思感悟向量夾角與模的計(jì)算方法 利用坐標(biāo)運(yùn)算解 空間向量夾角與長(zhǎng)度的計(jì)算問題,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用夾角與模的計(jì)算公式進(jìn)行求解.
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為A1D1,BB1的中點(diǎn),則cos∠EAF=　　　　,EF=　　　　.?
解析:以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則
一題多變——空間向量的平行與垂直
由題意,可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a,1),
延伸探究1 若本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ,其他條件不變,結(jié)果如何?
延伸探究2 本例中若點(diǎn)G是A1D的中點(diǎn),點(diǎn)H在平面xOy上,且GH∥BD1,試判斷點(diǎn)H的位置.
A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)
答案:D　
2.下列向量中與向量a=(0,1,0)平行的向量是(　　)A.b=(1,0,0) B.c=(0,-1,0) C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)
答案:B　
解析:比較選項(xiàng)中各向量,觀察哪個(gè)向量符合λa=(0,λ,0)的形式,經(jīng)過觀察,只有c=-a.
3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,則k的值等于(　　)
答案:D　
4.已知點(diǎn)A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),則A,B兩點(diǎn)的距離的最小值為(　　)
答案:C　
解析:因?yàn)辄c(diǎn)A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,
5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).(1)計(jì)算2a-3b和|2a-3b|.(2)求.
解　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，
課程結(jié)束
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