\l "_Tc176427335" 【題型歸納】
\l "_Tc176427336" 題型一：求平面的法向量
\l "_Tc176427337" 題型二：利用向量研究平行問題
\l "_Tc176427338" 題型三：利用向量研究垂直問題
\l "_Tc176427339" 題型四：異面直線所成的角
\l "_Tc176427340" 題型五：線面角
\l "_Tc176427341" 題型六：二面角
\l "_Tc176427342" 題型七：距離問題
\l "_Tc176427343" 【重難點集訓(xùn)】
\l "_Tc176427344" 【高考真題】
【題型歸納】
題型一：求平面的法向量
1．（2024·高二·全國·課堂例題）在正方體中，，分別為棱，的中點，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：

(1)平面的一個法向量；
(2)平面的一個法向量．
【解析】（1）設(shè)正方體的棱長為2，
則，，，，
（1）設(shè)平面的一個法向量為，
，，
則即
令，則，，
平面的一個法向量為．（答案不唯一）
（2），，
設(shè)平面的一個法向量為．
即
令，則，，
平面的一個法向量為．（答案不唯一）
2．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，是邊長為1的正三角形，是菱形，，E是的中點，F(xiàn)是的中點，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面的一個法向量.

【解析】連接，因為是邊長為1的正三角形，，F(xiàn)為的中點，
所以，又因為平面⊥平面，平面平面，平面，
所以平面.
連接AC，因為，，所以是等邊三角形，又F為的中點，所以.
綜上可知，直線兩兩垂直，
所以建立以為原點，分別為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
由題意，在正和正中，，
則，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，即，化簡得，
令，則，即
所以平面的一個法向量為（答案不唯一）.
3．（2024·高二·廣東江門·期末）如圖，在棱長為3的正方體中，點在棱上，且．以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角
坐標(biāo)系．
(1)求平面的一個法向量；
(2)求平面的一個法向量．
【解析】（1）因為x軸垂直于平面，所以是平面的一個法向量．
（2）因為正方體的棱長為3，，
所以M，B，的坐標(biāo)分別為，，，
因此，，
設(shè)是平面的法向量，則
，，
所以，
取，則，．于是是平面的一個法向量．
4．（2024·高二·全國·課堂例題）如圖所示，已知空間直角坐標(biāo)系中的三棱錐中，，其中，求平面的一個法向量．
【解析】依題意，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，則，因此
所以平面的一個法向量為．
題型二：利用向量研究平行問題
5．（2024·高二·全國·課堂例題）如圖，在平行六面體中，，，分別是，，的中點，請選擇恰當(dāng)?shù)幕蛄孔C明：
(1)；
(2)平面平面．
【解析】（1）取基，
因為
，
，
所以，
又，無公共點，所以．
（2）因為
，
，
所以，
又，無公共點，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
又由（1）知，
同理可得平面，
又，
平面，
所以平面平面．
6．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱臺中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，，，P為AB的中點.求證：平面；
【解析】底面ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，
故，，兩兩垂直.
以為原點，分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
在四棱臺中，，，P為AB的中點，
故,
則,
所以，即，
且平面，平面，
故平面.
7．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面滿足，底面， 且，E為中點．求證：面
【解析】由題可知底面，，故兩兩垂直．
則以A為原點，分別為x、y、z軸正方向建系，
，
則，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，令，則，
所以，
而，
所以，又面，
∴面；
8．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，且點分別為和的中點， 求證：平面.
【解析】以為原點，分別以所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，可得，，
又因為分別為和的中點，可得，
又由向量為平面的一個法向量，且,
由此可得，又因為直線平面，所以平面.
題型三：利用向量研究垂直問題
9．（2024·高二·全國·課堂例題）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，為的中點，于點．求證：平面．

【解析】因為平面，平面，所以，
又因為底面是正方形，所以，
所以，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)，
則，，，，．
所以，，．
法一：因為，所以，所以，
又因為，，平面，
所以平面．
法二：設(shè)，則，．
因為，所以，
即．①
又因為，可設(shè)，所以，，．②
由①②可知，，，，所以．
設(shè)為平面的法向量，
則有，即，所以，取，則．
所以，所以平面．
10．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）在三棱錐中，，，，為線段的中點.證明：.

【解析】取中點，作，如圖，以中點為原點，
以方向為軸，過O垂直平面的方向為z軸，建立如下空間直角坐標(biāo)系，
因為，所以， ，
又是等邊三角形，設(shè)，
因為為線段的中點，所以，，
故，所以，，
得到，
因為，所以，
而，，
所以，
解得，所以，，所以，
設(shè)，因為是等邊三角形，
所以，故，而，，
所以，解得，所以，
因為，所以，又，，
故，
由兩點間距離公式得，解得，
所以，故，
而，可得，
故得證.
11．（2024·高三·江蘇南通·階段練習(xí)）已知四棱錐的底面為直角梯形，平面，.

(1)若點是棱上的動點，且滿足，證明：平面；
(2)若點為棱上的一點（不含端點），試探究上是否存在一點N，使得平面ADN平面BDN？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐
標(biāo)系，
則，，，，,
因為點是棱上靠近的三等分點，即，則，
則，，，
設(shè)平面的一個法向量為，滿足
令，則，則．
，∴，
又平面，所以平面．
（2）存在．
設(shè)，則，，，
設(shè)平面的一個法向量為，滿足
令，則，故?。?br>，，
設(shè)平面的法向量為，
滿足
令，則，故取，
若平面平面，則，即
解得，此時為的中點，則．
12．（2024·高二·山西大同·期中）如圖，在直三棱柱中，，垂足為，為線段上的一點.

(1)若為線段的中點，證明：平面；
(2)若平面平面，求的值.
【解析】（1）連接，在直三棱柱中，有，
.
為中點，
又為中點，，
，，
又平面平面，
平面.
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
，
設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，取，得，
設(shè)平面的法向量，
則，取，得，
平面平面，
，解得，
當(dāng)平面平面時，.
題型四：異面直線所成的角
13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱中， ，，求向量與的夾角.
【解析】直三棱柱中，平面，平面，平面，
則有，故，，
由，，有，得，故，
又， E為的中點，有.
，有.
得
有＝，
又，所以.
即向量與的夾角為.
14．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在棱長為a的正方體中，求異面直線和所成角的大?。?br>
【解析】方法一：以D為原點，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以．
所以，
所以．
又因為異面直線所成角滿足，
所以異面直線和所成角的大小為．
方法二：
因為，
所以．
因為，
所以，而，
所以．
所以，
所以．
又因為異面直線所成角滿足，所以異面直線和所成角的大小為．
題型五：線面角
15．（2024·高三·湖南·階段練習(xí)）已知四棱錐中，平面底面為的中點，為棱上異于的點．
(1)證明：；
(2)試確定點的位置，使與平面所成角的余弦值為．
【解析】（1）如圖，連接交于點．
因為為的中點，，所以．
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，
因為平面，所以．
因為，所以，所以，
所以，
因為平面，
所以平面．
因為平面，所以．
（2）如圖，取的中點，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)
系，
設(shè)，則，
則，
設(shè)，
所以，
所以，即．
則，
設(shè)平面的法向量為，則
即取，
設(shè)與平面所成的角為，
由，得．
所以，
整理得，
因為，所以，即，
故當(dāng)位于棱靠近的三等分點時，與平面所成角的余弦值為．
16．（2024·高二·廣東廣州·期中）如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分別為，的中點.

(1)求證：平面；
(2)求與平面所成角的正弦值.
【解析】（1）以為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則,
，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則 ，取，得，
因為，所以平面；
（2）
，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，取，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則直線與平面所成角的正弦值為：
．
17．（2024·高三·北京海淀·開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中， 為直角，側(cè)面為正方形， ，分別為，的中點．
(1)求證：平面；
(2)求證：；
(3)求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）連接，
在中，因為分別為，的中點，所以
又平面，平面，所以平面．
（2）因為直三棱柱中，為側(cè)棱，
所以平面，
因為平面，
所以，
又為直角，
所以
又，平面，
所以平面，
因為平面，
所以，
由（1），所以.
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，．，
因此，．
設(shè)平面的法向量為，
，即
令，則，于是，
設(shè)直線與平面所成角為．
所以．
18．（2024·廣東深圳·一模）如圖，平面ABCD，，點E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點．
(1)求證：平面CPM；
(2)若N為線段CQ上的點，且直線DN與平面QPM所成的角為，求的值．
【解析】（1）連接EM，由，得，
又，則四邊形為平行四邊形，
由點E和M分別為AP和BQ的中點，得且，
而，F(xiàn)為CD的中點，則且，
四邊形為平行四邊形，則，又平面MPC，平面MPC，
所以平面MPC．
（2）由平面，，得直線兩兩垂直，
以D為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)為平面PQM的法向量，則，
取，得，
設(shè)，即，
則，，
由直線DN與平面PMQ所成的角為，得，
即，整理得，而，解得，
所以.
題型六：二面角
19．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在長方體中，點E，F(xiàn)分別在，上，且，．
(1)求證：平面平面AEF；
(2)當(dāng)，，求平面與平面的夾角的余弦值．
【解析】（1）為長方體 平面
平面∴
又，且，平面，
平面
平面AEF
平面平面
（2）依題意，建立以D為原點，以DA，DC，分別為x，y，z軸的空直角坐標(biāo)系，
則，
則
設(shè)平面的法向量為．則，即
令，則．．
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，所以平面的法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為
20．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是梯形，，E，F(xiàn)，G分別為，CD的中點．
(1)證明：平面．
(2)若，求二面角的余弦值．
【解析】（1）取的中點，連接.
因為是的中位線，所以，且.
同理可得，且.
又，且，所以，且.
則四邊形是平行四邊形，從而.
因為平面，平面，所以平面.
（2）在直四棱柱中，因為，所以兩兩垂直.
以A為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
因為，所以，
則
設(shè)平面的法向量為，
則，令，可得，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，可得，
所以
易知二面角為銳角，所以其余弦值為.
21．（2024·高三·四川達(dá)州·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)求證：平面；
(2)設(shè)點滿足，若平面與平面的夾角為，求實數(shù)．
【解析】（1）證明：平面平面，．
又，且平面，
平面．
平面．
又平面，
平面．
（2）由（1）知四邊形為正方形，即，且有，
以點為原點，以所在直線分別為軸，以過點和平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則．
，
．
設(shè)平面的一個法向量為，由得：
，?。?br>由（1）知平面平面的一個法向量為，
，解得.
所以.
22．（2024·高三·安徽·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，平面∥為的中點.
(1)若，證明：平面；
(2)已知，平面和平面的夾角的余弦值為，求.
【解析】（1）因為平面平面，可知，
且為的中點，則，
若，即，則，
且，平面平面，
所以平面.
（2）由題意可知：平面，，
以A為坐標(biāo)原點，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因為，設(shè)，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得；
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得；
由題意可得：，解得（舍負(fù)），
所以.
23．（2024·高二·河南焦作·開學(xué)考試）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體，.
(1)求點到平面的距離；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【解析】（1）由題可知，
得，
設(shè)平面的一個法向量為，
所以有，
令解得，
故平面的一個法向量，
所以點到平面的距離為.
（2）由題可知，
得，
設(shè)平面的一個法向量為，
所以有，
令解得，
故平面的一個法向量，
同理平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面夾角為，顯然為銳角，
則.
題型七：距離問題
24．（2024·高二·江蘇淮安·階段練習(xí)）將邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折疊使得△ACD垂直于底面ABC，則異面直線AD與BC的距離為 ．
【答案】/
【解析】取的中點，連結(jié)，，
由條件可知，平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
如圖，以點為原點，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，
，，,
設(shè)與垂直的向量為，則
，令，則，所以，
則異面直線AD與BC的距離為.
故答案為：
25．（2024·高二·浙江金華·期中）已知在棱長為4的正方體中，.

(1)求點到直線的距離；
(2)求點到平面的距離；
(3)在此正方體中，，則稱線段的長為異面直線與的公垂線段長，也稱為異面直線與的距離.試求異面直線與的距離.
【解析】（1）
如圖根據(jù)正方體性質(zhì)，可以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，
可以得到各點坐標(biāo)．，，，，．
，，，
則點到直線的距離.
（2），，，
設(shè)平面法向量為，則，
令，則，則.
則到平面的距離.
（3），，，
設(shè)與的公垂線方向向量為.則，
解得，則.
則異面直線與的距離.
26．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知正方體的棱長為1，為中點，求下列問題：
(1)求異面直線與的距離；
(2)求到平面的距離；
(3)求到平面的距離；
(4)求平面與平面的距離.
【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，、、
、、，
所以，，
設(shè)是與，都垂直的向量，
則，即，即，令得，
選與的兩點向量為，
得與的距離.
（2），設(shè)為平面的法向量，則，
即，即，令得，
選點到平面兩點向量為，
由公式得：點到平面的距離.
（3）由（2）可知：平面的法向量可設(shè)，
設(shè)與平面的兩點向量為，
故直線到平面的距離.
（4），，
設(shè)分別為平面、平面的一個法向量，
所以，令，可得，所以，
，令，可得，所以，
所以，所以平面平面，
可得點到平面的距離即為所求，，
所以點到平面的距離為，
故平面與平面的距離為.
【重難點集訓(xùn)】
1．（2024·高三·河北保定·開學(xué)考試）如圖，在正方體中，分別為的中點，則直線和夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】化為空間向量問題，以作為基底，則
，
設(shè)向量和的夾角為，
則直線和夾角的余弦值等于.進(jìn)行向量運算
因為四面體為正四面體，所以且夾角均為，
所以
.
故選：C.
【法二】分別以所在的直線為軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)正方體的棱長為2，
得
得.
設(shè)向量和的夾角為，
則直線和夾角的余弦值等于.
進(jìn)行向量運算得..
故選：C
【法三】連接，易得，
則直線和夾角即為直線和所成角或其補(bǔ)角，
設(shè)正方體的棱長為2，
則中，，
由余弦定理得，.
故選：C
2．（2024·高二·河南焦作·開學(xué)考試）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由空間直角坐標(biāo)系中有棱長為2的正方體，
點分別是和的中點，
可得，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
設(shè)直線與平面所成角，則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
故選：B.
3．（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，．
設(shè)平面的法向量為，則，
取，得，
所以點到平面的距離為，
故選：D．
4．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）正方體中，點M是上靠近點的三等分點，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為是正方體，所以平面平面,
平面平面,平面平面,
所以,是靠近的三等分點，
所以,
平面平面即是,
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長為3，
則
設(shè)直線l與所成角為
.
故選：D.
5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知平行六面體中，棱兩兩的夾角均為，，E為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題意以為基底表示出可得：
，，
又棱兩兩的夾角均為，不妨取，則；
所以；
；
又
；
所以，
因此異面直線與所成角的余弦值為.
故選：D
6．（2024·高二·陜西西安·期末）在正方體中，是棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長為2，
則，
所以
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
故選：A.
7．（2024·高二·湖南株洲·開學(xué)考試）如圖，在棱長為2的正方體中，為線段上的動
點，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．直線與所成的角不可能是
B．若，則二面角的平面角的正弦值為
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，點到平面的距離為
【答案】B
【解析】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
對于A，設(shè)，故，
故，而，
設(shè)直線與所成的角為，則，
若直線與所成的角是，則，
整理得到：，此方程在上無實數(shù)解，
故直線與所成的角不可能是，故A正確.
對于B，當(dāng)時，結(jié)合A分析得，此時，
故，而，設(shè)此時平面的法向量為，
則即，取，則，，故，
又，，設(shè)平面的法向量為，
則即，取，則，，故，
故，故二面角的平面角的正弦值為，故B錯誤.
對于C，當(dāng)時，又B的分析可得，故，故，故C正確.
對于D，當(dāng)時，結(jié)合A中分析可得，故，故，
而，設(shè)平面的法向量為，
則即，取，則，，故，
又，故到平面的距離為，故D正確.
故選：B.
8．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）正方體的棱長為2，，，，分別是棱，，，的中點，則平面和平面之間的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向，并均以1為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，，
所以，因為四點不共線，所以∥，
由面，面，則面，
因為，，分別是棱，的中點，所以∥，
同理，∥平面，而，面，
所以平面∥平面面，故平面，
所以平面和平面之間的距離，就是到平面的距離，也就是點到平面的距離．
設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，則，
所以點到平面的距離，
即平面和平面之間的距離是．
故選：B
9．（多選題）（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖所示，在矩形中，，，平面，且，點為線段（除端點外）上的動點，沿直線將翻折到，則下列說法中正確的是（ ）
A．存在點，使平面.
B．當(dāng)點固定在線段的某位置時，點的運動軌跡為圓
C．點到平面的距離為
D．異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是
【答案】BCD
【解析】對A，無論在（端點除外）的哪個位置，均不與垂直，
故不與平面垂直，故A錯；
對B，當(dāng)點固定在線段的某位置時，線段的長度為定值，
，過作于點，為定點，
的長度為定值，且在過點與垂直的平面內(nèi)，
故的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故B對；
對C，以，，為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，．
，
設(shè)平面的法向量為，
，取，
則點A到平面的距離為，故C對；
選項D：設(shè)，，，，
設(shè)與所成的角為，
則，故D正確.
故選：BCD．
10．（多選題）（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖，是正三角形的一條中位線，將沿折起，構(gòu)成四棱錐，為的中點，則（ ）
A．平面
B．平面
C．若平面平面，則的一個方向向量為
D．若，則平面的一個法向量為
【答案】BCD
【解析】對于A，若平面，因為，平面，平面，
所以平面，又因為，所以平面平面，
但平面與平面相交，所以假設(shè)不成立，所以不平行平面，不正確；
對于B，因為，，所以，，
又因為，所以平面，正確；
對于C，將沿折起，使到，且平面平面，
以的中點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)三角形的邊長為2，
則，，，，，
，正確；
對于D，設(shè)，因為，，
所以，
所以，，，
因為，所以，
所以，，
設(shè)平面，
所以，
故，正確．
故選：BCD．
11．（多選題）（2024·高三·河北·階段練習(xí)）如圖所示， 在長方體中，，，，， 點 在長方體的表面上運動. 則下列說法正確的是（ ）
A．
B．直線與所成角的余弦值為
C．若， 則四面體的體積的最小值為 4
D．若， 則點的軌跡長度為
【答案】BCD
【解析】對于A，由，知為靠近點的三等分點，所以延長后會相交與一點，
又因為,所以直線與平面會相交，所以，故錯誤；
對于B，因為,為長方體，所以由勾股定理可得，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以,
則直線與所成角的余弦值為，故B正確；
對于C，,（定值），
因為，點在以為球心，半徑為3的球面上運動，
所以當(dāng)運動到上時，四面體的體積最小，四面體的體積最小,
此時,所以，故C正確；
對于D，當(dāng)，如圖所示，
在后側(cè)面的軌跡為，
在右側(cè)面的軌跡為，
在左側(cè)面的軌跡為弧，在前側(cè)面內(nèi)的軌跡為弧.
，，
，則，
則的軌跡長度為.故D正確.
故選：BCD
12．（2024·高二·安徽馬鞍山·期末）二面角中，，且，若，，則此二面角的大小為 ．
【答案】
【解析】
如圖所示，根據(jù)題意知：，，
，，
易知二面角的平面角即，
所以，
即，
由空間向量夾角的范圍知，所以，
即此二面角的大小為.
故答案為：
13．（2024·高二·廣東佛山·階段練習(xí)）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF 上移動，且CM和BN
的長度保持相等，記，當(dāng)MN的長最小時，平面MNA與平面MNB夾角的正弦值為 .
【答案】
【解析】以原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
因為，所以，
所以，
當(dāng)時，最小，此時，為中點，則，
取的中點，連接，則，
因為，，所以，，
所以是平面與平面的夾角或其補(bǔ)角，
因為，，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值是，
所以平面與平面夾角的正弦值是．
14．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，正方體的棱長為2，E、F分別是棱BC、的中點，動點P在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，若平面AEF，則線段長度的最小值是 ．
【答案】/
【解析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、，，設(shè)點，其中、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
，因為平面，則，
所以，，即，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，的長度取最小值.
故答案為：.
15．（2024·高三·山東煙臺·開學(xué)考試）如圖，矩形中，為的中點，將沿折起，使平面平面，且點滿足，且.
(1)求直線與平面所成角的正切值；
(2)求幾何體的體積.
【解析】（1）取中點中點，連接，
由題易得，
，
面面，面面面，
∴平面，
又為中點，則在矩形中，四邊形為正方形，
，
兩兩垂直，且.
以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，.
，平面的一個法向量為.
.
，則，
，則直線與平面所成角的正切值為.
（2）.
.
，
.
所求幾何體的體積為2.
16．（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面.
(1)若，證明：平面；
(2)若，且，線段上是否存在一點，使得二面角的正弦值為？若存在，求出點在線段上的位置；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）在四棱錐中，由平面，平面，得，
又平面，則平面，
而平面，于是，由，得，
則，又平面平面，
所以平面.
（2）由（1）知，過點作平面，則直線兩兩垂直，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
假設(shè)存在點滿足條件，令，
，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
由平面，得為平面的法向量，
由二面角的正弦值為，得，
即，而，解得，
所以點是線段上靠近點的三等分點，使得二面角的正弦值為.
17．（天舟高考?衡中同卷2024屆高三9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E是線段PC的中點．
(1)證明：；
(2)設(shè)，．記直線BE與平面PBD所成的角為，求的最大值．
【解析】（1）取的中點為，連接，
又因為E是線段PC的中點，所以，且；
又，，可得，，
所以四邊形為平行四邊形，即；
由平面ABCD,平面ABCD，所以，
又，平面，，
所以平面，也即平面，
又平面，可得，
又，因此.
（2）由（1）可知三條直線兩兩垂直，
因此以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
則，可得，
所以
設(shè)平面PBD的一個法向量為，
所以，令，可得，
即
由直線BE與平面PBD所成的角為，
可得
；
由可得
令，
根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以，
可得
所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值.
18．（2024·高三·江蘇常州·開學(xué)考試）如圖，平行六面體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且，，，，AC與BD交于O．
(1)證明：平面ABCD；
(2)求二面角的正弦值．
【解析】（1）∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∴．
∵，，∴，∴．
∵點O為線段BD中點，∴．
在中，，，，
∴，∴．
則，∴．
又，平面ABCD，平面ABCD，
∴平面ABCD．
（2）由（1）知，平面ABCD，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
則，，．
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，
則，即，取，則．
，即，取，則．
設(shè)二面角大小為，則．
∴，
∴二面角的正弦值為．
19．（2024·高三·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，分別為棱的中點，為棱上的動點．

(1)求正四棱柱過點的截面的面積；
(2)是否存在點，使得二面角的大小為?若存在，求出的長度；若不存在，說明理由．
【解析】（1）
連接，，取的中點為，連接，，
因為為的中點，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，且，
又因為為的中點，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，且，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，即四點共面
又，分別為棱的中點，則,
因此，過點的截面即為菱形
又，，
所以菱形的面積為：，
即正四棱柱過點的截面的面積為.
（2）
在正四棱柱中，，，兩兩垂直，
以為原點，，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則,，，
因為為棱上的動點，可設(shè)，則，，
設(shè)平面的法向量，，，
則，即，
取，則，即；
設(shè)平面的法向量，，，
則，即，
取，則，即，
若存在點，使得二面角的大小為．
則，
解得， (舍)
當(dāng)與重合時，即，此時二面角為銳角，
又當(dāng)二面角的大小為時，則，
因此要使二面角為銳角，而，
即時，二面角的大小為，
所以棱上不存在點，使得二面角的大小為.
【高考真題】
1．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】A
【解析】在正方體中，
且平面，
又平面，所以，
因為分別為的中點，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
選項BCD解法一：
如圖，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
同理可得平面的法向量為，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，
所以平面與平面不垂直，故B錯誤；
因為與不平行，
所以平面與平面不平行，故C錯誤；
因為與不平行，
所以平面與平面不平行，故D錯誤，
故選：A.
選項BCD解法二：
對于選項B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，
在內(nèi)，作于點，在內(nèi)，作，交于點，連結(jié)，
則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，為中點，則，
由勾股定理可得，
從而有：，
據(jù)此可得，即，
據(jù)此可得平面平面不成立，選項B錯誤；
對于選項C，取的中點，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；
對于選項D，取的中點，很明顯四邊形為平行四邊形，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；
故選：A.
2．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)II卷））在長方體
中，，，則異面直線與所成角的余弦值為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.
以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,
因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.
3．（2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國大綱卷））已知正四棱柱中，，則CD與平面所成角的正弦值等于
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)， 面積為
考點：線面角
4．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國Ⅱ卷））直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】以C為原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設(shè)CA=CB=1，則
，，A（1，0，0），，故，，所以
，故選C.
考點：本小題主要考查利用空間向量求線線角，考查空間向量的基本運算，考查空間想象能力等數(shù)學(xué)基本能力，考查分析問題與解決問題的能力.
5．（2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（北京卷））如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1的距離的最小值為 .
【答案】
【解析】點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離，設(shè)點P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長度的最小值，當(dāng)P′C⊥DE時，P′C的長度最小，此時P′C＝＝.
6．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．
(1)若為線段中點，求證：平面．
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【解析】（1）取的中點為，接，則，
而，故，故四邊形為平行四邊形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因為，故，故，
故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
則
設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為
7．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【解析】（1）因為為的中點，所以，
四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，
平面，所以平面；
（2）如圖所示，作交于，連接，
因為四邊形為等腰梯形，，所以，
結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，
所以為等邊三角形，為中點，所以，
又因為四邊形為等腰梯形，為中點，所以，
四邊形為平行四邊形，，
所以為等腰三角形，與底邊上中點重合，，，
因為，所以，所以互相垂直，
以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，
，設(shè)平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，即，令，得，即，
則，即，令，得，
即，，則，
故二面角的正弦值為.
8．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，
平面，，其中．是的中點，是的中點．

(1)求證平面；
(2)求平面與平面的夾角余弦值；
(3)求點到平面的距離．
【解析】（1）取中點，連接，，
由是的中點，故，且，
由是的中點，故，且，
則有、，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有、、、、、，
則有、、，
設(shè)平面與平面的法向量分別為、，
則有，，
分別取，則有、、，，
即、，
則，
故平面與平面的夾角余弦值為；
（3）由，平面的法向量為，
則有，
即點到平面的距離為.
9．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
【解析】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，則，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）連接，由，則，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
由是的中點，得，
所以，
設(shè)平面和平面的一個法向量分別為，
則，，
令，得，
所以，
所以，
設(shè)平面和平面所成角為，則，
即平面和平面所成角的正弦值為.
10．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br>【解析】（1）因為平面平面，
所以，同理，
所以為直角三角形，
又因為，，
所以，則為直角三角形，故，
又因為，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，則，
以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，所以，
所以，
又因為二面角為銳二面角，
所以二面角的大小為.
11．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【解析】（1）連接，設(shè)，則，，，
則，
解得，則為的中點，由分別為的中點，
于是，即，則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）法一：由（1）可知，則，得，
因此，則，有，
又，平面，
則有平面，又平面，所以平面平面.
法二：因為，過點作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
在中，，
在中，，
設(shè)，所以由可得：，
可得：，所以，
則，所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，
令，則，所以，
，
所以平面平面BEF；
（3）法一：過點作交于點，設(shè)，
由，得，且，
又由（2）知，，則為二面角的平面角，
因為分別為的中點，因此為的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，則，
從而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值為.
法二：平面的法向量為，
平面的法向量為，
所以，
因為，所以，
故二面角的正弦值為.
12．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．
【解析】（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
，
，
又不在同一條直線上，
.
（2）設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
，
化簡可得，，
解得或，
或，
.
13．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．
(1)證明：；
(2)點F滿足，求二面角的正弦值．
【解析】（1）連接，因為E為BC中點，，所以①，
因為，，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨設(shè)，，．
，，又，平面平面．
以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，
設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，
二面角平面角為,而，
因為，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，從而．
所以二面角的正弦值為．
14．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）如圖，在直三棱柱中，，點D、E、F分別為的中點， .
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面夾角的余弦值．
【解析】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則
以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、、、、，則，
易知平面的一個法向量為，則，故，
平面，故平面.
（2），，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，.
因此，直線與平面夾角的正弦值為.
（3），，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，則，
因此，平面與平面夾角的余弦值為.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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