?第一章 空間向量與立體幾何
1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
1.3.1 空間直角坐標(biāo)系
教學(xué)設(shè)計
一、教學(xué)目標(biāo)
1. 了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置；
2. 掌握利用坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系中點的方法.
二、教學(xué)重難點
1. 教學(xué)重點
空間直角坐標(biāo)系的建立，空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)表示.
2. 教學(xué)難點
在空間直角坐標(biāo)系中畫出給定坐標(biāo)的點的位置.
三、教學(xué)過程
（一）新課導(dǎo)入
平面直角坐標(biāo)系由平面內(nèi)兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸組成.如圖，在平面內(nèi)選定一點O和一個單位正交基底{i，j}，以O(shè)為原點，分別以i，j的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立兩條數(shù)軸：x軸、y軸，那么就建立了一個平面直角坐標(biāo)系.

類比平面直角坐標(biāo)系，探究空間直角坐標(biāo)系.
（二）探索新知
在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}（如圖）.以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz，O叫做原點，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個部分.

歸納：空間直角坐標(biāo)系的三個要素：原點、坐標(biāo)軸方向、單位長度.
畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°.
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，本書建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系.
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中（如圖），i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使.

在單位正交基底{i，j，k}下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A（x，y，z），其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo).
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作（如圖）.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使.有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a=（x，y，z）.這樣，在空間直角坐標(biāo)系中，空間中的點和向量都可以用三個有序?qū)崝?shù)表示.

思考：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，對空間任意一點A，或任意一個向量，你能借助幾何直觀確定它們的坐標(biāo)（x，y，z）嗎？
如圖所示，過點A分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸、y軸和z軸于點B，C和D.可以證明在x軸、y軸、z軸上的投影向量分別為，，，且.設(shè)點B，C和D在x軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)分別是x，y和z，那么點A（向量）的坐標(biāo)為（x，y，z）.

例1 如圖，在長方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

（1）寫出四點的坐標(biāo)；
（2）寫出向量的坐標(biāo).
解：（1）點在z軸上，且，所以.所以點的坐標(biāo)是.
同理，點C的坐標(biāo)是.
點在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，0，2，所以點的坐標(biāo)是.
點在軸、軸、軸上的射影分別為，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，4，2，所以點的坐標(biāo)是.
(2)；
；

.
（三）課堂練習(xí)
1.已知是標(biāo)準(zhǔn)正交基底，且，則的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根據(jù)空間向量坐標(biāo)的定義，知，故選A.
2.點在空間直角坐標(biāo)系中的( )
A.軸上 B.平面內(nèi) C.平面內(nèi) D.平面內(nèi)
答案：C
解析：點的縱坐標(biāo)為0，所以該點在平面內(nèi).
3.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：過點向平面作垂線，垂足為，則就是點與其關(guān)于平面對稱的點連線的中點.又，所以.
4.在長方體中，若，則向量在基底下的坐標(biāo)是______________.
答案：
解析：，向量在基底下的坐標(biāo)是.
5.在長方體中，已知，連接，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）在圖中標(biāo)出點的位置；
（2）求與的坐標(biāo)；
（3）求向量在平面上的投影向量的坐標(biāo).
答案：（1）點的位置如圖中所示：

（2）設(shè)分別為方向上的單位向量，
則，
，
所以.
（3）連接，則向量在平面上的投影向量為.
又，
所以.
（四）小結(jié)作業(yè)
小結(jié)：1.空間直角坐標(biāo)系的建立；
2.空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)表示.
作業(yè)：
四、板書設(shè)計
1.3.1 空間直角坐標(biāo)系
在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}.以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz，O叫做原點，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個部分.

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1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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