人教A版 (2019)選擇性必修第一冊3.3 拋物線課時訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc181714972" 【題型歸納】 PAGEREF _Tc181714972 \h 2
\l "_Tc181714973" 題型一：拋物線的幾何性質(zhì) PAGEREF _Tc181714973 \h 2
\l "_Tc181714974" 題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc181714974 \h 4
\l "_Tc181714975" 題型三：中點弦問題 PAGEREF _Tc181714975 \h 8
\l "_Tc181714976" 題型四：焦半徑問題 PAGEREF _Tc181714976 \h 10
\l "_Tc181714977" 題型五：弦長、面積問題 PAGEREF _Tc181714977 \h 12
\l "_Tc181714978" 題型六：定點定值問題 PAGEREF _Tc181714978 \h 17
\l "_Tc181714979" 題型七：最值問題 PAGEREF _Tc181714979 \h 21
\l "_Tc181714980" 【重難點集訓(xùn)】 PAGEREF _Tc181714980 \h 28
\l "_Tc181714981" 【高考真題】 PAGEREF _Tc181714981 \h 43
【題型歸納】
題型一：拋物線的幾何性質(zhì)
1．（多選題）（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，，拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，兩條曲線在第一象限的交點，為橢圓上一點，則下列說法中正確的是（）
A．B．
C．直線是拋物線的切線D．有且只有兩個點，滿足
【答案】AC
【解析】對于A中，由在拋物線上，可得，解得，所以A正確；
對于B中，因為橢圓與拋物線的焦點重合且兩條曲線在第一象限的交點，
可得，且，解得，所以B不正確；
對于C中，直線的方程為，代入拋物線，整理得，
其中，所以直線是拋物線的切線，所以C正確；
對于D中，如圖所示，取，則，所以，
所以，所以橢圓不存在點使得，所以D不正確.
故選：AC.
2．（多選題）（2024·高二·河北邢臺·階段練習(xí)）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（）
A．拋物線沒有離心率
B．拋物線的離心率為1
C．若直線與拋物線只有一個交點，則該直線與拋物線相切
D．拋物線一定有一條對稱軸，一個頂點，一個焦點
【答案】BD
【解析】拋物線上的點M到焦點F的距離和點M到準(zhǔn)線的距離d的比，叫作拋物線的離心率，
所以由拋物線的定義可知拋物線的離心率為1，故A不正確，B正確；
若直線與拋物線的對稱軸平行，則直線與拋物線也只有一個交點，
此時直線與拋物線相交，所以C不正確；
拋物線有且僅有一條對稱軸，一個頂點，一個焦點，所以D正確．
故選：BD.
3．（多選題）（2024·高二·陜西·期中）過點且與拋物線只有一個交點的直線方程可能是（）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】由已知拋物線方程為，其對稱軸為，
當(dāng)直線與拋物線對稱軸平行時，直線方程為，此時與拋物線只有一個交點成立，
當(dāng)直線與拋物線對稱軸不平行時，可知直線斜率存在，
設(shè)直線方程為，
聯(lián)立直線與拋物線，得，
由直線與拋物線只有一個交點，可知，
解得或，
所以直線方程為或，即，或，
綜上所述：直線方程為或，或，
故選：ABC.
4．（多選題）（2024·高三·湖北咸寧·階段練習(xí)）過拋物線的焦點F的一條直線交拋物線于，兩點，則下列結(jié)論正確的是（）
A．為定值
B．若經(jīng)過點A和拋物線的頂點的直線交準(zhǔn)線于點C，則軸
C．存在這樣的拋物線和直線AB，使得OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點）
D．若直線AB與x軸垂直，則
【答案】ABD
【解析】
由已知可得AB的斜率不等于0，
所以設(shè)AB的方程為，
聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x得，
所以為定值，即A正確，
經(jīng)過點A和拋物線的頂點的直線的方程為，與準(zhǔn)線的交點的坐標(biāo)，
因為，
所以，即軸，所以B正確，
因為，
所以不可能，即C錯誤，
當(dāng)AB與x軸垂直時，，
則由拋物線定義得，所以D正確，
故選:ABD．
題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系
5．（1）求過定點，且與拋物線只有一個公共點的直線l的方程.
（2）若直線l：與曲線C：（）恰好有一個公共點，試求實數(shù)a的取值集合.
【解析】（1）由題意知，直線的斜率存在.
設(shè)直線斜率為，則切線方程為，
由消去x，得.
當(dāng)時，此時直線，與拋物線只有一個公共點；
當(dāng)時，所以，解得，即過M點的切線有兩條.
所求直線l的方程為或.
綜上所述，所求直線l的方程為，或，或.
（2）因為直線l與曲線C恰好有一個公共點，
所以方程組只有一組實數(shù)解，
消去y，得，即①.
當(dāng)，即時，直線為，直線與曲線恰一個公共點；
當(dāng)，即時，
由，解得（舍去）或.
當(dāng)時，由方程①化為，解得，
代入直線方程為，解得，即此時直線與曲線恰一個公共點.
綜上，實數(shù)a的取值集合是.
6．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線上有一個動點Q，過Q作直線l垂直于x軸，動點P在直線l上，且，記點P的軌跡為C．

(1)求曲線C的方程．
(2)設(shè)直線l與x軸交于點A，且．試判斷直線PB與曲線C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)P的坐標(biāo)為，則點Q的坐標(biāo)為．
因為，
所以.
所以．
∴點P的軌跡方程為．
（2）
直線PB與曲線C相切，設(shè)點P的坐標(biāo)為，
點A的坐標(biāo)為．
因為，
所以．
所以點B的坐標(biāo)為．
所以直線PB的斜率為．
因為
所以．
所以直線PB的方程為
代入，
得.
因為
所以直線PB與曲線C相切．
7．（2024·高二·河南焦作·期末）已知拋物線，直線與交于點(與坐標(biāo)原點不重合)，過的中點作與軸平行的直線，直線與交于點與軸交于點
（1）求；
（2）證明:直線與拋物線只有一個公共點.
【解析】（1）聯(lián)立方程，可得：，解得
所以，
因為是的中點，所以
直線，點
將代入，得
所以.
因為，
所以直線的方程為，
與聯(lián)立消去得，
因為，
所以直線與拋物線只有一個公共點.
8．（2024·高二·廣東佛山·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，動圓過點，且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡是曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）已知，，過點的直線交曲線于點，（位于軸下方），中點為，若直線與軸平行，求證：直線與曲線相切.
【解析】（1）依題意，點到點的距離等于它到直線的距離，.故點的軌跡是焦點為，準(zhǔn)線為的拋物線.
因此，曲線的方程為.
（2）依題意可設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，
由消去得：①，
所以，
因為直線與軸平行，所以
此時方程①為，解得，，即，
所以的方程為，即，
由消去得：，
，所以與曲線相切
題型三：中點弦問題
9．（2024·高二·山西朔州·期末）直線與拋物線交于兩點，中點的橫坐標(biāo)為2，則 .
【答案】2
【解析】若，此時與拋物線只有1個交點，不合題意，
故，
聯(lián)立，整理得，
由0，解得，
設(shè)，
則
因為中點的橫坐標(biāo)為2，則，
故，解得（舍去）或，
所以.
故答案為：2
10．（2024·高二·廣東江門·期中）已知線段是拋物線的一條弦，且中點M在上，則點A橫坐標(biāo)最大值為
【答案】2
【解析】由題意，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
由拋物線范圍可知，，
所以如圖，
當(dāng)點A在原點時橫坐標(biāo)有最小值，為0，
由AB中點M在上，可知，即，
所以，
即如圖，
當(dāng)點B在原點時,點A橫坐標(biāo)有最大值，為2.
故答案為：2.
11．（2024·高二·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，若為的中點，則直線的方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)，，由題意，
因為，在拋物線上，所以，，兩式相減得，
，整理得，，
即直線的斜率，
直線的中點為，
，
，
所以直線的方程為，化簡得.
故答案為：.
題型四：焦半徑問題
12．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期中）已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合．斜率為的直線經(jīng)過點，且與的交點為．若，則直線的斜率為（）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由橢圓方程可知，則，
由題意可設(shè)直線的方程為：，，
與拋物線方程聯(lián)立可知，即，
又，
所以.
故選：D
13．（2024·高二·江蘇常州·期中）已知拋物線，弦過拋物線的焦點且滿足，則弦的中點到軸的距離為（）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【解析】
拋物線的焦點，
設(shè)，假設(shè)，
顯然弦所在的直線的斜率存在且不等于零，
設(shè)弦所在的直線方程為，
聯(lián)立，消去可得，，
所以，
因為，所以，則，
所以，解得，所以，
所以，
所以弦的中點的坐標(biāo)為，
所以弦的中點軸的距離為，
故選:C.
14．（2024·高二·廣東珠海·期末）已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，若，則的中點到準(zhǔn)線的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解即可．
已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，
設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交軸于點，的中點為，
過作準(zhǔn)線的垂線使得，，，軸于，
設(shè)，又，則，，
則，又，則，
又，則，即，
則，
故選：C．
15．（2024·高二·江西宜春·開學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線C交于，兩點，若，則（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】拋物線的焦點為，
所以直線方程為，代入拋物線方程并整理得，
設(shè)，，則，
又，∴，所以.
故選：B
題型五：弦長、面積問題
16．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若，是拋物線上不同的兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則的最大值為．
【答案】6
【解析】
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，中點，
則，
設(shè)斜率為，則，
相減得：，
因為，即，
設(shè)拋物線的焦點為，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時等號成立，
此時滿足在拋物線內(nèi)部，
所以AB的最大值為6.
故答案為：6.
17．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，軸被以為直徑的圓所截得的弦長為6，則．
【答案】10
【解析】
拋物線C：的焦點F1,0，易知當(dāng)斜率不存在時不符合題意，
故設(shè)直線的方程為y=kx-1，，
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2．
則即，
恒成立，
故，
AB中點的橫坐標(biāo)為，
即以為直徑的圓的圓心到軸的距離
又，即以為直徑的圓的半徑，
由圖知，，即，
解得，故．
故答案為：10.
18．（2024·高二·江蘇南京·期末）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.若，四邊形的面積為，則．
【答案】
【解析】由題意可知直線有斜率且不為0,設(shè)所在直線方程為，
聯(lián)立，得．
不妨設(shè)在第一象限，,，,，
則，
又，，即，
聯(lián)立，解得或（舍，
則，即，進(jìn)而可得
所以
解得，
故答案為：
19．（2024·高二·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知拋物線的焦點為F，直線與軸的交點為A，與C的交點為P，且．
(1)求C的方程；
(2)延長交拋物線于Q，O為坐標(biāo)原點，求的面積．
【解析】（1）設(shè)，代入由中得，
所以，，
由題設(shè)得，解得（舍去）或．
所以的方程為；
（2）由（1）知,F1,0,
所以直線方程為，即，
聯(lián)立，
則,故，
故，
原點到直線的距離為，
故.
20．（2024·高二·陜西榆林·期末）已知拋物線：（）的焦點關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點為.
(1)求拋物線的方程；
(2)若為坐標(biāo)原點，過焦點且斜率為1的直線交拋物線于、兩點，求的面積.
【解析】（1）拋物線：y2=2pxp>0的焦點關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點為，
于是，解得：，
所以拋物線的方程為.
（2）由（1）知，直線的方程為，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
由消去x得：，則，
所以的面積.
題型六：定點定值問題
21．（2024·高二·福建廈門·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上，且A到的焦點的距離為1．
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線C交于兩點，，且，試探究直線是否過定點，若是，請求出定點坐標(biāo)，否則，請說明理由．
【解析】（1）依題意可得，解得，所以拋物線方程為：；
（2）設(shè)直線顯然存在，
聯(lián)立方程，化簡可得
所以
在拋物線C上，故，
，解得或，
因為，所以，得
所以直線過定點.
22．（2024·高二·江蘇泰州·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線E：和點．點Q在E上，且．
(1)求E的方程；
(2)若過點H作兩條直線，，與E相交于A，B兩點，與E相交于C，D兩點，直線AB，CD，AD，BC的斜率分別為，，，．證明：．
【解析】（1）因為,所以，
因為點Q在E上，所以，所以，
所以E的方程為：.
（2）設(shè)
所以直線的斜率為
直線的斜率為
直線的斜率為
直線的斜率為
所以
所以.
23．（2024·高二·青海玉樹·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，動點到點的距離等于點到直線的距離.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)記動點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于兩點，，直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值.
【解析】（1）因動點到點的距離等于點到直線的距離，故可知動點的軌跡是拋物線，
設(shè)其方程為，由題意得，故動點的軌跡方程為：
（2）
如圖，因直線的斜率不能為零（否則直線與拋物線只有一個公共點），又過點，
可設(shè)由消去并整理得：，
顯然設(shè)，則由韋達(dá)定理，（*）
則，
將（*）代入得：,
故為定值.
24．（2024·高二·陜西漢中·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上一點P的橫坐標(biāo)為4，且點P到焦點F的距離為5．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線交拋物線于A，B兩點（位于對稱軸異側(cè)），且，求證：直線l必過定點．
【解析】（1）由題可知，點P到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，
因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，點P的橫坐標(biāo)為4，
所以，解得，所以拋物線的方程為；
（2）證明：設(shè)，且，
聯(lián)立消去x可得，
則，且，即，
所以，
由，得，即，
解得（舍）或，故直線l的方程為，
所以直線l必過定點．
25．（2024·高二·江蘇蘇州·期末）已知拋物線，記其焦點為.設(shè)直線：，在該直線左側(cè)的拋物線上的一點P到直線的距離為，且.
(1)求的方程；
(2)如圖，過焦點作兩條相互垂直的直線、，且的斜率恒大于0.若交于點，交拋物線于、兩點，證明：為定值.
【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線的方程為，
則可知，解得，
所以的方程為.
（2）作于，于.
由拋物線定義，，，
又因為，，
所以，，
由此，，，
所以，，
所以，為定值.
題型七：最值問題
26．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知直線l：分別與x軸，直線交于點A，B，點P是線段AB的垂直平分線上的一點（P不在x軸負(fù)半軸上）且.
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)設(shè)l與C交于E，F(xiàn)兩點，點M在C上且滿足，延長MA交C于點N，求的最小值.
【解析】（1）由題意，
如圖， ∵，
∴，
又∵不在軸負(fù)半軸上，
∴與直線垂直，
又∵，
∴點的軌跡是以1,0為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，
∴點的軌跡方程為.
（2）
由得，
∵與交于兩點，
∴，
設(shè)，，則，
又∵，
∴，
∵的斜率為，
∴直線的方程為，
設(shè)，，同理得，，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取到“=”，
∴的最小值為16.
27．（2024·高二·上?！るA段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點
(1)設(shè)直線的方程為，求線段的長
(2)設(shè)直線經(jīng)過點，若以線段為直徑的圓經(jīng)過點，求直線的方程
(3)設(shè)，若存在經(jīng)過點的直線，使得在拋物線上存在一點，滿足，求的取值范圍
【解析】（1）由拋物線方程知：F1,0，則直線過焦點，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
由得：，，
.
（2）由題意知：直線斜率不為零，可設(shè)，Ax1,y1,Bx2,y2，
由得：，則，解得：；
，，
，，，
，
解得：（滿足），
直線得方程為：或.
（3）
由題意知：直線斜率不為零，可設(shè)，，，，
，；
由得：，則，即，
，，，
由得：，
即，，，
，，即的取值范圍為.
28．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知點及拋物線上一點滿足的最小值為.
(1)求；
(2)過點作兩條直線分別交拋物線于點，，并且都與動圓相切，若直線經(jīng)過點，求的最小值.
【解析】（1）設(shè)拋物線的焦點為F，由題意得，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)M、P、F三點共線時取等號.
因為的最小值為，
所以，解得.
（2）由（1）知，，故N在拋物線上，直線NQ 、 NP斜率都存在，
設(shè)直線NQ 、 NP斜率分別為、，，
則直線NQ的方程為，
由，可得，
所以，則，又Q在拋物線上，
所以，同理，
又直線PQ過點M，所以，
即，解得，即，
因為NQ與NP都與圓C相切，所以直線NC是的角平分線，
由題意知NC的斜率存在，設(shè)直線NC的斜率為k，
則，解得，
當(dāng)時，NC過原點，此時直線不經(jīng)過點，故舍去，所以，
所以直線NC的方程 ,
所以的最小值即是點到直線NC的距離d，即，
所以的最小值為.
29．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知拋物線（）的焦點F到雙曲線的漸近線的距離是．
(1)求p的值；
(2)已知過點F的直線與E交于A，B兩點，線段的中垂線與E的準(zhǔn)線l交于點P，且線段的中點為M，設(shè)，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）E的焦點為，
雙曲線的漸近線方程為，不妨取，即．
由點到直線的距離公式得，
得．
（2）由（1）知，，：．
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立消去x并整理，得，
設(shè)，，則，，
，
∴．
易得M點的坐標(biāo)為，
∴的中垂線方程為，
令得，
∴，
從而，
∴，
∴實數(shù)的取值范圍為．
30．（2024·高三·重慶沙坪壩·期中）已知拋物線的頂點為，過點的直線交于兩點.
(1)判斷是否為定值，并說明理由；
(2)設(shè)直線分別與直線交于點，求的最小值.
【解析】（1）當(dāng)過點的直線斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，舍去，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，
設(shè)，則，
所以，
所以為定值-4.
（2）直線的方程為，直線的方程為，
由，得點的橫坐標(biāo)，
同理：點的橫坐標(biāo)為，
于是
，
令，則，
所以，
綜上所述：當(dāng)，即時，的最小值為.
31．（2024·高二·上海寶山·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，直線，已知動點到點的距離等于點到直線的距離，設(shè)點的軌跡為.
(1)過點且斜率為2的直線與曲線交于兩個不同的點、，求線段的長；
(2)求曲線上的點到直線的最短距離.
【解析】（1）已知動點到點的距離等于點到直線的距離，
所以曲線的軌跡是以點為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
其標(biāo)準(zhǔn)方程為①，
因為過點且斜率為2的直線與曲線交于兩個不同的點、，
則直線的方程為②，
聯(lián)立①②，消去并整理得，
設(shè)點，，由韋達(dá)定理得，
此時；
（2）不妨設(shè)點是拋物線上的點，
則點到直線的距離，
易知當(dāng)時，，
故曲線上的點到直線的最短距離為．
【重難點集訓(xùn)】
1．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知點為拋物線上異于原點的兩個動點，若，則線段中點的橫坐標(biāo)的最小值為（）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】設(shè)的中點，拋物線的準(zhǔn)線為，
如圖，作，垂足分別為.
由直角梯形的性質(zhì)可得，
取拋物線焦點為，由拋物線定義可得，
當(dāng)且僅當(dāng)直線經(jīng)過點時取等號，
所以線段中點的橫坐標(biāo)的最小值為．
故選：B.
2．（2024·湖南益陽·一模）已知拋物線，的焦點分別為、，若、分別為、上的點，且線段平行于軸，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A．當(dāng)時，是直角三角形B．當(dāng)時，是等腰三角形
C．存在四邊形是菱形D．存在四邊形是矩形
【答案】C
【解析】依題意，線段平行于軸，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，
則，焦點，
A選項，當(dāng)時，解得，所以，
則，是直角三角形，A選項正確.
B選項，當(dāng)時，解得，所以，
由于，所以關(guān)于直線對稱，而，
所以此時是等腰三角形.
對于CD選項，先考慮四邊形是平行四邊形，
則，則，
此時，，
所以四邊形是矩形，不是菱形，所以C選項錯誤，D選項正確.
故選：C
3．（2024·高二·浙江杭州·期中）設(shè)拋物線的焦點為，為拋物線上一點且在第一象限，，若將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，且直線與拋物線交于兩點，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】F1,0，
設(shè)，
則，所以，則，
故，
所以，
則直線的傾斜角，
所以直線的斜率，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，消得，
，
設(shè)，
則，
所以.
故選：A.
4．（2024·高二·云南曲靖·期末）已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，則直線的斜率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，
則兩式相減得，整理得，
因為的中點為，則，
所以，即直線的斜率為.
故選：D.
5．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知拋物線上一點到準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由拋物線知，焦點，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)題意作圖如下；
點到直線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，
由拋物線的定義知：，
所以點到直線和準(zhǔn)線的距離之和為，
且點到直線的距離為，
所以的最小值為.
故選：D
6．（2024·高二·浙江·期中）已知拋物線，過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，交圓于兩點，其中位于第一象限，則的最小值為（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】由題意得，焦點坐標(biāo)為F0,1，
當(dāng)直線斜率不存在時，不滿足交拋物線于兩點，舍去，
設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，
方程的判別式，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，，
則，，
其中的圓心為F0,1，半徑為1，
故，同理可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故選：C
7．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知軸上一定點，和拋物線上的一動點，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，所以
，
因為恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，
當(dāng)時顯然恒成立，當(dāng)時恒成立，
所以，則，又，所以，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：B
8．（2024·高二·內(nèi)蒙古興安盟·期中）已知拋物線C：的焦點為F，點，N是拋物線C上一點，當(dāng)取得最小值時，的面積為（）
A．7B．5C．D．
【答案】D
【解析】過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
由拋物線定義可知，，
由圖知，當(dāng)MN與拋物線C的準(zhǔn)線垂直時，取得最小值，
此時點縱坐標(biāo)為4，代入拋物線方程可得，
則的面積為．
故選：D
9．（多選題）（2024·高二·河南·階段練習(xí)）已知F是拋物線的焦點，l是C的準(zhǔn)線，N是C上一點且位于第一象限，直線FN與圓相切于點E，過點N作l的垂線，垂足為P，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若，則或
B．若，則的面積為或
C．的周長的最小值為4
D．若為等邊三角形，則
【答案】ABD
【解析】依題意，，，直線，則，
記l交x軸于點M，坐標(biāo)原點為O，，則，，
，，
，，
對于A，由，得或，或，A正確；
對于B，或，B正確；
對于C，的周長為，令，
由，得，，C錯誤；
對于D，若為等邊三角形，則，，D正確.
故選：ABD
10．（多選題）（2024·高二·江蘇南京·期中）設(shè)拋物線y2=2pxp>0的焦點為，點在軸上，若線段的中點在拋物線上，且點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則（）
A．B．點的坐標(biāo)為0,2
C．D．直線的方程為
【答案】AC
【解析】由題意得，焦點為，準(zhǔn)線為，
設(shè)的坐標(biāo)為，由為的中點得，，即
由點到拋物線準(zhǔn)線的距離為，得，解得，故A正確；
則拋物線為，，則，故，
所以的坐標(biāo)為0,2或，故B錯誤；
的面積為，故C正確；
由、M0,2或知，直線的方程為
，即，故D錯誤.
故選：AC
11．（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）某曲線C的方程為，下列說法正確的是（）
A．曲線C關(guān)于對稱
B．曲線C上的點的縱坐標(biāo)的最大值是2
C．曲線C與直線交于A、B兩點，則
D．點在曲線C上，則的取值范圍為
【答案】AD
【解析】對于A：將，互換代入曲線，
得，方程不變，所以曲線關(guān)于對稱，所以A選項正確：
對于B：，即，
將其看成關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)判別式法得，
解得，若，則，此時，故B錯誤.
對于C：將代入方程，
可得，即，解得或，
所以，
則，所以C選項錯誤；
對于D：因為，
由題意可知，即，
又因為，
所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
因為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
則，此時，
即，所以D選項正確.
故選:ABD.
12．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交于兩點，若，則的準(zhǔn)線方程為．
【答案】
【解析】易知，直線的方程為，
由得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，，
所以，
解得，所以的準(zhǔn)線方程為．
故答案為：
13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線上的任一點到其焦點的距離比其到軸的距離大1，過作直線交拋物線于，以線段為直徑的圓交軸于，則的最小值為．
【答案】
【解析】由拋物線定義可知，即，則焦點為F1,0或，
取F1,0，則拋物線方程為．
設(shè)直線，代入，得．
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，，
則．
則以線段為直徑的圓的圓心，
半徑，
過作于點，連接，
，
當(dāng)時，有最小值．
同理可設(shè)當(dāng)取拋物線方程為時，也有最小值．
故答案為：
14．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點為，若以軸正方向的射線繞焦點逆時針旋轉(zhuǎn)，與拋物線交于點，過作軸，交準(zhǔn)線于點，則的面積為．
【答案】
【解析】由題知焦點F1,0，準(zhǔn)線為，直線的方程為：，
聯(lián)立，可得，
所以或（舍），，
，
所以．
故答案為：.
15．（2024·高二·云南保山·階段練習(xí)）已知點是拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，過點作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點.
(1)證明：三點共線；
(2)若，求直線的方程.
【解析】（1）
證明：拋物線的焦點坐標(biāo)為F1,0，
設(shè)直線的方程為，點，
聯(lián)立，消去得，則，
所以，因為，所以，
又，所以，
即，所以三點共線.
（2）因為，所以，于是，即，
由（1）知，
所以直線的方程為.
16．（2024·高二·安徽六安·期末）過拋物線焦點的直線交于兩點，特別地，當(dāng)直線的傾斜角為時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點，若，求的面積（為坐標(biāo)原點）.
【解析】（1）拋物線焦點的坐標(biāo)為，
當(dāng)直線的傾斜角為時，直線，聯(lián)立拋物線方程，
化簡并整理得，，顯然，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
則
，解得，
所以拋物線的方程為；
（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，
化簡并整理得，顯然，
所以，
又，所以，
因為，
所以
，
所以，則，
設(shè)的面積為，
則，
所以的面積為.
17．（2024·高二·四川宜賓·期末）已知為拋物線的焦點，是拋物線上一點，且的最小值為1．
(1)求的方程；
(2)過的直線與交于兩點，過原點作直線的垂線交于點（異于點）．當(dāng)四邊形的面積為時，求直線的方程．
【解析】（1）
由題知，當(dāng)點在原點上時，PF的最小，所以，所以，所以拋物線的方程為．
（2）設(shè)方程為
由聯(lián)立得：．于是，，
于是，
直線方程為．
由聯(lián)立得：．解得或．
于是，點，所以
所以四邊形的面積
即，令，則，所以
于是，．
即
即解得或
于是，或
所以直線的方程為或
18．（2024·高二·福建福州·期末）已知拋物線，其焦點為，點在拋物線C上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)為坐標(biāo)原點，為拋物線上不同的兩點，且，求證：直線AB過定點；
【解析】（1）拋物線，,
其焦點為，準(zhǔn)線方程為，
可得，且，
解得，或（舍去），，
則拋物線的方程為；
（2）如圖，設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，可得，
則，又，所以，
由，可得即，解得，或（舍去），
所以直線恒過定點.
【高考真題】
1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）（多選題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（）
A．l與相切
B．當(dāng)P，A，B三點共線時，
C．當(dāng)時，
D．滿足的點有且僅有2個
【答案】ABD
【解析】A選項，拋物線的準(zhǔn)線為，
的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，
故準(zhǔn)線和相切，A選項正確；
B選項，三點共線時，即，則的縱坐標(biāo)，
由，得到，故，
此時切線長，B選項正確；
C選項，當(dāng)時，，此時，故或，
當(dāng)時，，，，
不滿足；
當(dāng)時，，，，
不滿足；
于是不成立，C選項錯誤；
D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化
根據(jù)拋物線的定義，，這里，
于是時點的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點的存在性問題，
，中點，中垂線的斜率為，
于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，
，即的中垂線和拋物線有兩個交點，
即存在兩個點，使得，D選項正確.
方法二：（設(shè)點直接求解）
設(shè)，由可得，又，又，
根據(jù)兩點間的距離公式，，整理得，
，則關(guān)于的方程有兩個解，
即存在兩個這樣的點，D選項正確.
故選：ABD
2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）（多選題）設(shè)計一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點O.且C上的點滿足:橫坐標(biāo)大于，到點的距離與到定直線的距離之積為4，則（）
A．B．點在C上
C．C在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1D．當(dāng)點在C上時，
【答案】ABD
【解析】對于A：設(shè)曲線上的動點Px,y，則且，
因為曲線過坐標(biāo)原點，故，解得，故A正確.
對于B：又曲線方程為，而，
故.
當(dāng)時，，
故在曲線上，故B正確.
對于C：由曲線的方程可得，取，
則，而，故此時，
故在第一象限內(nèi)點的縱坐標(biāo)的最大值大于1，故C錯誤.
對于D：當(dāng)點在曲線上時，由C的分析可得，
故，故D正確.
故選：ABD.
3．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）（多選題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則（）．
A．B．
C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形
【答案】AC
【解析】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，
所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.
B選項：設(shè)，
由消去并化簡得，
解得，所以，B選項錯誤.
C選項：設(shè)的中點為，到直線的距離分別為，
因為，
即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.
D選項：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.
故選：AC.
4．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）（多選題）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點M(p,0)，若，則（）
A．直線的斜率為B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
【答案】ACD
【解析】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標(biāo)為，
代入拋物線可得，則A(3p4,6p2)，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為x=12 6y+p2，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則B(p3,-6p3)，
則，B錯誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，OA?OB=(3p4,6p2)?(p3,-6p3)=3p4?p3+6p2?-6p3=-3p24

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