TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc177595092" 【題型歸納】 PAGEREF _Tc177595092 \h 2
\l "_Tc177595093" 題型一：直線的傾斜角與斜率定義 PAGEREF _Tc177595093 \h 2
\l "_Tc177595094" 題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系 PAGEREF _Tc177595094 \h 3
\l "_Tc177595095" 題型三：已知兩點(diǎn)求斜率、已知斜率求參數(shù) PAGEREF _Tc177595095 \h 4
\l "_Tc177595096" 題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍 PAGEREF _Tc177595096 \h 5
\l "_Tc177595097" 題型五：直線平行 PAGEREF _Tc177595097 \h 8
\l "_Tc177595098" 題型六：直線垂直 PAGEREF _Tc177595098 \h 9
\l "_Tc177595099" 題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用 PAGEREF _Tc177595099 \h 11
\l "_Tc177595100" 【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 PAGEREF _Tc177595100 \h 13
\l "_Tc177595101" 【高考真題】 PAGEREF _Tc177595101 \h 22
【題型歸納】
題型一：直線的傾斜角與斜率定義
1．（2024·高二·河北保定·開學(xué)考試）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角大，則的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得的傾斜角為，
所以的傾斜角為，即的斜率為.
故選：A
2．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以
.
故選：B.
3．（2024·高二·山東日照·期末）已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意知，直線l的斜率為，
設(shè)直線l的傾斜角為，則，
解得，即直線l的傾斜角為.
故選：A
4．（2024·高二·湖北·期末）直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.
故選：C.
題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系
5．（2024·高二·浙江麗水·期末）直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直線的斜率為，
由于，設(shè)傾斜角為，
則，，
所以.
故選：B.
6．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，并且，直線的斜率的范圍是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】因?yàn)樾甭?，且，其中時直線無斜率，
當(dāng)時，得；
當(dāng)時，得；
故選：C.
7．（2024·高二·湖南衡陽·期末）已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，
故的取值范圍是.
故選：C
8．（2024·高二·江蘇·單元測試）若直線的斜率的變化范圍是，則它的傾斜角的變化范圍是( )
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】作出正切函數(shù)在的圖象如下圖，
如圖所示，當(dāng)，即，
解得或，
即或，
故選：D.
題型三：已知兩點(diǎn)求斜率、已知斜率求參數(shù)
9．（2024·高二·全國·課前預(yù)習(xí)）直線l上兩點(diǎn)，則直線l的斜率為 .
【答案】1
【解析】由題意得直線l的斜率為.
故答案為：1.
10．（2024·高二·上?！卧獪y試）若點(diǎn)、、在同一直線上，則實(shí)數(shù)k的值為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)槿c(diǎn)、、在同一直線上，
∴的斜率和的斜率相等，
即，
∴.
故答案為：．
11．（2024·高二·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則
【答案】32/
【解析】傾斜角為，斜率為，
所以，
解得.
故答案為：
12．（2024·高二·山東臨沂·期中）已知過點(diǎn)，的直線的傾斜角為60°，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【解析】由題意知，
該直線的斜率為，
解得.
故答案為：.
題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍
13．（多選題）（2024·高二·山西長治·階段練習(xí)）已知點(diǎn),若過點(diǎn)的直線與線段相交，則直線的傾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】設(shè)，由題得,所以直線的傾斜角為.
由題得,所以直線的傾斜角為.
由圖可知直線與線段相交，須滿足直線的傾斜角.
故選：BC
14．（2024·高二·安徽蕪湖·期中）已知曲線，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】函數(shù)，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)圖象如下所示：
當(dāng)時，即，當(dāng)時，則，
表示曲線上的點(diǎn)與連線的斜率，令，
又，，
由圖可得或，
即的取值范圍為.
故答案為：
15．（2024·高二·上海閔行·期末）已知點(diǎn)過點(diǎn)A的直線與線段BC相交，則直線的斜率的取值范圍是 .
【答案】
【解析】
如圖，要使過點(diǎn)A的直線與線段BC相交，需使直線的傾斜角介于直線的傾斜角之間，
即需使斜率滿足,
因，，故.
故答案為：.
16．（2024·高二·上?！るA段練習(xí)）已知點(diǎn)，，直線是過點(diǎn)且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是
【答案】
【解析】因?yàn)?，，?br>所以，．
直線過點(diǎn)且與線段相交，如下圖所示：
或，
直線的斜率的取值范圍是：．
故答案為：．
題型五：直線平行
17．（2024·高二·甘肅慶陽·階段練習(xí)）已知直線，若，則 ．
【答案】0
【解析】①當(dāng)時，②當(dāng)時，若，可得與重合，不合題意．故．
故答案為：.
18．（2024·高二·浙江麗水·期末）已知直線和，若，則 .
【答案】2
【解析】直線的斜率為，，
所以直線的斜率，即，
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.
故答案為：2.
19．判斷下列各組直線是否平行，并說明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【解析】（1）設(shè)兩直線，的斜率分別為，，在軸上的截距分別為，．
因?yàn)?，，，，所以?br>（2）因?yàn)?，，?br>所以與不平行．
（3）由兩直線的方程可知，軸，軸，且兩直線在軸上的截距不相等，所以．
（4），因?yàn)?，?br>所以與重合．
20．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）根據(jù)下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行．
(1)經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，；
(2)的傾斜角為60°，經(jīng)過點(diǎn)，．
【解析】（1）設(shè)兩直線，的斜率分別為，．
由題意知，．
因?yàn)?，又?br>所以，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，所以A，B，C，D四點(diǎn)不共線，
所以．
（2）設(shè)兩直線，的斜率分別為，．
由題意知，．
所以，所以或與重合．
題型六：直線垂直
21．（2024·高二·全國·課堂例題）判斷下列兩條直線是否垂直，并說明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【解析】（1）兩直線的斜率，，由，則．
（2）兩直線的斜率，，由，則．
（3）的斜率為0，的斜率不存在，．
22．（2024·高二·全國·課前預(yù)習(xí)）判斷下列兩條直線是否垂直．
(1)直線的斜率為，直線經(jīng)過點(diǎn)，；
(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn)，；
(3)直線的法向量為，直線的法向量為．
【解析】（1）直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)?，所以與垂直．
（2）直線的斜率不存在，故與軸垂直，直線的斜率為0，故直線與軸平行，所以與垂直．
（3）因?yàn)?，所以與的法向量垂直，所以與垂直．
23．（2024·高二·浙江·期中）已知直線：，：，若，則實(shí)數(shù) ．
【答案】－3或0
【解析】當(dāng)時，直線：，：，此時顯然，符合題意；
當(dāng)時，整理可得直線：，：，
由，則，解得.
故答案為：－3或0
24．（2024·高三·湖南長沙·階段練習(xí)）已知直線和互相垂直，且，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】由題得.
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以的最小值為.
故答案為：
25．（2024·高二·重慶沙坪壩·期末）若直線與直線垂直，則 .
【答案】/0.5
【解析】直線：的斜率為，直線：與直線：垂直時，
，解之得，
故答案為：.
題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用
26．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線l的傾斜角為30°，點(diǎn)P(2,1)在直線l上，直線l繞點(diǎn)P(2,1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后到達(dá)直線l1的位置，此時直線l1與l2平行，且l2是線段AB的垂直平分線，其中A(1，m－1)，B(m，2)，則m＝ .
【答案】
【解析】如圖，直線l1的傾斜角為30°＋30°＝60°，
∴直線l1的斜率k1＝tan 60°＝.
由l1∥l2知，直線l2的斜率k2＝k1＝.
∴直線AB的斜率存在，且kAB＝.
∴＝＝－，
解得m＝4＋.
故答案為：4＋
27．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知，A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).
【解析】由題，，
所以kAC=2，，kBC=－3，
設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y），分以下三種情況：
①當(dāng)BC為對角線時，有kCD=kAB，kBD=kAC，
所以，，，
得x=7，y=5，即
②當(dāng)AC為對角線時，有kCD=kAB，kAD=kBC，
所以，，
得x=－1，y=9，即
③當(dāng)AB為對角線時，有kBD=kAC，kAD=kBC
所以，
得x=3，y=－3，即
所以D的坐標(biāo)為或或.
28．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)按逆時針順序依次是，，，，其中，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．
【解析】四邊形是矩形．證明如下：
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
所以，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形．
又，
所以，所以四邊形是矩形．
又，，
令，即，無解，
所以與不垂直，故四邊形是矩形．
29．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）設(shè)，，，問是否存在正實(shí)數(shù)m，使為直角三角形?
【解析】要使為直角三角形，則角A，B，C中需有一個為直角.由題意知，直線AB，BC，AC的斜率都存在．
當(dāng)A為直角時，則AC⊥AB，所以，即，解得，舍去；
當(dāng)B為直角時，，；
當(dāng)C為直角時，，或（舍去）.
綜上所述，存在正實(shí)數(shù)或，使為直角三角形.
【重難點(diǎn)集訓(xùn)】
1．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由于點(diǎn)滿足關(guān)系式，且，
可知在線段上移動，且
設(shè)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍是，
故選：A.
2．（2024·高二·上海·課堂例題）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時，可能等于（ ）
A．或B．或C．或D．0
【答案】C
【解析】表示點(diǎn)Mx1,y1與點(diǎn)所成直線的斜率k，
又Mx1,y1是在部分圖象上的動點(diǎn)，
如圖，當(dāng)接近時，
當(dāng)為0,1時，，則，只有C滿足.
故選：C.
3．（2024·高二·湖北·階段練習(xí)）直線：與直線：平行，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．充要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】當(dāng)時，有，故或，
當(dāng)時，的方程為，的方程為，此時兩條直線重合，不符合；
當(dāng)時，的方程為，的方程為，符合；
綜上，“”是“”的充要條件，
故選：B.
4．（2024·高二·江蘇泰州·期末）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如圖，一座斜拉橋共有10對拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距均為4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距、均為16m，最短拉索滿足，，若建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則最長拉索所在直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
故，
則，
故選：D.
5．（2024·高二·北京昌平·期末）已知直線，，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€，，
所以當(dāng)時，，即，即或，
所以“”能推出“”，“”不能推出“”，
所以“”是“”充分不必要條件，
故選：A.
6．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知傾斜角為的直線與直線垂直，則＝（ ）
A．B．－
C．D．－
【答案】C
【解析】直線的斜率為13，因此與此直線垂直的直線的斜率，
，
∴，
把代入得，
原式.
故選：C．
7．（2024·高二·云南曲靖·期末）經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，畫出圖像，如圖所示：
根據(jù)圖像知：.
故選：D.
8．（2024·高二·山東日照·階段練習(xí)）直線過點(diǎn)且與以點(diǎn)、為端點(diǎn)的線段恒相交，則的斜率取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
如圖，直線與以點(diǎn)、為端點(diǎn)的線段恒相交時，直線從到，
直線從到時，傾斜角增大，斜率增大，，斜率范圍為，
直線從到時，傾斜角增大，斜率增大，，斜率范圍為，
綜上，的斜率取值范圍為，
故選：D
9．（多選題）（2024·高二·河南信陽·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（ ）
A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大
B．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為
C．若，，則直線的傾斜角為
D．若直線過點(diǎn)，且它的傾斜角為，則這條直線必過點(diǎn)
【答案】CD
【解析】A：傾斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時，斜率為負(fù)，錯；
B：直線的傾斜角為時，直線的斜率不存在，錯；
C：由題設(shè)，知兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，直線方程為，直線的傾斜角為，對；
D：過，兩點(diǎn)的斜率為：，對.
故選：CD.
10．（多選題）（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）已知，，直線：，：，且，則（ ）
A．的最小值是1B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是4
【答案】BC
【解析】由直線，，且，得，即，又，
對于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A錯誤；
對于B，，，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此的最小值是，B正確；
對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，C正確；
對于D，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，D錯誤.
故選：BC
11．（多選題）（2024·高二·江蘇鹽城·期中）臺球運(yùn)動已有五六百年的歷史，參與者用球桿在臺上擊球.如圖，有一張長方形球臺，，現(xiàn)從角落沿角的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺內(nèi)沿后進(jìn)入角落的球袋中，若和光線一樣，臺球在球臺上碰到障礙物后也遵從反射定律，則的值可以為（ ）

A．B．C．1D．
【答案】AC
【解析】因?yàn)?，現(xiàn)從角落沿角的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺內(nèi)沿后進(jìn)入角落的球袋中；
當(dāng)是圖一時，如圖：
關(guān)于 的對稱點(diǎn)為，關(guān)于的對稱點(diǎn)為；
如圖；根據(jù)直線的對稱性可得：；
當(dāng)是圖2時，如圖：
關(guān)于 的對稱點(diǎn)為，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
如圖：根據(jù)直線的對稱性可得：；
故選：AC．
12．（2024·高二·全國·期中）直線，，若，則 .
【答案】2
【解析】因?yàn)橹本€，，，
所以且兩直線不重合，
解得或，
當(dāng)時兩直線重合，舍去，所以．
故答案為：2．
13．（2024·高二·山東棗莊·階段練習(xí)）已知直線l經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線l的斜率是直線m的斜率的三倍，則直線m的傾斜角是 ．
【答案】/30°
【解析】由直線l經(jīng)過，兩點(diǎn)，
則直線的斜率，
所以直線的斜率，
由，所以.
故答案為：
14．（2024·高二·貴州·開學(xué)考試）一束光射向軸，與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)軸反射，與以連接、兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，這束光所在直線的斜率取值范圍為 .
【答案】
【解析】
由斜率公式，射線的斜率為，
射線的斜率為，
如上圖，由題意，一束光射向軸，經(jīng)軸反射，與線段
始終相交，則射線即與關(guān)于對稱，射線即
與關(guān)于對稱，
∴，，
∴這束光所在直線的斜率取值范圍為.
故答案為：.
15．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線：和直線：．若與平行，求a的值．
【解析】方法一 ： 當(dāng)時，：，：，不平行于；
當(dāng)時，：，：，不平行于；
當(dāng)且時，兩直線可化為：，：，
則當(dāng)時，有，
解得，
綜上可知，當(dāng)時，．
方法二：對于兩直線，
當(dāng)它們平行時，有 ，
所以對于直線：和直線：，
當(dāng)時，則，
則，
可得，故當(dāng)時，．
16．（2024·高二·上?！ふn堂例題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0、、、，其中．試判斷四邊形的形狀．
【解析】依題意，直線的斜率，直線的斜率，
直線的斜率，直線的斜率，
顯然，，在四邊形中，，，
因此四邊形為平行四邊形，又，則，
所以四邊形為矩形.
17．（2024·高二·重慶黔江·階段練習(xí)）（1）若直線與直線平行，求的值；
（2）若直線與直線垂直，求的值.
【解析】（1）兩直線平行，則，即，故或，
當(dāng)時，兩直線分別為與，符合要求，
當(dāng)時，兩直線分別為與，符合要求，
故或；
（2）兩直線垂直，則，
即，故或.
18．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)．
(1)是否存在整數(shù)，使直線與直線相交？
(2)是否存在整數(shù)，使直線與線段相交？
(3)是否存在正整數(shù)，使點(diǎn)分別位于直線的兩側(cè)？
【解析】（1）直線的斜率，直線的斜率，
因?yàn)閮蓷l直線相交，則，即，故可以取外的所有整數(shù)．
（2）位于直線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)代入后，其值必為0．
位于直線同側(cè)的點(diǎn)，其坐標(biāo)代入后，其值必同號．
而位于直線兩側(cè)的點(diǎn)，其坐標(biāo)代入后，其值必異號．
直線與線段相交，則點(diǎn)和或位于該直線的兩側(cè)，或其中一點(diǎn)在該直線上．
于是將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入后，其值的乘積必小于或等于0，
即，解得．因此符合條件的整數(shù)可以是或1．
（3）由問題（2）的分析知，當(dāng)位于直線的兩側(cè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入后，其值必異號，
則乘積必小于0，即，解得，因此符合條件的正整數(shù)不存在．
19．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn).
(1)求直線的斜率和傾斜角；
(2)若是線段上一動點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（1）由斜率公式得直線的斜率為，
記傾斜角為，則，
因?yàn)?，所以直線的傾斜角為.
（2）由題知為直線的斜率.
記直線和的傾斜角分別為，直線的傾斜角為，
由圖可知，，
又，，
所以，由正切函數(shù)性質(zhì)可得，直線的斜率的取值范圍為，
即的取值范圍為.
【高考真題】
1．（1995年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（全國卷））圖中的直線的斜率分別為，則有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由圖象可得，，
故選：C
2．（2001年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（上海卷））“”是“直線和直線平行且不重合”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)時，直線和直線平行且不重合，故充分；
當(dāng)直線和直線平行且不重合時，
則，解得或-2，故不必要；
故選：A
3．（2005年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））“”是“直線與直線垂直”的
A．充分必要條件B．充分非必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因?yàn)橹本€與直線垂直，
則，即，解得或；
因此由“”能推出“直線與直線垂直”，反之不能推出，
所以“”是“直線與直線垂直”的充分非必要條件.
故選B
4．（2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題）直線的傾斜角 .
【答案】
【解析】設(shè)直線的傾斜角為，
易知直線的斜率為，
所以，
解得.
故答案為：
5．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（上海卷））若直線與直線平行，則 ．
【答案】
【解析】直線的斜率為3
直線的斜率即
故答案為：.
6．（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（北京卷））若三點(diǎn)，，，（）共線，則的值等于 .
【答案】/0.5
【解析】由題知，直線的斜率存在，由三點(diǎn)共線可知.
由得：，即，又，
∴.
故答案為：
7．（2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷（上海））已知與，若兩直線平行，則的值為
【答案】
【解析】兩直線平行則斜率相等，所以，解得

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.1 直線的傾斜角與斜率

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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