地 位：
本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）
第六章 平面向量及其應(yīng)用
6.4 平面向量的應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；
3.借助于向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，體會(huì)邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：
1.重點(diǎn)：掌握余弦定理及其推論。
2.難點(diǎn)：掌握余弦定理的綜合應(yīng)用。
自主預(yù)習(xí)：
本節(jié)所處教材的第 頁.
復(fù)習(xí)——
勾股定理：
三角形的形狀：
預(yù)習(xí)——
余弦定理：
推論：
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
如圖，某隧道施工隊(duì)為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道的長度.工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肁，量出A到山腳B，C的距離，其中AB＝eq \r(3) km，AC＝1 km，再利用經(jīng)緯儀測出A對(duì)山腳BC(即線段BC)的張角∠BAC＝150°.
【問題1】 我們知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知兩條直角邊a，b和C＝90°，則c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的結(jié)論？
【問題2】 你能通過上面的問題1的結(jié)論計(jì)算求出山腳的長度BC嗎？
2.探索交流，解決問題
【探究1】已知一個(gè)三角形的兩條邊及其它們的夾角，這個(gè)三角形的大小、形狀能完全確定嗎？
【探究2】在△ABC中，如果已知邊a，b和角C，那么從向量的角度考慮，邊c的長度可視為什么？向量eq \(AB,\s\up6(→))如何用已知邊所對(duì)應(yīng)的向量表示？如何求出|eq \(AB,\s\up6(→))|？
（二）余弦定理
1.余弦定理：
文字語言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊 減去這兩邊與它們 的余弦的積的兩倍.
符號(hào)語言：a2＝ ，b2＝ ，c2＝
【探究3】在△ABC中，已知三條邊，如何求出其三個(gè)內(nèi)角？
【提示】可將余弦定理中的三個(gè)公式變形為cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)。
推論：cs A＝ ，cs B＝ ，cs C＝ .
2.解三角形
一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.
【做一做】1.在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A.c2＝a2＋b2－2abcs C B.c2＝a2－b2－2bccs A
C.b2＝a2－c2－2bccs A D.cs C＝eq \f(a2＋b2＋c2,2ab)
2.在△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，則c＝________.
3.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝eq \r(7)，c＝eq \r(3)，則B＝________.

（五）典型例題
1.已知兩邊及一角解三角形
【例1】 在△ABC中，a＝3eq \r(3)，b＝3，B＝30°，解這個(gè)三角形.
【類題通法】已知兩邊及一角解三角形的方法
利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運(yùn)用解方程的方法求出此邊長，然后利用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出另外兩個(gè)角.
【鞏固練習(xí)1】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝5，b＝3，cs C是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.
2.已知三邊解三角形
【例2】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大內(nèi)角.
【類題通法】已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求一個(gè)角，繼續(xù)用余弦定理求另一個(gè)角，進(jìn)而求出第三個(gè)角.
【鞏固練習(xí)2】(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝eq \r(19)，則最大角與最小角的和為( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，則A等于( )
A．90° B．60° C．120° D．150°
3.判斷三角形形狀
【例3】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大??；
(2)若b＋c＝2a＝2eq \r(3)，試判斷△ABC的形狀.
【類題通法】判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.
在余弦定理中注意整體思想的運(yùn)用，如b2＋c2－a2＝2bccs A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等。
【鞏固練習(xí)3】若△ABC的三條邊a，b，c滿足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，則△ABC( )
A.一定是銳角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是鈍角三角形
D.可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.(多選題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)，則b＝( )
A.2 B.3 C.4 D.2eq \r(2)
2.一個(gè)三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是－eq \f(3,5)，則三角形的另一邊長是________.
3.在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，則△ABC的最小角的大小為________.
4.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為________.
課堂小結(jié)
通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
【自我評(píng)價(jià)】 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）
A.很好 B.較好 C.一般 D.較差
【導(dǎo)學(xué)案評(píng)價(jià)】 本節(jié)導(dǎo)學(xué)案難度如何（ ）
A.很好 B.較好 C.一般 D.較差
【建議】 你對(duì)本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的建議：

課后作業(yè)
完成教材：第44頁 練習(xí) 第1，2，3題
第52 頁 習(xí)題6.4 第6,15題

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6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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