10.1　隨機(jī)事件與概率10.1.3　古典概型
理解古典概型，能運(yùn)用古典概型計(jì)算概率．能在實(shí)際問題中建立古典概型模型．通過具體實(shí)例的探究理解古典概型，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
對隨機(jī)事件發(fā)生_____________的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用___________表示．
一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有_________；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性_______.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為___________模型，簡稱___________.
一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝_____＝_____.
[拓展]　(1)隨機(jī)試驗(yàn)E中的樣本點(diǎn)①任何兩個(gè)樣本點(diǎn)都是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些樣本點(diǎn)的和．(2)求解古典概型問題的一般思路①明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有樣本點(diǎn))；②根據(jù)實(shí)際問題情景判斷樣本點(diǎn)的等可能性；③計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出事件A的概率．
練一練：1．袋中裝有紅白球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地抽取三次，所有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是_____.[解析]　從裝有紅白兩球的袋中有放回的取出，所有取法有：共8個(gè)樣本點(diǎn)．
2．從1,2,3中任取兩個(gè)數(shù)字，設(shè)取出的數(shù)字含有2為事件A，則P(A)＝_______.
下列試驗(yàn)是古典概型的是___________.①從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性大?。虎谕瑫r(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．[分析]　緊扣古典概型的兩大特征——有限性與等可能性進(jìn)行判斷．
[解析]　①②④是古典概型，因?yàn)榉瞎诺涓判偷奶卣鳎鄄皇枪诺涓判停驗(yàn)椴环系瓤赡苄?，降雨受多方面因素影響．[歸納提升]　判斷試驗(yàn)是不是古典概型，關(guān)鍵看是否符合兩大特征——有限性和等可能性．
下列是古典概型的是( )A．任意擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件時(shí)B．求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為基本事件時(shí)C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率D．拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止[解析]　A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項(xiàng)中的基本事件是無限的，故B不是；C項(xiàng)滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項(xiàng)中基本事件可能會(huì)無限個(gè)，故D不是.
(2023·福建省泉州市期末)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，事件A：“兩數(shù)之和為8”，事件B：“兩數(shù)之和是奇數(shù)”，事件C：“兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”．(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間Ω，并求事件A發(fā)生的概率；(2)求事件B發(fā)生的概率；(3)事件A 與事件C至少有一個(gè)發(fā)生的概率．
[解析]　(1)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36個(gè)樣本點(diǎn)，事件A：“兩數(shù)之和為8”，如圖1所示，A＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，A包含5個(gè)樣本點(diǎn)，
(2)事件B：“兩數(shù)之和是奇數(shù)”，如圖2所示，B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，}圖2
(3)事件C：“兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，事件A與事件C至少有一個(gè)發(fā)生包含的樣本點(diǎn)有11個(gè)，如圖3所示，即A＋C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，
[歸納提升]　1.將所有的樣本點(diǎn)用有序?qū)崝?shù)組一一列舉出來，此時(shí)有幾粒骰子每個(gè)實(shí)數(shù)組中就包含幾個(gè)數(shù)．2．對于拋擲兩粒均勻的骰子的試驗(yàn)，樣本點(diǎn)(共36個(gè))可以用列表法或坐標(biāo)系法(x軸、y軸分別表示拋擲兩粒骰子的結(jié)果)表示出來．這兩種方法在求向上的點(diǎn)數(shù)之和(或差)的概率時(shí)很方便．
某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國家去旅游．(1)若從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國家包括A1但不包括B1的概率．
[解析]　(1)由題意知，從6個(gè)國家中任選兩個(gè)國家，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15個(gè)．所選兩個(gè)國家都是亞洲國家的事件所包含的樣本點(diǎn)有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3個(gè)，
(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9個(gè)．包括A1但不包括B1的事件所包含的樣本點(diǎn)有：
口袋內(nèi)有紅、白、黃大小完全相同的三個(gè)小球，求：(1)從中任意摸出兩個(gè)小球，摸出的是紅球和白球的概率；(2)從袋中摸出一個(gè)后放回，再摸出一個(gè)，兩次摸出的球是一紅一白的概率．
[歸納提升]　無放回抽取、有放回抽取和同時(shí)抽取的概率1．“有放回抽取”和“無放回抽取”的概率求解問題是初學(xué)者特別容易出錯(cuò)的，而且也是特別經(jīng)典的題型，學(xué)習(xí)時(shí)要注意區(qū)分是“有放回抽取”還是“無放回抽取”．“有放回”是指抽取物體時(shí)，每次抽取之后，都把抽取的物體放回原處，這樣前后兩次抽取時(shí)，被抽取的物體的總數(shù)是一樣的．“無放回”是指抽取物體時(shí)，在每一次抽取后，把抽取的物體放到一邊，并不放回原處，這樣，前后兩次抽取時(shí)，后一次被抽取的物體總數(shù)較前一次被抽取的物體總數(shù)少．
2．有放回抽取和無放回抽取的區(qū)別在于，同一件物品“有放回抽取”可能被抽到兩次，而“無放回抽取”最多被抽到一次．這正是“有放回抽取”的樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量比“無放回抽取”樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量多的原因．3．同時(shí)抽取的實(shí)質(zhì)是把不同性質(zhì)的兩(多)組元素混合在一起抽取，沒有先后順序，只考慮配對，所以對應(yīng)樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量一般要比“逐個(gè)不放回抽取”對應(yīng)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量要少．
一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀、大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為n，求n

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