4.2.1　直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.2.會(huì)用代數(shù)法和幾何法來(lái)判定直線與圓的三種位置關(guān)系.3.會(huì)用直線與圓的位置關(guān)系解決一些實(shí)際問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)　直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷 類(lèi)型一　直線與圓的位置關(guān)系的判斷 例1　求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使直線x－my＋3＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0分別滿(mǎn)足：①相交；②相切；③相離． 解　圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－3)2＋y2＝4， 故圓心(3,0)到直線x－my＋3＝0的距離為d＝eq \f(6,\r(m2＋1))，圓的半徑為r＝2. ①若相交，則d＜r，即eq \f(6,\r(m2＋1))＜2，所以m＜－2eq \r(2)或m＞2eq \r(2)； ②若相切，則d＝r，即eq \f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq \r(2)； ③若相離，則d＞r，即eq \f(6,\r(m2＋1))＞2，所以－2eq \r(2)＜m＜2eq \r(2). 反思與感悟　直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法 (1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷． (2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷． (3)直線系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)，可通過(guò)判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系．但有一定的局限性，必須是過(guò)定點(diǎn)的直線系． 跟蹤訓(xùn)練1　對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是(　　) A．相離 B．相切 C．相交但直線不過(guò)圓心 D．相交且直線過(guò)圓心 答案　C 解析　直線y＝kx＋1恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，由定點(diǎn)(0,1)在圓x2＋y2＝2內(nèi)，則直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2一定相交．又直線y＝kx＋1的斜率存在，則該直線必不過(guò)圓心(0,0)，故選C. 類(lèi)型二　切線問(wèn)題 eq \x(命題角度1　求切線方程) 例2　過(guò)點(diǎn)A(4，－3)作圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線方程． 解　因?yàn)?4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以點(diǎn)A在圓外． ①若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k， 則切線方程為y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0. 設(shè)圓心為C， 因?yàn)閳A心C(3,1)到切線的距離等于半徑1， 所以eq \f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，即|k＋4|＝eq \r(k2＋1)， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－eq \f(15,8). 所以切線方程為－eq \f(15,8)x－y＋eq \f(15,2)－3＝0， 即15x＋8y－36＝0. ②若直線斜率不存在， 圓心C(3,1)到直線x＝4的距離為1， 這時(shí)直線x＝4與圓相切，所以另一條切線方程為x＝4. 綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4. 引申探究 若本例的條件不變，求其切線長(zhǎng)． 解　因?yàn)閳A心C的坐標(biāo)為(3,1)， 設(shè)切點(diǎn)為B，則△ABC為直角三角形， |AC|＝eq \r(?3－4?2＋?1＋3?2)＝eq \r(17)， 又|BC|＝r＝1， 則|AB|＝eq \r(|AC|2－|BC|2)＝eq \r(?\r(17)?2－12)＝4， 所以切線長(zhǎng)為4. 反思與感悟　求過(guò)某一點(diǎn)的圓的切線方程，首先判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以確定切線的數(shù)目． (1)求過(guò)圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程：如果斜率存在且不為0，先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，則由垂直關(guān)系，切線斜率為－eq \f(1,k)，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程．如果k＝0或斜率不存在，則由圖形可直接得切線方程為y＝y(tǒng)0或x＝x0. (2)求圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線時(shí)，常用幾何方法求解： 設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，進(jìn)而切線方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一個(gè)時(shí)，則另一條切線的斜率一定不存在，可由數(shù)形結(jié)合求出． 跟蹤訓(xùn)練2　若點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為_(kāi)_______． 答案　x＋2y－5＝0 解析　點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，可得此圓的方程為x2＋y2＝5，所以該圓在點(diǎn)P處的切線方程為1×x＋2×y＝5，即x＋2y－5＝0. eq \x(命題角度2　已知直線與圓相切，求圓的方程) 例3　過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于點(diǎn)B(2，1)，則圓C的方程為_(kāi)______． 答案　(x－3)2＋y2＝2 解析　由已知kAB＝0， 所以AB的中垂線方程為x＝3. ① 過(guò)B點(diǎn)且垂直于直線x－y－1＝0的直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0， ② 聯(lián)立①②，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0，)) 所以圓心坐標(biāo)為(3,0)， 半徑r＝eq \r(?4－3?2＋?1－0?2)＝eq \r(2)， 所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2. 反思與感悟　此類(lèi)題易錯(cuò)點(diǎn)是求最值時(shí)，對(duì)參數(shù)無(wú)法破解而致錯(cuò)，避免此類(lèi)錯(cuò)誤的關(guān)鍵：一是會(huì)用公式，即會(huì)利用點(diǎn)到直線的距離公式求距離；二是會(huì)轉(zhuǎn)化，把要求的半徑最大問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值；三是會(huì)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出圓的方程. 跟蹤訓(xùn)練3　已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 答案　B 解析　設(shè)圓心為C(a，－a)， 則eq \f(|a＋a|,\r(2))＝eq \f(|a＋a－4|,\r(2))，解得a＝1， 所以r＝eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)， 圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故選B. 類(lèi)型三　弦長(zhǎng)問(wèn)題 例4　(1)過(guò)圓x2＋y2＝8內(nèi)的點(diǎn)P(－1,2)作直線l交圓于A，B兩點(diǎn)．若直線l的傾斜角為135°，則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______． (2)圓心為C(2，－1)，截直線y＝x－1的弦長(zhǎng)為2eq \r(2)的圓的方程為_(kāi)________________． 答案　(1)eq \r(30)　(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4 解析　(1)方法一　(交點(diǎn)法) 由題意知，直線l的方程為y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0. 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2＝8，)) 解得A(eq \f(1＋\r(15),2)，eq \f(1－\r(15),2))，B(eq \f(1－\r(15),2)，eq \f(1＋\r(15),2))． ∴|AB|＝eq \r(?\f(1－\r(15),2)－\f(1＋\r(15),2)?2＋?\f(1＋\r(15),2)－\f(1－\r(15),2)?2)＝eq \r(30). 方法二　(弦長(zhǎng)公式) 由題意知，直線l的方程為y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0. 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2＝8，)) 消去y，得2x2－2x－7＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝1，x1x2＝－eq \f(7,2). ∴|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝eq \r(1＋1)·eq \r(12＋4·\f(7,2))＝eq \r(30). 方法三　(幾何法) 由題意知直線l的方程為y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0， 圓心O(0,0)到直線l的距離為d＝eq \f(|－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)， 則有|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2 eq \r(8－\f(1,2))＝eq \r(30). (2)設(shè)圓的半徑為r，由條件，得 圓心到直線y＝x－1的距離為d＝eq \f(|2＋1－1|,\r(2))＝eq \r(2). 又直線y＝x－1被圓截得的弦長(zhǎng)為2eq \r(2)， 即半弦長(zhǎng)為eq \r(2)，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2， ∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4. (3)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,5)，且和圓C：x2＋y2＝25相交于A、B兩點(diǎn)，截得的弦長(zhǎng)為4eq \r(5)，求直線l的方程． 解　方法一　若直線l的斜率不存在， 則l：x＝5與圓C相切，不合題意， ∴直線l的斜率存在， 設(shè)其方程為y－5＝k(x－5)， 即kx－y＋5(1－k)＝0. 如圖所示，|OH|是圓心到直線l的距離， |OA|是圓的半徑，|AH|是弦長(zhǎng)|AB|的一半， 在Rt△AHO中，|OA|＝5， |AH|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)·4eq \r(5)＝2eq \r(5). ∴|OH|＝eq \r(|OA|2－|AH|2)＝eq \r(5)， ∴eq \f(|5?1－k?|,\r(k2＋1))＝eq \r(5)， 解得k＝eq \f(1,2)或k＝2. ∴直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 方法二　若直線l的斜率不存在， 則l：x＝5與圓C相切，不合題意， ∴直線l的斜率存在， 設(shè)直線l的方程為y－5＝k(x－5)， 且與圓相交于A(x1，y1), B(x2，y2)兩點(diǎn)． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－5＝k?x－5?，,x2＋y2＝25，))消去y， 得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0， ∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0， 解得k>0. 又∵x1＋x2＝－eq \f(10k?1－k?,k2＋1)，x1x2＝eq \f(25k?k－2?,k2＋1)， 由斜率公式， 得y1－y2＝k(x1－x2)． ∴|AB|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)＝eq \r(?1＋k2??x1－x2?2) ＝eq \r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2])＝eq \r(?1＋k2?[\f(100k2?1－k?2,?k2＋1?2)－4·\f(25k?k－2?,k2＋1)])＝4eq \r(5)， 兩邊平方，整理得2k2－5k＋2＝0， 解得k＝eq \f(1,2)或k＝2，均符合題意． 故直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 反思與感悟　求直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)有三種方法 (1)交點(diǎn)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式 |AB|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)求解． (2)弦長(zhǎng)公式： 如圖所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在)． (3)幾何法：如圖，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為|AB|，則有(eq \f(|AB|,2))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq \r(r2－d2). 通常采用幾何法較為簡(jiǎn)便． 跟蹤訓(xùn)練4　已知直線l：kx－y＋k＋2＝0與圓C：x2＋y2＝8. (1)證明：直線l與圓相交； (2)當(dāng)直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求直線l的方程，并求出弦長(zhǎng)．(1)證明　∵l：kx－y＋k＋2＝0， 直線l可化為y－2＝k(x＋1)， ∴直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(－1,2)， ∵(－1)2＋22

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