3.2.1　直線的點(diǎn)斜式方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解由斜率公式推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式的過程.2.掌握直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程.3.會(huì)利用直線的點(diǎn)斜式與斜截式方程解決有關(guān)的實(shí)際問題． 知識(shí)點(diǎn)一　直線的點(diǎn)斜式方程 思考1　如圖，直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，且斜率為k，設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l上不同于點(diǎn)P0的任意一點(diǎn)，那么x，y應(yīng)滿足什么關(guān)系？ 答案　由斜率公式得k＝eq \f(y－y0,x－x0)， 則x，y應(yīng)滿足y－y0＝k(x－x0)． 思考2　經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)的所有直線是否都能用點(diǎn)斜式方程來表示？ 答案　斜率不存在的直線不能用點(diǎn)斜式表示，過點(diǎn)P0斜率不存在的直線為x＝x0. 梳理　 知識(shí)點(diǎn)二　直線的斜截式方程 思考1　已知直線l的斜率為k，且與y軸的交點(diǎn)為(0，b)，得到的直線l的方程是什么？ 答案　將k及點(diǎn)(0，b)代入直線方程的點(diǎn)斜式得：y＝kx＋b. 思考2　方程y＝kx＋b，表示的直線在y軸上的截距b是距離嗎？b可不可以為負(fù)數(shù)和零？ 答案　y軸上的截距b不是距離，可以是負(fù)數(shù)和零． 思考3　對(duì)于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. ①l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2， ②l1⊥l2?k1k2＝－1. 梳理 類型一　直線的點(diǎn)斜式方程 例1　寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程． (1)經(jīng)過點(diǎn)A(2,5)，且與直線y＝2x＋7平行； (2)經(jīng)過點(diǎn)C(－1，－1)，且與x軸平行； (3)經(jīng)過點(diǎn)D(1,2)，且與x軸垂直． 解　(1)由題意知，直線的斜率為2，所以其點(diǎn)斜式方程為y－5＝2(x－2)． (2)由題意知，直線的斜率k＝tan 0°＝0，所以直線的點(diǎn)斜式方程為y－(－1)＝0. (3)由題意可知直線的斜率不存在，所以直線的方程為x＝1，該直線沒有點(diǎn)斜式方程． 反思與感悟　(1)求直線的點(diǎn)斜式方程 (2)點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點(diǎn)P(x0，y0)的所有直線，但直線x＝x0除外． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)經(jīng)過點(diǎn)(－3,1)且平行于y軸的直線方程是________． (2)直線y＝2x＋1繞著其上一點(diǎn)P(1,3)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到直線l，則直線l的點(diǎn)斜式方程是________． (3)一直線l1過點(diǎn)A(－1，－2)，其傾斜角等于直線l2：y＝eq \f(\r(3),3)x的傾斜角的2倍，則l1的點(diǎn)斜式方程為________． 答案　(1)x＝－3　(2)y－3＝－eq \f(1,2)(x－1) (3)y＋2＝eq \r(3)(x＋1) 解析　(1)∵直線與y軸平行，∴該直線斜率不存在， ∴直線方程為x＝－3. (2)由題意知，直線l與直線y＝2x＋1垂直，則直線l的斜率為－eq \f(1,2). 由點(diǎn)斜式方程可得l的方程為y－3＝－eq \f(1,2)(x－1)． (3)∵直線l2的方程為y＝eq \f(\r(3),3)x， 設(shè)其傾斜角為α，則tan α＝eq \f(\r(3),3)，∴α＝30°， 那么直線l1的傾斜角為2×30°＝60°， 則l1的點(diǎn)斜式方程為 y＋2＝tan 60°(x＋1)，即y＋2＝eq \r(3)(x＋1)． 類型二　直線的斜截式方程 例2　(1)傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3的直線的斜截式方程是________________________________________________________________________． (2)已知直線l1的方程為y＝－2x＋3，l2的方程為y＝4x－2，直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相同，求直線l的方程． (1)答案　y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3 解析　∵直線的傾斜角是60°， ∴其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)， ∵直線與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是3， ∴直線在y軸上的截距是3或－3， ∴所求直線方程是y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3. (2)解　由斜截式方程知直線l1的斜率k1＝－2， 又因?yàn)閘∥l1，所以kl＝－2， 由題意知l2在y軸上的截距為－2， 所以直線l在y軸上的截距b＝－2， 由斜截式可得直線l的方程為y＝－2x－2. 引申探究 本例(2)中若將“直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相等”改為“直線l與l1垂直且與l2在y軸上的截距互為相反數(shù)”，求l的方程． 解　∵l1⊥l，直線l1：y＝－2x＋3，∴l(xiāng)的斜率為eq \f(1,2)， ∵l與l2在y軸上的截距互為相反數(shù)， 直線l2：y＝4x－2，∴l(xiāng)在y軸上的截距為2， ∴直線l的方程為y＝eq \f(1,2)x＋2. 反思與感悟　(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．當(dāng)b＝0時(shí)，y＝kx表示過原點(diǎn)的直線；當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b表示與x軸平行(或重合)的直線． (2)截距不同于日常生活中的距離，截距是一個(gè)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)和零，而距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練2　已知直線l的斜率為eq \f(1,6)，且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，求l的斜截式方程． 解　設(shè)直線方程為y＝eq \f(1,6)x＋b，則當(dāng)x＝0時(shí)，y＝b； y＝0時(shí)，x＝－6b.由已知可得eq \f(1,2)·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直線l的斜截式方程為y＝eq \f(1,6)x＋1或y＝eq \f(1,6)x－1. 類型三　平行與垂直的應(yīng)用 例3　(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2： y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直？ 解　(1)由題意可知，＝－1，＝a2－2， ∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－2＝－1，,2a≠2，))解得a＝－1. 故當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2： y＝(a2－2)x＋2平行． (2)由題意可知，＝2a－1，＝4，∵l1⊥l2， ∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8). 故當(dāng)a＝eq \f(3,8)時(shí)，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2： y＝4x－3垂直． 反思與感悟　設(shè)直線l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分別為l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么：(1)l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；(2)k1＝k2，且b1＝b2?兩條直線重合；(3)l1⊥l2?k1·k2＝－1. 跟蹤訓(xùn)練3　已知直線l：y＝(a2－2)x＋2a＋9與直線y＝－eq \f(1,2)x＋1垂直，且與直線y＝3x＋5在y軸上的截距相同，求a的值． 解　由題意知：(a2－2)×(－eq \f(1,2))＝－1，解得a＝±2. 經(jīng)檢驗(yàn)知a＝－2符合題意． 1．方程y＝k(x－2)表示(　　) A．通過點(diǎn)(－2,0)的所有直線 B．通過點(diǎn)(2,0)的所有直線 C．通過點(diǎn)(2,0)且不垂直于x軸的所有直線 D．通過點(diǎn)(2,0)且除去x軸的所有直線 答案　C 解析　易驗(yàn)證直線通過點(diǎn)(2,0)，又直線斜率存在，故直線不垂直于x軸． 2．直線y＝kx＋b通過第一、三、四象限，則有(　　) A．k>0，b>0 B．k>0，b

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