18.2 特殊的平行四邊形第3課時目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；溫故而知新：新課精講探索新知1知識點菱形的定義 在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度，能否得到一個特殊的平行四邊形？ 平行四邊形 菱形探索新知有一組 的 叫做鄰邊相等 平行四邊形 ADCB∵四邊形ABCD是平 行四邊形 AB=BC∴四邊形ABCD是菱形菱形. 探索新知例1 已知：如圖，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于點D，DE∥AC 交BC 于點E，DF∥BC 交AC 于 點F. 四邊形DECF 是菱形嗎？為什么？因為DE∥FC，DF∥EC，所以四邊形DECF 為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形求證即可．導(dǎo)引：探索新知四邊形DECF 是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四邊形DECF 為平行四邊形． 由AC∥DE，知∠2＝∠3.∵CD 平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四邊形DECF 為菱形(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)．解：探索新知 本題考查了菱形的定義，菱形的定義也可以作為菱形的判定方法．典題精講1如圖，若要使平行四邊形ABCD 成為菱形，則需要添加的條件是(　　)A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BDC典題精講2如圖，在△ABC 中，AB≠AC，D 是BC 上一點，DE∥AC 交AB 于點E，DF∥AB 交AC 于點F，要使四邊形AEDF 是菱形，只需添加的條件是(　　)A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC D．AD＝BDB探索新知2知識點菱形的邊的性質(zhì) 菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)．此外，菱形還具有哪些特殊性質(zhì)呢? 根據(jù)菱形的軸對稱性，你發(fā)現(xiàn)菱形的四條邊具有什么大小關(guān)系?問 題菱形的四條邊都相等.探索新知例2 如圖所示，菱形ABCD 中，∠B＝60°，AB＝2，E、F 分別是BC、CD 的中點，連接AE、EF、AF，則△AEF 的周長為( ) A． B． C． D．3 在菱形ABCD 中，因為∠B＝60°，連接AC，則△ABC 是等邊三角形，又因為E 分別是BC 的中點，所以AE 垂直于BC，因此AE＝ ，所以△AEF 的周長為 ，故選B.B分析：探索新知 在菱形中作輔助線經(jīng)常連接對角線，構(gòu)造三角形來做題，能夠迎刃而解.典題精講1邊長為3 cm的菱形的周長是(　　)A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cmC2如圖，在菱形ABCD 中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△AEF 的面積是(　　)A．4 B．3 C．2 D.B探索新知3知識點菱形的對角線的性質(zhì) 因為菱形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì).由于它的一組鄰邊相等，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？思考菱形的兩條對角線AC 與BD 之間具有什么位置關(guān)系?探索新知 對于菱形，我們?nèi)匀粡乃膶蔷€等方面進行研究. 可以發(fā)現(xiàn)并證明(請你自己完成證明)，菱形還有以下性質(zhì)： 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.探索新知問 題菱形的面積如何計算呢？菱形的面積有兩種計算方法：一種是底乘以高的積；另一種是對角線乘積的一半.所以在求菱形的面積時，要靈活運用使計算簡單.探索新知由于菱形的四條邊都相等，所以要求其周長就要先求出其邊長．由菱形的性質(zhì)可知，其對角線互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理來進行計算．例3 如圖，在菱形ABCD 中，對角線AC 與BD 相交于 點O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周長．導(dǎo)引：探索新知∵四邊形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.∵AC＝6 cm，BD＝12 cm，∴AO＝3 cm，BO＝6 cm. 在Rt△ABO 中，由勾股定理， 得AB＝ ∴菱形的周長＝4AB解：探索新知 菱形的對角線將菱形分成四個全等的直角三角形，我們通常將菱形問題中求相關(guān)線段的長轉(zhuǎn)化為求直角三角形中相關(guān)線段的長，再利用勾股定理來計算．探索新知如圖，菱形花壇ABCD 的邊長為20 m，∠ABC=60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC 和BD. 求兩條小路的長(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)和花壇的面積(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).例4 探索新知∵花壇ABCD 的形狀是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°. 在Rt△OAB 中，AO = AB = ×20=10，∴花壇的兩條小路長AC = 2AO =20 (m)， BD = 2BO=20 ≈34. 64 (m). 花壇的面積S 四邊形ABCD=4×S △OAB = AC·BD=200 ≈346. 4 (m2).解：探索新知菱形的面積有三種計算方法：(1)將其看成平行四邊形，用底與高的積來求；(2)對角線分得的四個全等直角三角形面積之和；(3)兩條對角線乘積的一半．說明：讀者可利用(1)(2)兩種方法試一試；注意應(yīng)用(3)這種方法時不要忽視“一半”．典題精講1四邊形ABCD 是菱形，對角線AC，BD 相交于點O，且AB = 5，AO = 4. 求AC 和BD 的長.如圖所示，因為四邊形ABCD 是菱形，所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.又因為AB＝5，AO＝4，所以在Rt△AOB 中，OB＝所以BD＝2OB＝2×3＝6，AC＝2AO＝2×4＝8.解：典題精講2已知菱形的兩條對角線的長分別是6和8，求菱形的周長和面積.如圖，由已知得，在菱形ABCD 中，AC＝8，BD＝6.所以O(shè)A＝OC＝4，OB＝OD＝3.又由題意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB 中，AB＝又因為AB＝BC＝CD＝AD，所以菱形的周長為AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝4×5＝20，菱形的面積為 AC·BD＝ ×8×6＝24.解：典題精講3已知菱形的周長為4 ，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為(　　)A．2 B. C．3 D．4D4如圖，菱形ABCD 的對角線AC，BD 的長分別為6 cm，8 cm，則這個菱形的周長為(　　)A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cmD探索新知4知識點菱形的對稱性 我們已經(jīng)知道菱形是特殊的平行四邊形，因此菱形是中心對稱圖形，想一想 菱形是不是軸對稱圖形？如果是軸對稱圖形，對稱軸各幾條？菱形是軸對稱圖形，對稱軸有兩條.探索新知 菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸. 對稱軸是分別經(jīng)過兩組對角頂點的兩條直線．探索新知例5 如圖①，在菱形ABCD 中，E，F(xiàn) 分 別是CB，CD上的點，且BE＝DF. (1)求證：AE＝AF. (2)若∠B＝60°，點E，F(xiàn) 分 別是BC，CD 的中點，求證：△AEF 為等邊三角形.(1)要證AE＝AF，只需證△AEB ≌ △AFD，由BE＝DF 及菱形的相關(guān)性質(zhì)進行證明即可．(2)如圖②，要證△AEF 為等邊三角形，由AE＝AF 知，只需證∠EAF＝60°即可，要證∠EAF＝60°，只需證∠1＝∠2＝30°即可，這可由菱形及等邊三角形相關(guān)知識證出．導(dǎo)引：探索新知(1)∵四邊形ABCD 是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D. 又∵BE＝DF， ∴△ABE ≌ △ADF，∴AE＝AF.(2)如圖②，連接AC. ∵四邊形ABCD 是菱形，∴AB＝BC. 又∵∠B＝60°，∴△ABC 為等邊三角形． ∴∠BAC＝60°. ∵E 為BC 的中點，∴∠1＝ ∠BAC＝30°. 同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°. 又∵AE＝AF，∴△AEF 為等邊三角形．證明：探索新知 菱形的每條對角線把菱形分成兩個全等的等腰三角形(特殊時為兩個全等的等邊三角形)，兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形．所以有關(guān)菱形的一些證明與計算問題常常與特殊的三角形的有關(guān)問題綜合在一起．典題精講1菱形是軸對稱圖形，其對稱軸的條數(shù)為(　　)A．2條 B．4條 C．6條 D．8條A2下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是(　　)A．對角線互相平分B．對角線互相垂直C．對角線相等D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C易錯提醒在菱形ABCD 中，∠A＝30°.在同一平面內(nèi)，以對角線BD 為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC 的度數(shù)為______________．45°或105°易錯點：考慮問題不全導(dǎo)致漏解.易錯提醒 此題易因考慮不全而出錯．本題考查了菱形和等腰三角形的性質(zhì)及分類討論思想，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意正確地畫出符合題意的圖形，求出相關(guān)的角度．頂角為120°的等腰三角形BDE (BD為底邊)，點E 可能在△ABD 內(nèi)，也可能在△CBD 內(nèi)，所以要分情況討論．學(xué)以致用小試牛刀1如圖，在邊長為6的菱形ABCD 中，∠DAB＝60°，以點D 為圓心，菱形的高DF 為半徑畫弧，交AD 于點E，交CD 于點G，則圖中陰影部分的面積是(　　)A．18 －9π B．18－3πC．9 －D．18 －3πA小試牛刀2如圖，菱形ABCD 的邊AB＝8，∠B＝60°，P 是AB上一點，BP＝3，Q是CD 邊上一動點，將梯形APQD 沿直線PQ 折疊，A 的對應(yīng)點為A′. 當(dāng)CA′的長度最小時，CQ 的長為(　　)A．5 B．7 C．8 D.B小試牛刀3求證：菱形的兩條對角線互相垂直．已知：如圖，四邊形ABCD 是菱形，對角線AC，BD 交于點O. 求證：AC⊥BD.以下是排亂的證明過程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四邊形ABCD 是菱形；④∴AB＝AD.證明步驟正確的順序是(　　)A．③→②→①→④ B．③→④→①→②C．①→②→④→③ D．①→④→③→②B小試牛刀如圖，在?ABCD 中，BC＝2AB＝4，點E，F(xiàn) 分別是BC， AD 的中點． (1)求證：△ABE ≌ △CDF； (2)當(dāng)四邊形AECF 為菱形時，求出該菱形的面積．小試牛刀(1)證明：∵四邊形ABCD 為平行四邊形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝AD. ∵E，F(xiàn) 分別是BC，AD 的中點， ∴BE＝DF，∴△ABE ≌ △CDF.(2)解：由題易知AB＝BE＝2.當(dāng)四邊形AECF 為菱形時， AE＝EC＝BE＝2. ∴△ABE 為等邊三角形． 如圖，過點A作AM⊥BE 于M， 則BM＝1， ∴AM＝ . ∴菱形AECF 的面積為2× ＝2 .小試牛刀如圖，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝4，過對角線 BD 中點O 的直線分別交AB，CD 邊于點E，F(xiàn). (1)求證：四邊形BEDF 是平行四邊形； (2)當(dāng)四邊形BEDF 是菱形時，求EF 的長．小試牛刀(1)∵四邊形ABCD 是矩形，O 是BD 的中點， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD， ∴∠OBE＝∠ODF， 在△BOE 和△DOF 中， ∴△BOE ≌ △DOF (ASA)． ∴EO＝FO. ∴四邊形BEDF 是平行四邊形．證明：小試牛刀(2)當(dāng)四邊形BEDF 是菱形時，BD⊥EF，BE＝DE. 設(shè)BE＝x，則DE＝x，AE＝6－x， 在Rt△ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2， ∴x2＝42＋(6－x)2，解得：x＝ ， ∵BD＝ ， ∴BO＝ BD＝ .∵BD⊥EF， ∴EO＝ . ∴EF＝2EO＝ .解：小試牛刀如圖，在菱形ABCD 中，對角線AC，BD 相交于點O， 過點D 作對角線BD 的垂線交BA 的延長線于點E. (1)求證：四邊形ACDE 是平行四邊形； (2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE 的周長．小試牛刀(1)證明：∵四邊形ABCD 是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD. ∵DE⊥BD，∴DE∥AC. ∴四邊形ACDE 是平行四邊形．(2)解：∵四邊形ABCD 是菱形， AC＝8，BD＝6， ∴AO＝4，DO＝3. ∴CD＝AD＝5. ∵四邊形ACDE 是平行四邊形， ∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8. ∴△ADE 的周長為AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.小試牛刀如圖，四邊形ABCD 是菱形，點E 為對角線AC 上一點， 連接DE 并延長交AB 的延長線于點F. 連接CF，BD，BE. (1)求證：∠AFD＝∠EBC； (2)若E 為△BCD 的重心，求∠ACF 的度數(shù)．小試牛刀(1) ∵四邊形ABCD 為菱形， ∴AB∥CD，DC＝BC，∠DCE＝∠BCE. 又∵CE＝CE， ∴△DCE ≌ △BCE (SAS)． ∴∠EBC＝∠EDC. 又∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠EDC. ∴∠AFD＝∠EBC.證明：小試牛刀(2)如圖，設(shè)DF 交BC 于點P，AC 交BD 于點O， ∵E 為△BCD 的重心， ∴P 為BC 的中點．∴BP＝CP. 又∵∠CDP＝∠BFP， ∠CPD＝∠BPF， ∴△CDP ≌ △BFP (AAS)．∴DP＝FP. ∴四邊形BFCD 是平行四邊形． ∴FC∥BD. ∵四邊形ABCD 為菱形， ∴AC⊥BD. ∴∠AOB＝90°. ∴∠ACF＝∠AOB＝90°.解：課堂小結(jié)課堂小結(jié)1．菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 2．菱形的性質(zhì)： (1)它具有平行四邊形的一切性質(zhì). (2)菱形的四條邊相等. (3)菱形的對角線互相垂直， 并且一條對角線平分 一組對角.同學(xué)們，下節(jié)課見！

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