專題04一元二次方程（3個知識點4大題型2個易錯點中考2種考法） 【目錄】 倍速學習五種方法 【方法一】 脈絡(luò)梳理法 知識點1一元二次方程的定義（重點） 知識點2一元二次方程的一般形式（重點） 知識點3一元二次方程的解（重點） 【方法二】 實例探索法 題型一：根據(jù)一元二次方程的定義求字母的值 題型二：根據(jù)一元二次方程的根求字母或代數(shù)式的值 題型三：一元二次方程新定義問題 題型四：對含字母的一元二次方程的系數(shù)的討論 【方法三】 差異對比法 易錯點1忽略一元二次方程的二次項系數(shù)不等于0這個隱含條件 易錯點2 在求一元二次方程的相關(guān)項及系數(shù)時，沒有先將其化為一般形式 【方法四】 仿真實戰(zhàn)法 考法1根據(jù)方程的根求字母（或代數(shù)式）的值 考法2根據(jù)實際問題列一元二次方程 【方法五】 成果評定法 【知識導圖】 【倍速學習五種方法】 【方法一】脈絡(luò)梳理法 知識點1一元二次方程的定義（重點） （1）一元二次方程的定義： 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必須同時滿足三個條件： ①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)； ②只含有一個未知數(shù)； ③未知數(shù)的最高次數(shù)是2． （3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”． 1．（2023春?文登區(qū)期中）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（　?。?A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B． C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝﹣3 知識點2一元二次方程的一般形式（重點） （1）一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式． 2．（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）已知一個一元二次方程的二次項系數(shù)是3，常數(shù)項是1，則這個一元二次方程可能是（　?。?A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝0 3．（2022秋?新會區(qū)期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，則a、b、c的值分別是（　?。?A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝6 4．（2023春?肇源縣月考）將一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（　?。?A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5 知識點3一元二次方程的解（重點） （1）一元二次方程的解（根）的意義： 能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 5．（2023春?巴東縣期中）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，則b＝（　?。?A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．4 【方法二】實例探索法 題型一：根據(jù)一元二次方程的定義求字母的值 6.（2023?桐柏縣一模）關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，則m的值是（　?。?A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1 7．（2022秋?連平縣校級期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（　?。?A．a(chǎn)≥2 且 a≠2 B．a(chǎn)≥0 且 a≠2 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≠2 題型二：根據(jù)一元二次方程的根求字母或代數(shù)式的值 8．（2023?邗江區(qū)校級一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則2023﹣m2+m的值為（　　） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 9．（2023?邗江區(qū)一模）若關(guān)于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一個根為3，則m的值為 　?。?10．（2023春?玄武區(qū)期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式2023﹣m2﹣m的值為 　 ?。?11．（2022秋?梁山縣期末）已知m是方程x2+x﹣3＝0的解，求式子m3+2m2﹣2m+2022的值． 12．（2022秋?江陰市校級月考）已知2是關(guān)于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一個根，而這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長． （1）求m的值； （2）求△ABC的周長． 13．（2023?鶴山市模擬）先化簡，再求值：，其中a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根． 題型三：一元二次方程新定義問題 14．（2021秋?高港區(qū)期中）定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰方程”． （1）判斷一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否為鳳凰方程，說明理由． （2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是關(guān)于x的鳳凰方程，若m是此鳳凰方程的一個根，求m的值． 15．（2022秋?江陰市校級月考）定義：如果兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們稱這兩個方程為“友好方程”，如果關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x＝0與x2+3x+m﹣1＝0為“友好方程”，求m的值． 16．（2022秋?長汀縣期中）如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE＝c，這時我們把關(guān)于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”，比如3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”．請解決下列問題： （1）試判斷方程x2+2x+1＝0 　　“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）； （2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一個根，且四邊形ACDE的周長是12，求△ABC面積． 17．（2022秋?南昌期中）對于任意一個三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”． （1）已知一個“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式 　 ??；判斷241 　 　“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”）； （2）利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關(guān)系式； （3）在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值． 題型四：對含字母的一元二次方程的系數(shù)的討論 18．（2022秋·河南開封·九年級?？茧A段練習）已知關(guān)于x的方程． (1)當k取何值時，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根； (2)當k取何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項． 19．（2022秋·九年級單元測試）當m為何值時，關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5． (1)為一元二次方程； (2)為一元一次方程． 【方法三】差異對比法 易錯點1忽略一元二次方程的二次項系數(shù)不等于0這個隱含條件 20．（2021秋?襄城縣期中）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項為0，則m的值為 　?。?易錯點2 在求一元二次方程的相關(guān)項及系數(shù)時，沒有先將其化為一般形式 21．（2022秋?沭陽縣校級期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常數(shù)項是﹣1，一次項系數(shù)是（　?。?A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【方法四】 仿真實戰(zhàn)法 考法1根據(jù)方程的根求字母（或代數(shù)式）的值 22．（2022?連云港）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個根是x＝1，則m+n的值是 　?。?23．（2021?宿遷）若關(guān)于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一個根是3，則a＝　?。?24．（2022?廣東）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，則a＝　?。?25．（2022?遂寧）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值為（　?。?A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044 26．（2022?資陽）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個根，則2a2+4a的值是 　?。?考法2根據(jù)實際問題列一元二次方程 27．（2022?衢州）將一個容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：　 （不必化簡）． 【方法五】 成果評定法 一、單選題 1．（2023·江西撫州模擬預測）下列方程是一元二次方程的是（????） A． B． C． D． 2．（2023·廣東東莞模擬預測）將方程化成的形式，則，，的值分別為（????） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2022春·甘肅蘭州階段練習）若是關(guān)于的一元二次方程，則的值是(　　) A． B． C． D．不能確定 4．（2023秋·廣東湛江期末）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，則m的值是（????） A． B．1 C．或 D．0 5．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（????） A．1 B．1或 C． D．0.5 6．（2023春·廣東廣州開學考試）若a是方程的一個解，則的值是（???） A．10 B．5 C． D． 二、填空題 7．（2022秋·福建泉州期末）一元二次方程的一次項系數(shù)為______． 8．（2022秋·江西贛州期末）用公式法解一元二次方程時，應先將其化成“一般形式”為________． 9．（2022秋·河南南陽期末）若關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為_____． 10．（2022秋·四川樂山期末）若關(guān)于x的一元二次方程，則__________． 11．（2023·山東東營·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為______． 12．（2023春·江西吉安階段練習）若是方程的一個解，則代數(shù)式的值是___________． 三、解答題 13．（2022秋·山東青島階段練習）若關(guān)于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集． 14．（2022秋·河南開封階段練習）已知關(guān)于x的方程． (1)當k取何值時，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根； (2)當k取何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項． 15．（2023秋·山東濟寧期末）已知m是方程的解，求式子的值． 16．（2023秋·重慶永川期末）先化簡，再求值：，其中是一元二次方程的根． 17．（2023?佛岡縣二模）先化簡，再求值：，若x是方程x2﹣2x＝0的正整數(shù)解． 18．（2023?廣陵區(qū)一模）先化簡再求值：，其中x是方程x2﹣2x＝0的一個根． 19．（2023?越秀區(qū)一模）已知． （1）化簡P； （2）若a為方程的一個解，求P的值． 20．（2023·北京西城一模）已知a是方程的一個根，求代數(shù)式的值． 21．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）設(shè)p，q是整數(shù)，方程有一個根為，求p﹣q的值． 22．（2022秋·九年級單元測試）當m為何值時，關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5． (1)為一元二次方程； (2)為一元一次方程． 23．（2022秋·河北唐山期末）我們定義：如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”． (1)請判斷方程是不是倍根方程，并說明理由； (2)若是倍根方程，則___________．

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