北師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊第二章《一元二次方程》單元測試卷考試范圍：第二章；考試時(shí)間：100分鐘；總分：120分學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 已知一元二次方程的兩根分別為，，則方程的兩根分別為(    )A. ， B. ， C. ， D. ，用配方法解方程時(shí)，應(yīng)將其變形為(    )A.  B.  C.  D. 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的最大整數(shù)解是(    )A.  B.  C.  D. 對于任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程的根的情況為(    )A. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B. 沒有實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D. 無法判定下列解方程變形正確的是(    )A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則或一袋中裝有形狀、大小都相同的五個(gè)小球，每個(gè)小球上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別是、、、、現(xiàn)從袋中任意摸出一個(gè)小球，則摸出的小球上的數(shù)恰好是方程的解的概率是(    )A.  B.  C.  D. 已知的小數(shù)部分是方程的一個(gè)根，則該方程另一根的整數(shù)部分是．(    )A.  B.  C.  D. 若滿足不等式組，則關(guān)于的方程的根的情況是(    )A. 無實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 D. 不能確定歐幾里德在幾何原本中，記載了用圖解法解方程的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程的一個(gè)正根．如圖，一張邊長為的正方形的紙片，先折出、的中點(diǎn)、，再折出線段，然后通過沿線段折疊使落在線段上，得到點(diǎn)的新位置，并連接、，此時(shí)，在下列四個(gè)選項(xiàng)中，有一條線段的長度恰好是方程的一個(gè)正根，則這條線段是(    )A. 線段 B. 線段 C. 線段 D. 線段某蔬菜種植基地年蔬菜產(chǎn)量為噸，預(yù)計(jì)年蔬菜產(chǎn)量比年增加噸。若蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為，則下面所列的方程正確的是．(    )A.  B.
C.  D. 對于一元二次方程，下列說法：若，則；若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；若是方程的一個(gè)根，則一定有成立；若是一元二次方程的根，則其中正確的(    )A. 只有 B. 只有 C.  D. 只有第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）方程的解是______．已知關(guān)于的方程和，其中前一個(gè)方程的一個(gè)根是后一個(gè)方程一個(gè)根的倍，則的值為______________．已知關(guān)于的方程的一個(gè)解為，則它的另一個(gè)解是______．某種文化衫，平均每天銷售件，每件盈利元，若每件降價(jià)元，則每天可多銷售件，如果每天要盈利元，則每件應(yīng)降價(jià)          元 三、解答題（本大題共8小題，共72.0分）暑假期間，某商場購進(jìn)一批價(jià)格為元的文化衫，根據(jù)市場預(yù)測，每件文化衫售價(jià)為元時(shí)，每周可售出件，售價(jià)每上漲元，銷售量將減少件，為了維護(hù)消費(fèi)者的利益，物件部門規(guī)定，該文化衫的售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的倍該商場為了確保這批文化衫每周的銷售利潤為元，每件文化衫應(yīng)定價(jià)多少元？已知方程沒有實(shí)數(shù)根，其中是實(shí)數(shù)，試判斷方程有無實(shí)數(shù)根．若關(guān)于，的二元一次方程組的解，．求的取值范圍；若是一個(gè)直角三角形的直角邊長，是其斜邊長，此三角形另一條直角邊的長為方程的解，求這個(gè)直角三角形的面積．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．求的取值范圍；如果符合條件的最大整數(shù)是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，求該方程的另一個(gè)根．解方程：如圖，在菱形中，對角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在對角線上，且，求證：四邊形是正方形．
已知關(guān)于的一元二次方程，其中，，分別為三邊的長．
如果是方程的一個(gè)根，試判斷的形狀，并說明理由；
如果是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．已知方程組的解滿足為非正數(shù)，為負(fù)數(shù)．
求的取值范圍．
在的取值范圍內(nèi)，當(dāng)為何整數(shù)時(shí)，不等式的解為．若是關(guān)于的一元二次方程的根，求代數(shù)式的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是方程的實(shí)數(shù)根，
，
，
，
，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
．
故選：．
先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，則可化為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，，．
 2.【答案】 【解析】解：一元二次方程的兩根分別為，，
方程中或，
解得：或，
即方程的兩根分別為和，
故選：．
本題考查了一元二次方程的解的意義，將看成整體根據(jù)已知方程的解得出或是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)已知方程的解得出或，然后解這兩個(gè)一元一次方程即可求出的值．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故選：．
先移項(xiàng)，再配方，即可得出選項(xiàng)．
本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
解得，
則的最大整數(shù)值是．
故選：．
若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于的不等式，求出的取值范圍．
考查了根的判別式，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；方程沒有實(shí)數(shù)根．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
不論為何值，，
即，
所以方程沒有實(shí)數(shù)根，
故選：．
先根據(jù)根的判別式求出“”，再根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可．
本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程、、為常數(shù)，，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
 6.【答案】 【解析】解：若，則，
所以，，
或，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B.若，
則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
C.若，則
，即，故選項(xiàng)C正確；
D.若，
則，
，
或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：．
A.利用因式分解法求解即可判斷；
B.利用直接開平方法變形即可判斷；
C.利用配方法變形即可判斷；
D.利用因式分解法求解，即可判斷．
本題考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：方程的解為，，
則數(shù)字、、、、中只有是該方程的解，
故摸出的小球上的數(shù)恰好是方程的解的概率是，
故選：．
首先求出方程的解，再根據(jù)概率公式求出答案即可．
此題考查概率的求法以及因式分解法求出一元二次方程的解，解本題的關(guān)鍵要掌握：如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結(jié)果，那么事件的概率．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了估算無理數(shù)的大小及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，首先估算出的整數(shù)部分，再確定小數(shù)部分，然后根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出方程的另一個(gè)根，再確定整數(shù)部分即可．
【解答】
解：，
，
的整數(shù)部分為，
則的小數(shù)部分為，
的小數(shù)部分是方程的一個(gè)根，
設(shè)方程的另一個(gè)根為，
，
，
，
，
則．
該方程另一根的整數(shù)部分是．
故選B．  9.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了解一元一次不等式組，一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值等于時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值小于時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．求出的取值范圍，表示出已知方程根的判別式，判斷得到根的判別式的值小于，可得出方程沒有實(shí)數(shù)根．
【解答】解：解不等式組，得，
，
，
，
方程 沒有實(shí)數(shù)根，
故選A．  10.【答案】 【解析】解：設(shè)，則．
由題意可知：≌，是的中點(diǎn)，
，，
，
，
．
的解為，
取正值為．
這條線段是線段．
故選：．
首先根據(jù)方程解出正根為，再判斷這個(gè)數(shù)值和題目中的哪條線段接近．線段排除，其余三條線段可以通過設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系．利用正方形的面積等于圖中各個(gè)三角形的面積和，列等量關(guān)系．設(shè)，則，從而可以用表示等式．
本題考查了一元二次方程的解法、正方形的性質(zhì)、翻折變換．
 11.【答案】 【解析】【分析】
此題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程增長率問題解題的關(guān)鍵在于理清題目的含義，找到年的產(chǎn)量的代數(shù)式，根據(jù)條件找準(zhǔn)等量關(guān)系式，列出方程．
利用增長后的產(chǎn)量增長前的產(chǎn)量增長率，設(shè)平均每次增長的百分率為，根據(jù)“年蔬菜產(chǎn)量為噸，預(yù)計(jì)年蔬菜產(chǎn)量比年增加噸”，即可得出方程．
【解答】
解：設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為，則可列方程為．  12.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，牢固掌握二者的關(guān)系并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．
按照方程的解的含義、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式等對各選項(xiàng)分別討論，可得答案．
【解答】
解：若，則是方程的解，
由一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系可知，故正確；
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，


則方程的判別式

方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故正確；
是方程的一個(gè)根，
則

若，等式仍然成立
故不一定成立，故不正確；
若是一元二次方程的根，
則由求根公式可得：
或
或

故正確．
故選：．  13.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)，原方程為，
由求根公式得，
，
應(yīng)舍去；
當(dāng)時(shí)，原方程為，
由求根公式得，

應(yīng)舍去；
故原方程的根為．
由于帶有絕對值的符號(hào)，必須先考慮的范圍再解方程，對不在范圍內(nèi)的值要舍去．
本題考查公式法解一元二次方程，由題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定在不同的范圍內(nèi)求未知數(shù)的值，對于不在該范圍內(nèi)的值要舍去．
 14.【答案】或 【解析】【分析】
本題考查了解一元二次方程和一元二次方程的解根的意義：能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解設(shè)是方程的一個(gè)根，則是方程的一個(gè)根，根據(jù)方程的解的定義可得，即，再將，得，解方程求出或然后分別代入即可求出的值
【解答】
解：設(shè)是方程的一個(gè)根，
則是方程的一個(gè)根，那么，
，
即，
得，
解得或．
當(dāng)時(shí)，，
；
當(dāng)時(shí)，，
．
故實(shí)數(shù)的值為或．  15.【答案】 【解析】解：設(shè)方程的另一個(gè)解是，
根據(jù)題意得：，
解得：．
故答案為：．
設(shè)方程的另一個(gè)解是，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出方程的另一個(gè)解．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】或 【解析】略
 17.【答案】解：設(shè)每件文化衫的定價(jià)為元，則每周的銷售量為件，
依題意，得：，
解得：，．
售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的倍，
，
不合題意，舍去，
．
答：每件文化衫應(yīng)定價(jià)為元． 【解析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)每件文化衫的定價(jià)為元，則每周的銷售量為件，根據(jù)周銷售利潤每件的利潤周銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取符合題意的值即可得出結(jié)論．
 18.【答案】解：沒有實(shí)數(shù)根，，即．對于方程，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 【解析】見答案
 19.【答案】解：解方程組得
，，

解得，
的取值范圍為．
，
解得，
、、分別是直角三角形的三邊長，
，
解得，舍去，
，
三角形的面積為． 【解析】本題主要考查解二元一次方程組、一元一次不等式組、一元二次方程，勾股定理和三角形面積等知識(shí)的綜合運(yùn)用．
解關(guān)于，的二元一次方程組，根據(jù)，值大于可得關(guān)于的不等式組，解不等式組可求解；
先用配方法求得一元二次方程的解，再利用勾股定理計(jì)算可求解．
 20.【答案】解：由該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得，，解得 ，由二次項(xiàng)系數(shù)不為得，即所以；由題意得，，
，把代入得 ，解得，把代入得，解得，所以該方程另一根． 【解析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后求出兩不等式的公共部分即可；
滿足條件的的值為，然后把代入得，然后解得，再把代入方程即可解得方程的另一個(gè)根．
 21.【答案】解：，
，
或，
或，
故方程的解為，．
證明：四邊形是菱形，
，，，
，
，
四邊形是菱形，
，，
，
，即，
菱形是正方形． 【解析】本題考查解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步驟：移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
利用因式分解法求解即可．
本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，正方形的判定，掌握相關(guān)定理是解題基礎(chǔ)．
先證明四邊形是菱形，再證明，即可得出結(jié)論．
 22.【答案】解：是等腰三角形，
理由：是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形；

如果是等邊三角形，則，
原方程可化為：，
，
解得：，． 【解析】把代入方程，整理后得出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，代入方程得出，再求出方程的解即可．
本題考查了等腰三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解和解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，能熟記等腰三角形的判定定理和等邊三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：解方程組，得：，
根據(jù)題意，得：，
解得；

由的解為知，
解得，
則在中整數(shù)符合題意． 【解析】解方程組得出、，由為非正數(shù)，為負(fù)數(shù)列出不等式組，解之可得；
由不等式的性質(zhì)求出的范圍，結(jié)合中所求范圍可得答案．
本題主要考查解二元一次方程組和一元一次不等式組的能力，熟練掌握加減消元法和解不等式組的能力是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：依題意，得 ，
，
．
即． 【解析】把代入已知方程可以求得，然后將其代入整理后的所求代數(shù)式進(jìn)行求值即可．
本題考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
 

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