第3章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)6種題型2種中考考法與檢測(cè)卷） 【目錄】 倍速學(xué)習(xí)四種方法 【方法一】 脈絡(luò)梳理法 知識(shí)點(diǎn)1.利用樹(shù)狀圖或表格求概率（重點(diǎn)）（難點(diǎn)） 知識(shí)點(diǎn)2判斷游戲的公平性（重點(diǎn)） 知識(shí)點(diǎn)3用頻率估計(jì)概率（重點(diǎn)） 知識(shí)點(diǎn)4模擬試驗(yàn) 【方法二】 實(shí)例探索法 題型1.卡片中的概率問(wèn)題 題型2.運(yùn)用概率知識(shí)分析游戲問(wèn)題 題型3.與概率有關(guān)的綜合型問(wèn)題 題型4.用頻率估計(jì)概率 題型5.設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)解決問(wèn)題 題型6.用計(jì)算器模擬試驗(yàn)估計(jì)概率 【方法三】 仿真實(shí)戰(zhàn)法 考法1. 求某一事件發(fā)生的概率 考法2. 利用頻率估計(jì)概率 【檢測(cè)卷】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.會(huì)運(yùn)用畫樹(shù)狀圖和列表的方法計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率，體會(huì)概率是反映現(xiàn)實(shí)生活中事件發(fā)生可能性大小的模型。 2.掌握判斷游戲的公平性的方法。 3.能利用概率解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 4.能用試驗(yàn)頻率估計(jì)一些隨機(jī)事件發(fā)生的概率，進(jìn)一步體會(huì)概率的意義。 5.了解模擬試驗(yàn)，能用模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)一些隨機(jī)事件發(fā)生的概率。 【知識(shí)導(dǎo)圖】 【倍速學(xué)習(xí)五種方法】 【方法一】脈絡(luò)梳理法 知識(shí)點(diǎn)1.利用樹(shù)狀圖或表格求概率（重點(diǎn)）（難點(diǎn)） 1.樹(shù)狀圖：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)狀圖. 樹(shù)狀圖是用樹(shù)狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法. 要點(diǎn)詮釋：(1) 樹(shù)形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題； （2）在用列表法或樹(shù)形圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同. 2.表格法： 　　當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用表格法. 表格法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法. 要點(diǎn)詮釋：（1）表格法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題； （2）表格法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率. 【例1】把一副撲克牌中的張黑桃牌（它們的正面牌面數(shù)字分別是、、）洗勻后正面朝下放在桌面上． （1）如果從中隨機(jī)抽取一張牌，那么牌面數(shù)字是的概率是多少？ （2）小王和小李玩摸牌游戲，游戲規(guī)則如下：先由小王隨機(jī)抽出一張牌，記下牌面數(shù)字后放回，洗勻后正面朝下，再由小李隨機(jī)抽出一張牌，記下牌面數(shù)字．當(dāng)張牌面數(shù)字相同時(shí)，小王贏；當(dāng)張牌面數(shù)字不相同時(shí)，小李贏．現(xiàn)請(qǐng)你利用樹(shù)狀圖或列表法分析游戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平？并說(shuō)明理由. 【答案與解析】（1）P（抽到牌面數(shù)字４）=;　　　 （2）游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平． 　　　　　　 理由如下： P（牌面數(shù)字相同）=；P（牌面數(shù)字不相同）=. 【變式】不透明的口袋里裝有白、黃、藍(lán)三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個(gè)，黃球有1個(gè)，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)是白球的概率為. （1）試求袋中藍(lán)球的個(gè)數(shù). （2）第一次任意摸一個(gè)球（不放回），第二次再摸一個(gè)球，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖法，求兩次摸到的都是白球的概率. 【答案】（1）1個(gè)； （2）P（兩次摸到白球）=. 知識(shí)點(diǎn)2判斷游戲的公平性（重點(diǎn)） 【例2】（2023春·廣東云浮·九年級(jí)?？计谀┘?、乙兩班進(jìn)行籃球比賽，裁判員采用同時(shí)拋擲兩枚完全相同硬幣的方法選擇比賽場(chǎng)地：若兩枚硬幣朝上的面相同，則甲班先選擇場(chǎng)地；否則乙班先選擇場(chǎng)地．為了判斷這種方法的公平性，明明畫出樹(shù)狀圖如圖所示，根據(jù)樹(shù)狀圖，這種選擇場(chǎng)地的方法對(duì)兩個(gè)班級(jí) ．（填“公平”或“不公平”） ?? 【答案】公平 【分析】要判斷這種方法是否公平，只要看所選取的方法，使這兩個(gè)隊(duì)優(yōu)先選擇比賽場(chǎng)地的可能性是否相等即可． 【詳解】解：根據(jù)題意畫樹(shù)狀圖如下： ?? 由上圖可知， 甲班優(yōu)先選擇場(chǎng)地的概率， 乙班優(yōu)先選擇場(chǎng)地的概率， 故這兩個(gè)隊(duì)優(yōu)先選擇比賽場(chǎng)地的可能性相等， ∴這種選擇場(chǎng)地的方法對(duì)兩個(gè)班級(jí)公平． 故答案為：公平． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了游戲規(guī)則公平性的判斷，會(huì)畫樹(shù)狀圖求等概率事件的概率是做出本題的關(guān)鍵． 【變式】（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小亮和小芳都想?yún)⒓訉W(xué)校社團(tuán)組織的暑假實(shí)踐活動(dòng)，但只有一個(gè)名額，小亮提議用如下的辦法決定誰(shuí)去參加活動(dòng)；將一個(gè)材質(zhì)均勻的轉(zhuǎn)盤9等分，分別標(biāo)上1至9九個(gè)號(hào)碼，隨意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，若轉(zhuǎn)到4的倍數(shù)，小亮去參加活動(dòng)；轉(zhuǎn)到3的倍數(shù)，小芳去參加活動(dòng)；轉(zhuǎn)到其它號(hào)碼則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤． (1)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到4的倍數(shù)的概率是多少？ (2)你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算可得； （2）利用概率公式計(jì)算出兩人獲勝的概率即可判斷． 【詳解】（1）解：∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9這9種等可能的結(jié)果，其中4的倍數(shù)有2個(gè)， ∴轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到4的倍數(shù)的概率為； （2）游戲不公平， ∴小亮去參加活動(dòng)的概率為， 小芳去參加活動(dòng)的概率為：， ∵， ∴游戲不公平． 【點(diǎn)睛】本題主要考查游戲的公平性，判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平． 知識(shí)點(diǎn)3用頻率估計(jì)概率（重點(diǎn)） 當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來(lái)估計(jì)概率. 要點(diǎn)詮釋：用試驗(yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，結(jié)果將較為精確. 【例3】某商場(chǎng)設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(如圖)，并規(guī)定：顧客購(gòu)物10元以上能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤 的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：　　 (1)計(jì)算并完成表格： (2)請(qǐng)估計(jì)，當(dāng)很大時(shí)，頻率將會(huì)接近多少？ (3)轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率約是多少？ (4)在該轉(zhuǎn)盤中，標(biāo)有“鉛筆”區(qū)域的扇形的圓心角大約是多少？(精確到 1°) 　 【答案與解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701； 　 (2)　0.69； (3) 由（1）的頻率值可以得出P（獲得鉛筆）=0.69； 　 (4) 0.69×360°≈248°. 【總結(jié)升華】(1)試驗(yàn)的次數(shù)越多，所得的頻率越能反映概率的大??；(2)頻數(shù)分布表、扇形圖、條形圖、直方圖都能較好地反映頻數(shù)、頻率的分布情況，我們可以利用它們所提供的信息估計(jì)概率． 【變式】（2023·河南洛陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖是小明的健康綠碼示意圖，用黑白打印機(jī)打印于邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計(jì)圖中黑色部分的總面積，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則黑色部分的面積為 ． 【答案】2.4 【分析】經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，可得點(diǎn)落入黑色部分的概率為0.6，根據(jù)邊長(zhǎng)為的正方形的面積為，進(jìn)而可以估計(jì)黑色部分的總面積． 【詳解】解：∵經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右， ∴點(diǎn)落入黑色部分的概率為0.6， ∵邊長(zhǎng)為的正方形的面積為， 設(shè)黑色部分的面積為S， 則， 解得． ∴估計(jì)黑色部分的總面積約為． 故答案為：2.4． 【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，解決本題的關(guān)鍵是掌握概率公式，知道點(diǎn)落入黑色部分的概率為0.6． 知識(shí)點(diǎn)4模擬試驗(yàn) 【例4】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）某人在做擲硬幣試驗(yàn)，投擲次，正面朝上有次，若正面朝上的頻率，隨著次數(shù)的增加，的值接近 ． 【答案】 【分析】頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小，盡管每進(jìn)行一連串（n次）實(shí)驗(yàn)，所得的頻率可以各不相同，但只要n相當(dāng)大，頻率與概率是會(huì)非常接近的． 【詳解】解：隨著次數(shù)的增加，的值接近． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了模擬實(shí)驗(yàn)，熟練掌握模擬實(shí)驗(yàn)的頻率與概率的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 【變式1】為了估計(jì)池塘里有多少條魚，從池塘里捕撈了1000條魚做上標(biāo)記，然后放回池塘里，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，等有標(biāo)記的魚完全混合于魚群中以后，再捕撈200條，若其中有標(biāo)記的魚有10條，則估計(jì)池塘里有魚______________條． 【答案】條 . 【變式2】一個(gè)密封不透明的盒子里有若干個(gè)白球, 在不允許將球倒出來(lái)的情況下, 為估計(jì)白球的個(gè)數(shù), 小剛向其中放入8個(gè)黑球, 搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色, 再把它放回盒中, 不斷重復(fù), 共摸球400次, 其中88次摸到黑球. 估計(jì)盒中大約有白球( ). 　　A.28個(gè)　　　B.30個(gè)　　　C.36個(gè)　　　D.42個(gè) 【答案】A. 【解析】先求出盒子里所有的球數(shù)為, 　　　　再求盒子里的白球數(shù)為36-8=28個(gè).故選A . 【總結(jié)升華】通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)由頻率估計(jì)概率的必要性和科學(xué)性.強(qiáng)調(diào)“同樣條件，大量試驗(yàn)”. 【方法二】實(shí)例探索法 題型1.卡片中的概率問(wèn)題 1．（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？计谥校┰谝粋€(gè)不透明的袋子中裝有4張形狀大小質(zhì)地完全相同的卡片.它們上面分別標(biāo)有數(shù)字：、、0、2，隨機(jī)抽取一張卡片，記下數(shù)字為，放回后再隨機(jī)抽取一張卡片，記下數(shù)字為，則落在第三象限的概率是 . 【答案】 【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可． 【詳解】解：列表如下： 由表知，共有16種等可能結(jié)果，其中落在第三象限的有4種結(jié)果， 所以落在第三象限的概率為， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】此題考查的是樹(shù)狀圖法求概率以及隨機(jī)事件和不可能事件的概念．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 2．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）西安有“碳水之都”的美譽(yù)，現(xiàn)有4張卡片正面分別寫著“碳”“水”“之”“都”，卡片除漢字不同其他別無(wú)二致，將卡片正面朝下洗勻，然后同時(shí)隨機(jī)抽取2張，剛好抽到“碳”“水”二字的概率是 ． 【答案】 【分析】先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到抽到“碳”“水”二字的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可． 【詳解】解：設(shè)用A、B、C、D分別表示“碳”“水”“之”“都”這四個(gè)字，列表如下： 由表格可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中抽到“碳”“水”二字（即抽到A和B）的結(jié)果數(shù)有2種， ∴抽到“碳”“水”二字的概率為， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了樹(shù)狀圖法或列表法求解概率，正確列出對(duì)應(yīng)的表格或畫出樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵． 3．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）張相同的卡片上分別寫有數(shù)字，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取張，將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)；再?gòu)挠嘞碌膹埧ㄆ腥我獬槿垼瑢⒖ㄆ系臄?shù)字記錄下來(lái)． (1)求第一次抽取的卡片上數(shù)字是正數(shù)的概率； (2)明明設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛?lái)的數(shù)字減去第二次記錄下來(lái)的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝．明明設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）． 【答案】(1) (2)公平，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）列舉出所有可能，再利用概率公式即可求出概率； （2）利用列表法列舉所有可能的結(jié)果，再利用概率公式求出甲、乙的獲勝概率即可得出答案． 【詳解】（1）解：第一次抽取卡片共有4種等可能的結(jié)果，其中卡片上數(shù)字是正數(shù)的結(jié)果有2種， 第一次抽取的卡片上數(shù)字是正數(shù)的概率是． （2）解：列表如下： 由表可知，共有種等可能結(jié)果，其中結(jié)果為非負(fù)數(shù)的有種結(jié)果，結(jié)果為負(fù)數(shù)的有種結(jié)果， 所以甲獲勝的概率乙獲勝的概率， 此游戲公平． 【點(diǎn)睛】本題考查了概率及利用列表法求概率判斷游戲的公平性，判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．掌握概率的求法是解題關(guān)鍵，即如果在一次試驗(yàn)中，有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件包含其中種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概率是． 4．（2022秋·吉林白城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在一個(gè)不透明的盒子中裝有三張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字、、，這些卡片除數(shù)字不同外其余均相同，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取一張卡片記下數(shù)字后放回，洗勻后再隨機(jī)抽取一張卡片．用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率． 【答案】 【分析】利用列表法或樹(shù)狀法，即可求出概率． 【詳解】解法一： 根據(jù)題意，畫樹(shù)狀圖如下： ???? 由樹(shù)狀圖可以看出，所有等可能的結(jié)果共有9種，其中兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有5種，所以（兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)）． 解法二： 根據(jù)題意，列表如下： 由表可以看出，所有等可能的結(jié)果共有9種，其中兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有5種，所以（兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)）． 【點(diǎn)睛】本題考查了利用列表法或樹(shù)狀法求概率，根據(jù)題意選擇適合的方法求概率是解題關(guān)鍵．當(dāng)事件的發(fā)生只經(jīng)過(guò)兩個(gè)步驟時(shí)，一般用列表法就能將所有的可能結(jié)果列舉出來(lái)，當(dāng)經(jīng)過(guò)多個(gè)步驟時(shí)，表格就不夠清晰了，而畫樹(shù)狀圖法的適用面更廣，特別是多個(gè)步驟時(shí)，層次清楚，一目了然． 5．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）在張相同的小紙條上，分別寫有：①；②；③；④乘法；⑤加法．將這張小紙條做成支簽，①、②、③放在不透明的盒子中攪勻，④、⑤放在不透明的盒子中攪勻． (1)從盒子中任意抽出支簽，抽到無(wú)理數(shù)的概率是______； (2)先從盒子中任意抽出支簽，再?gòu)暮凶又腥我獬槌鲋Ш灒蟪榈降膫€(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算后結(jié)果是無(wú)理數(shù)的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判斷盒子中無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可； （2）根據(jù)題意畫出所有的組合情況，再計(jì)算出對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果，得到運(yùn)算結(jié)果是無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可． 【詳解】（1）解：∵， 故和均為無(wú)理數(shù)， 故盒子中任意抽出支簽，抽到無(wú)理數(shù)的概率是． 故答案為：． （2）解：樹(shù)狀圖畫出所有情況為： 即抽簽的組合有種，分別為： 對(duì)應(yīng)的組合運(yùn)算結(jié)果共個(gè)，其中運(yùn)算結(jié)果為無(wú)理數(shù)的有個(gè)， 故抽到的個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算后結(jié)果是無(wú)理數(shù)的概率為． 【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式求概率，畫樹(shù)狀圖求概率，無(wú)理數(shù)的定義等，解題的關(guān)鍵是求所有情況下運(yùn)算的結(jié)果，判斷結(jié)果是無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)． 6．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）將分別標(biāo)有數(shù)字，，，的四張卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上． (1)隨機(jī)地抽取一張，則抽到奇數(shù)的概率是______； (2)隨機(jī)抽取兩張，請(qǐng)利用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求這兩個(gè)數(shù)字之和能被整除的概率是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先求出這組數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)，再利用概率公式解答即可； （）首先根據(jù)題意可直接列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再算出這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率． 【詳解】（1）隨機(jī)抽取張，抽到卡片數(shù)字是奇數(shù)的概率為 ； （2）樹(shù)狀圖如下： ???， 一共有種等可能結(jié)果，兩個(gè)數(shù)字之和能被整除的有種， ∴， 答：能被整除的概率是 ． 【點(diǎn)睛】此題考查了用列表法或畫樹(shù)狀圖法求概率，列表法或畫樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，熟記概率公式是解決本題的關(guān)鍵． 7．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┯?張撲克牌，牌面數(shù)字分別為2、3、4、4，其余都相同．小明隨機(jī)從中摸出一張牌，記錄牌面數(shù)字后放回；洗勻后再?gòu)闹忻鲆粡埮?，記錄牌面?shù)字后又放回．小明摸了100次，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： (1)上述試驗(yàn)中，小明摸出牌面數(shù)字為3的頻率是 ；小明摸一張牌，摸到牌面數(shù)字為3的概率是 ； (2)若小明一次摸出兩張牌，求小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接由頻率定義和概率公式分別求解即可； （2）畫樹(shù)狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可． 【詳解】（1）上述試驗(yàn)中，小明摸出牌面數(shù)字為3的頻率是； 小明摸一張牌，摸到牌面數(shù)字為3的概率是； 故答案為：，； （2）畫樹(shù)狀圖如下： ?? 共有12種等可能的結(jié)果，其中小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的結(jié)果有4種， ∴小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的概率為． 【點(diǎn)睛】本題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 題型2.運(yùn)用概率知識(shí)分析游戲問(wèn)題 8.（2023春·山東日照·九年級(jí)?？计谥校┫聢D是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，甲轉(zhuǎn)盤被等分成3個(gè)扇形，乙轉(zhuǎn)盤被等分成4個(gè)扇形，每一個(gè)扇形上都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字．小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10，則小穎獲勝；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和等于10，則為平局；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于10，則小亮獲勝．如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個(gè)數(shù)字為止． (1)請(qǐng)你通過(guò)畫樹(shù)狀圖或列表的方法求小穎獲勝的概率． (2)該游戲規(guī)則是否公平？若公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不公平，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一種公平的游戲規(guī)則． 【答案】(1) (2)不公平，公平的游戲規(guī)則見(jiàn)詳解 【分析】（1）依據(jù)題意先用列表法或畫樹(shù)狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出小穎獲勝的概率即可； （2）判斷游戲的公平性，首先要計(jì)算出游戲雙方贏的概率，概率相等則公平，否則不公平；然后設(shè)計(jì)出公平的游戲規(guī)則（答案不唯一）． 【詳解】（1）解：根據(jù)題意，畫樹(shù)狀圖如下所示： 由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的兩數(shù)字之和小于10的有6種， ∴小穎獲勝的概率為； （2）該游戲規(guī)則不公平． 由（1）可知，共有12種等可能的情況，其和大于10的情況有3種， ∴小亮獲勝的概率為，而小穎獲勝的概率為， 故該游戲規(guī)則不公平． 游戲規(guī)則可修改為以下兩種：①當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于或等于10時(shí)，小亮獲勝；當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10時(shí)，小穎獲勝；②當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，小亮獲勝；當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為偶數(shù)時(shí)，小穎獲勝．（答案不唯一） 【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法求概率以及概率的應(yīng)用，理解題意，正確作出樹(shù)狀圖或列表是解題關(guān)鍵． 9.（2023·陜西咸陽(yáng)·?？家荒＃榱藗鞒兄腥A優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強(qiáng)文化自信，某班準(zhǔn)備從甲、乙兩名熱愛(ài)詩(shī)詞的同學(xué)中選出一名參加學(xué)校組織的“弘揚(yáng)民族文化，品味詩(shī)詞精華”活動(dòng)，他們想通過(guò)做游戲的方式來(lái)決定誰(shuí)去參加活動(dòng)，于是讓班長(zhǎng)設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲，規(guī)則如下：現(xiàn)有兩個(gè)不透明的盒子，其中一個(gè)裝入分別標(biāo)有字母A、B、C的三個(gè)小球，另一個(gè)裝入分別標(biāo)有字母B、C、D的三個(gè)小球，這些小球除字母不同外，其余完全相同，從兩個(gè)盒子中分別摸出一個(gè)小球，若所摸出的兩個(gè)小球上的字母相同，則甲去參加活動(dòng)，否則就是乙去． (1)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法求出乙去的概率； (2)甲說(shuō)：“這個(gè)規(guī)則不公平”，你認(rèn)同他的說(shuō)法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1) (2)同意甲的說(shuō)法，見(jiàn)解析 【分析】（1）畫樹(shù)狀圖，共有9種等可能的情況，其中字母不同的有7種情況，再由概率公式求解即可； （2）由（1）可知，，，即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）畫樹(shù)狀圖如下： ?? 由圖可知共有9種情況，其中字母不同的有7種情況， ． （2）同意甲的說(shuō)法． 理由：，，， 這個(gè)規(guī)則不公平． 【點(diǎn)睛】本題考查的是游戲公平性的判斷以及樹(shù)狀圖法求概率．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 10．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戲，一人為蒙眼人，捉另外兩人，捉到一人，記為捉一次；被捉到的人成為新的蒙眼人，接著捉……一直這樣玩（每次捉到一人）．請(qǐng)用樹(shù)狀圖解決下列問(wèn)題， (1)若甲為開(kāi)始蒙眼人，捉兩次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，應(yīng)該誰(shuí)為開(kāi)始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）用樹(shù)狀圖法列舉出甲為開(kāi)始蒙眼人，捉兩次所有可能出現(xiàn)的情況，進(jìn)而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用樹(shù)狀圖法列舉出甲為開(kāi)始蒙眼人，捉三次所有可能出現(xiàn)的情況，通過(guò)甲、乙、丙被捉到的次數(shù)得出結(jié)論． 【詳解】（1）解：如圖1，甲為開(kāi)始蒙眼人，捉兩次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下： 共有4種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中第2次捉到丙的只有1種， 所以甲為開(kāi)始蒙眼人，捉兩次，第二次捉到丙的概率為． （2）如圖2，若甲為開(kāi)始蒙眼人，捉三次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下： 共有8種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中第3次提到甲的有2種，捉到乙的有3種，捉到丙的有3種， 根據(jù)所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，應(yīng)該甲為開(kāi)始蒙眼人． 【點(diǎn)睛】本題考查用樹(shù)狀圖法求隨機(jī)事件發(fā)生的概率．列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵． 題型3.與概率有關(guān)的綜合型問(wèn)題 11．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）一批電子產(chǎn)品的抽樣合格率為75%，當(dāng)購(gòu)買該電子產(chǎn)品足夠多時(shí)，平均來(lái)說(shuō)，購(gòu)買 個(gè)這樣的電子產(chǎn)品，可能會(huì)出現(xiàn)1個(gè)次品． 【答案】4 【分析】根據(jù)“合格率”，“不合格率”的意義，結(jié)合“頻數(shù)與頻率”的意義進(jìn)行判斷即可． 【詳解】解：∵產(chǎn)品的抽樣合格率為， ∴產(chǎn)品的抽樣不合格率為 ∴當(dāng)購(gòu)買該電子產(chǎn)品足夠多時(shí)，平均來(lái)說(shuō)，每購(gòu)4個(gè)這樣的電子產(chǎn)品，就可能會(huì)出現(xiàn)1個(gè)次品 故答案為：4． 【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)與頻率，理解“頻率”“合格率”“不合格率”的意義是正確判斷的前提． 12．（2023秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商場(chǎng)，為了吸引顧客，在“元旦”當(dāng)天舉辦了商品有獎(jiǎng)酬賓活動(dòng)，凡購(gòu)物滿200元者，有兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案供選擇： 方案一：是直接獲得20元的禮金卷； 方案二：是得到一次播獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)．規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤A、B，這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎(jiǎng)?wù)咄瑫r(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，指針?lè)謩e指向一個(gè)區(qū)域（指針落在分割線上時(shí)重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少． (1)請(qǐng)你用列表法（或畫樹(shù)狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針?lè)謩e指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率． (2)如果一名顧客當(dāng)天在本店購(gòu)物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請(qǐng)你幫助分析選擇哪種方案較為實(shí)惠． 【答案】(1) (2)方案一比較實(shí)惠 【分析】（1）根據(jù)題意列出表格，然后根據(jù)概率公式求出結(jié)果即可； （2）先分別算出指針指在兩個(gè)紅色區(qū)域，兩個(gè)藍(lán)色區(qū)域的概率，算出按方案二獲得禮金券的平均值，最后進(jìn)行比較即可得出答案． 【詳解】（1）解：列表格如下： ∵由表格可知，共有9種等可能結(jié)果，其中轉(zhuǎn)盤指針?lè)謩e指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的情況數(shù)有5種， ∴兩款轉(zhuǎn)盤指針?lè)謩e指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率． （2）解：∵， ∴如果選擇方案二，獲得禮金券的平均值為： （元）， ∵， ∴選擇方案一比較實(shí)惠． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了列表法或畫樹(shù)狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出表格或畫出樹(shù)狀圖，熟練掌握概率的基本公式． 13．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┚牛?）班在義賣活動(dòng)中設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，規(guī)定：顧客購(gòu)物元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品，下表是此次活動(dòng)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： (1)求出的值； (2)請(qǐng)估計(jì)當(dāng)很大時(shí)，頻率將會(huì)接近______；假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得“手工”獎(jiǎng)品的概率約是______．（精確到） 【答案】(1)， (2)， 【分析】(1)根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)求解即可； (2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以估計(jì)頻率是多少以及轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，獲得“手工”的概率． 【詳解】（1）解：∵轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)為，落在“手工”區(qū)域的頻率為， ∴， ∵轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)為，落在“手工”區(qū)域的頻率為， ∴， （2）解：∵根據(jù)表格信息可知：落在“手工”區(qū)域的頻率的平均數(shù)大約為：, ∴當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會(huì)接近， ∴假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得“手工”獎(jiǎng)品的概率約是． 故答案為：，． 【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵． 14．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐 【問(wèn)題再現(xiàn)】 (1)課本中有這樣一道概率題：如圖1，這是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在藍(lán)色區(qū)域和橙色區(qū)域的概率分別是多少？請(qǐng)你解答． 【類比設(shè)計(jì)】 (2)在元旦晚會(huì)上班長(zhǎng)想設(shè)計(jì)一個(gè)搖獎(jiǎng)轉(zhuǎn)盤．請(qǐng)你在圖2中設(shè)計(jì)一個(gè)轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)它停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，三等獎(jiǎng)：指針落在紅色區(qū)域的概率為，二等獎(jiǎng)：指針落在白色區(qū)域的概率為，一等獎(jiǎng)：指針落在黃色區(qū)域的概率為． 【拓展運(yùn)用】 (3)在一次促銷活動(dòng)中，某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被平均分為10份，顧客每消費(fèi)200元轉(zhuǎn)動(dòng)1次，對(duì)準(zhǔn)紅1份，黃2份、綠3份區(qū)域，分別得獎(jiǎng)金100元、50元、30元購(gòu)物券，求轉(zhuǎn)動(dòng)1次所獲購(gòu)物券的平均數(shù)． 【答案】(1)P（藍(lán)色區(qū)域），P（橙色區(qū)域） (2)見(jiàn)解析 (3)29元 【分析】（1）根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可； （2）將轉(zhuǎn)盤均分成份，根據(jù)概率求出各種顏色所占份數(shù)，即可得解； （3）利用對(duì)準(zhǔn)紅、黃、綠的概率乘以各自對(duì)應(yīng)的錢數(shù)，即可得解． 【詳解】（1）解：根據(jù)幾何概率的意義可知， P（藍(lán)色區(qū)域）， P（橙色區(qū)域）． （2）解：根據(jù)題意，將轉(zhuǎn)盤均分成份， 則：紅色占：份；白色占：份；黃色占：份； 如圖所示：（答案不唯一）； （3）解：由題意，得： 轉(zhuǎn)動(dòng)1次的平均數(shù)為（元）； 答：轉(zhuǎn)動(dòng)1次所獲購(gòu)物券的平均數(shù)是29元． 【點(diǎn)睛】本題考查概率的應(yīng)用，以及計(jì)算加權(quán)平均數(shù)．熟練掌握概率公式，以及加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，是解題的關(guān)鍵． 15．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）為迎接建黨100周年，甲、乙兩位學(xué)生參加了知識(shí)競(jìng)賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，記錄這8次成績(jī)（單位：分），并按成績(jī)從低到高整理成如下表所示，由于表格被污損，甲的第5個(gè)數(shù)據(jù)看不清，但知道甲的中位數(shù)比乙的眾數(shù)大3． （1）求x的值；?????? （2）現(xiàn)要從中選派一人參加競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)或概率的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）x=84；（2）從統(tǒng)計(jì)的角度考慮，派甲參賽比較合適，理由見(jiàn)解析；從概率的角度考慮，派乙參賽比較合適，理由見(jiàn)解析． 【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法分別計(jì)算即可； （2）解法1：從平均數(shù)、方差以及數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)分析． 解法2：從概率的角度以及數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)分析． 【詳解】解：（1）依題意，可知 甲的中位數(shù)為，乙的眾數(shù)為80， ∴， 解得x=84． （2）解法一：派甲參賽比較合適． 理由如下： ， ， ， ， 因?yàn)椋?所以甲的成績(jī)較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適． 解法二：派乙參賽比較合適． 理由如下： 從概率的角度看，甲獲得85以上（含85分）的概率， 乙獲得85分以上（含85分）的概率， 因?yàn)镻1＜P2， 所以派乙參賽比較合適． 【點(diǎn)睛】考查平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的意義，方差，概率等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 16．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)智力挑戰(zhàn)賽需要全部答對(duì)兩道單項(xiàng)選擇題，才能順利通過(guò)第一關(guān).第一道題有個(gè)選項(xiàng)，第二道題有個(gè)選項(xiàng)，這兩道題小新都不會(huì)，不過(guò)小新還有一個(gè)“求助卡”沒(méi)有用，使用“求助卡”可以讓主持人去掉其中一題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)． （1）如果小新在第--題使用“求助卡”，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或者列表來(lái)分析小新順利通過(guò)第一關(guān)的概率； （2）從概率的角度分析，你建議小新在第幾題使用“求助卡”．為什么． 【答案】（1）；（2）建議小新在第二題使用“求助卡”，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）畫樹(shù)狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小新都選對(duì)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算； （2）如果小新在第二題使用“求助卡”，畫樹(shù)狀圖展示所有8種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小新都選對(duì)的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算出小新順利通過(guò)第一關(guān)的概率，然后比較兩個(gè)概率的大小可判斷小新在第幾題使用“求助卡“． 【詳解】解: （1）列樹(shù)狀圖如下: 共有種等可能的結(jié)果，其中兩道題都正確的結(jié)果有個(gè)， 所以小新順利通過(guò)第一關(guān)的概率為 （2）建議小明在第二題使用“求助卡”， 若第二題使用“求助卡”，可列樹(shù)狀圖如下: 此時(shí)小新順利通過(guò)第一關(guān)的概率為 因?yàn)椋?所以建議小新在第二題使用“求助卡” 【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率． 17．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)開(kāi)展黃梅戲演唱比賽，組委會(huì)將本次比賽的成績(jī)（單位：分）進(jìn)行整理，并繪制成如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（不完整）． 請(qǐng)你根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問(wèn)題： （1）求出,的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖． （2）將此次比賽成績(jī)分為三組：；；若按照這樣的分組方式繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖，則其中組所在扇形的圓心角的度數(shù)是多少？ （3）學(xué)校準(zhǔn)備從不低于90分的參賽選手中任選2人參加市級(jí)黃梅戲演唱比賽，求都取得了95分的小欣和小怡同時(shí)被選上的概率． 【答案】（1）a=8，b=0.08；補(bǔ)圖見(jiàn)解析；（2）144°；（3）． 【分析】（1）根據(jù)題中可得總?cè)藬?shù)為50人，則中人數(shù)所占頻率即可求出a的值，則中出現(xiàn)的頻數(shù)即可求得b的值； （2）根據(jù)圓心角的度數(shù)為所占百分比乘以360°即可求解； （3）根據(jù)概率初步中樹(shù)狀圖的作圖方法作圖求解即可． 【詳解】（1），． 補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下： （2）． 故C組所在扇形的圓心角的度數(shù)為． （3）由題意知，不低于90分的學(xué)生共有4人，設(shè)這四名學(xué)生分別為，,,，其中小欣和小怡分別用,表示，根據(jù)題意，畫樹(shù)狀圖如下． 由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中小欣和小怡同時(shí)被選上的結(jié)果有2種，故小欣和小怡同時(shí)被選上的概率是． 【點(diǎn)睛】本題以實(shí)際生活為背景考查統(tǒng)計(jì)與概率，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角度數(shù)的求法以及概率中樹(shù)狀圖的作法． 18．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）有四個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)注，，1，3這四個(gè)數(shù)字．把標(biāo)注后的小球放入不透明的口袋中，從中隨機(jī)拿出兩個(gè)小球，所標(biāo)數(shù)字和的絕對(duì)值為k的概率記作（如：是任取兩個(gè)數(shù)，其和的絕對(duì)值為3的概率） (1)用列表法求； (2)張亮認(rèn)為：的所有取值的眾數(shù)大于它們的平均數(shù)，你認(rèn)為張亮的想法正確嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明； (3)能否找到概率，，（），使．若能找到，請(qǐng)舉例說(shuō)明；若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1) (2)張亮的想法是錯(cuò)的，見(jiàn)解析 (3) 【分析】（1）用列表法列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可； （2）求出的所有取值的眾數(shù)和平均數(shù)，比較得出答案； （3）根據(jù)的所有取值，是否存在三個(gè)值的和為即可． 【詳解】（1）由題得，列表為： 所以，共有12種等可能結(jié)果，其中和的絕對(duì)值為1的有4種，； （2）由（1）得：，，，，， ∴的所有取值的眾數(shù)為，而的所有取值的平均數(shù)為：， ∵，所以張亮的想法是錯(cuò)的． （3）∵， ∴（答案不唯一） 【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹(shù)狀圖法，眾數(shù)、平均數(shù)，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是計(jì)算概率的前提，掌握眾數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 題型4.用頻率估計(jì)概率 19．（2023春·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┎煌该鞔又醒b有15個(gè)紅球和若干個(gè)綠球，這些球除了顏色外無(wú)其他差別．經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，則綠球的個(gè)數(shù)約是 ． 【答案】35 【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，列出方程求解即可． 【詳解】解：設(shè)綠球的個(gè)數(shù)有x個(gè)， 根據(jù)題意，得：， 解得：， 經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解， ∴綠球的個(gè)數(shù)約有35個(gè)． 故答案為：35． 【點(diǎn)睛】本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系． 20．（2023秋·山西忻州·九年級(jí)校考期末）黨的二十大報(bào)告中的“深入實(shí)施種業(yè)振興行動(dòng)”將為“中國(guó)種”的選育和發(fā)展打下一針強(qiáng)心劑．山西農(nóng)業(yè)大學(xué)（省農(nóng)科院）玉米研究所育種的“晉糯20號(hào)”已在全國(guó)26個(gè)省市推廣種植，大獲豐收．下面是科研小組在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，對(duì)該糧食種子發(fā)芽率進(jìn)行研究時(shí)所得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)： 依據(jù)上面的數(shù)據(jù)，估計(jì)這種糧食種子在該實(shí)驗(yàn)條件下發(fā)芽的概率是 ．（結(jié)果精確到0.01） 【答案】 【分析】利用頻率估計(jì)概率求解即可． 【詳解】解：由題意知， 估計(jì)這種糧食種子在該實(shí)驗(yàn)條件下發(fā)芽的概率是， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率． 21．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平整的地面上有一個(gè)不規(guī)則圖案圖的陰影部分，小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了如下方法：用一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，將不規(guī)則圖案圍起來(lái)，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長(zhǎng)方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)球扔在界線上或長(zhǎng)方形區(qū)域外不計(jì)試驗(yàn)結(jié)果，他將若干次有效試驗(yàn)的結(jié)果繪制成了圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，由此他估計(jì)不規(guī)則圖案的面積大約為 ． ?? 【答案】7 【分析】首先假設(shè)不規(guī)則圖案面積為，根據(jù)幾何概率知識(shí)求解不規(guī)則圖案占長(zhǎng)方形的面積大小，進(jìn)而根據(jù)折線圖用頻率估計(jì)概率，綜合以上列方程求解． 【詳解】解：假設(shè)不規(guī)則圖案面積為， 根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：. 由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為， 綜上有：， 解得． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率的計(jì)算，用頻率估計(jì)概率，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了題目創(chuàng)新，解題關(guān)鍵在于清晰理解題意，能從復(fù)雜的題目背景當(dāng)中找到考點(diǎn)化繁為簡(jiǎn)，創(chuàng)新題目對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)要求極高． 22．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某批足球的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果如下： ??(1)填寫表中的空格（結(jié)果保留0.01）． (2)畫出合格的頻率的折線統(tǒng)計(jì)圖． (3)從這批足球中任意抽取一個(gè)足球是合格品的概率估計(jì)值是多少？并說(shuō)明理由． (4)若某工廠計(jì)劃生產(chǎn)10000個(gè)足球，試估計(jì)生產(chǎn)出的足球中合格的數(shù)量有________個(gè)． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)見(jiàn)解析 (3)0.95；理由見(jiàn)解析 (4)9500 【分析】（1）根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)計(jì)算可得； （2）由表格中數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)用點(diǎn)描出來(lái)，再用線段依次相連即可得； （3）根據(jù)頻率估計(jì)概率，頻率都在0.95左右波動(dòng)，所以任意抽取的一只足球是合格品的概率估計(jì)值是0.95； （4）根據(jù)概率進(jìn)行估算即可． 【詳解】（1）解：， ， 完成表格如下： （2）解：如圖所示： ?? （3）解：從這批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估計(jì)值0.95， 因?yàn)閺恼劬€統(tǒng)計(jì)圖中可知，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0.95附近， 所以從這批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估計(jì)值0.95． （4）解：（個(gè)）， 答：估計(jì)生產(chǎn)出的足球中合格的數(shù)量有9500個(gè)． 故答案為：9500． 【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．也考查了頻率分布折線圖． 23．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）某玩具公司承接了第19廟杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物公仔的生產(chǎn)任務(wù)，現(xiàn)對(duì)一批公仔進(jìn)行抽檢，其結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下，請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答問(wèn)題： (1)________；________． (2)估計(jì)從這批公仔中任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率是________．（精確到0.01） (3)若該公司這一批次生產(chǎn)了10000只公仔，估計(jì)這批公仔中優(yōu)等品大約有多少只？ 【答案】(1)0.962；0.96 (2)0.96 (3)9600只 【分析】（1）用頻數(shù)除以總數(shù)即可； （2）由表中數(shù)據(jù)可判斷頻率在0.96左右擺動(dòng)，利用頻率估計(jì)概率可判斷任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率為0.96． （3）用總數(shù)量乘以優(yōu)等品的概率即可 【詳解】（1）解：， ， 故答案為：0.962，0.96； （2）從這批公仔中，任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是0.96． （3）這批公仔中優(yōu)等品大約有只 【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)與頻率，利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨試驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確． 24．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）從一副張（沒(méi)有大王、小王）的撲克牌中，每次抽出張，然后放回洗勻再抽，在試驗(yàn)中得到下表中部分?jǐn)?shù)據(jù)： (1)上表中 ， ； (2)從上表中可以估計(jì)出現(xiàn)方塊的概率是 ．（精確到）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根據(jù)頻率的計(jì)算公式即可求解； （2）根據(jù)頻率與概率的關(guān)系即可求解． 【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，解得，，， 故答案為：，． （2）解：根據(jù)題意，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于概率附件， ∴出現(xiàn)方塊的概率是， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率的計(jì)算方法，頻率與概率的關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵． 25．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在一個(gè)不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共50個(gè)，某學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： (1)填空： ______；當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近______(精確到)； (2)某小組成員從袋中拿出1個(gè)黑球，3個(gè)白球放入一個(gè)新的不透明袋子中，隨機(jī)摸出兩個(gè)球，請(qǐng)你用列表或樹(shù)狀圖的方法求出隨機(jī)摸出的兩個(gè)球顏色不同的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可； （2）根據(jù)列表法，得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可． 【詳解】（1），當(dāng)很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近， 故答案為：； （2）列表如下： 由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中隨機(jī)摸出的兩個(gè)球顏色不同的有6種結(jié)果， 所以隨機(jī)摸出的兩個(gè)球顏色不同的概率為 【點(diǎn)睛】本題考查了頻率估計(jì)概率，列表法求概率，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率． 26．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，均勻的正四面體的各面依次標(biāo)有1，2，3，4四個(gè)數(shù)字．小明做了60次投擲試驗(yàn)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： ?? (1)計(jì)算上述試驗(yàn)中“3朝下”的頻率是_________; (2)根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，“投擲一次正四面體，出現(xiàn)4朝下的概率是．”的說(shuō)法正確嗎？為什么？ (3)隨機(jī)投擲正四面體兩次，請(qǐng)用列表法，求兩次朝下的數(shù)字之和不小于4的概率． 【答案】(1) (2)不正確，理由見(jiàn)解析 (3) 【分析】（1）由頻率頻數(shù)試驗(yàn)次數(shù)算出頻率； （2）只有當(dāng)試驗(yàn)的總次數(shù)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率才會(huì)穩(wěn)定在相應(yīng)的事件發(fā)生的概率附近．據(jù)此進(jìn)行解答即可； （3）列表列舉出所有的可能的結(jié)果，然后利用概率公式解答即可． 【詳解】（1）“3朝下”的頻率：． 故答案為：； （2）這種說(shuō)法不正確．在60次試驗(yàn)中，“4朝下”的頻率為，并不能說(shuō)明“4朝下”這一事件發(fā)生的概率為．只有當(dāng)試驗(yàn)的總次數(shù)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率才會(huì)穩(wěn)定在相應(yīng)的事件發(fā)生的概率附近． （3）隨機(jī)投擲正四面體兩次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下： 總共有16種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而兩次朝下數(shù)字之和不小于4的結(jié)果有種． ∴． 即兩次朝下的數(shù)字之和不小于4的概率為． 【點(diǎn)睛】本題考查了列表法求概率、頻率、頻率與概率的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確列出表格，然后用符合條件的情況數(shù)m除以所有等可能發(fā)生的情況數(shù)n即可，即． 題型5.設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)解決問(wèn)題 27．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（????） ?? A．暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球 B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃 C．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4 D．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在附近波動(dòng)，即其概率，計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約為者即為正確答案． 【詳解】解：A、暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球的概率為，故A選項(xiàng)不符合題意； B、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是；故B選項(xiàng)不符合題意． C、擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4的概率為，故C選項(xiàng)符合題意； D、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀“的概率為，故D選項(xiàng)不符合題意； 故選：C． 【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．同時(shí)此題在解答中要用到概率公式． 28．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）在一個(gè)不透明的盒子中裝有個(gè)黑、白兩種顏色的球，小明又放入了個(gè)紅球，這些球大小都相同．若每次將球充分?jǐn)噭蚝螅我饷鰝€(gè)球記下顏色再放回盒子，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則的值大約為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)題意可得摸到紅球的概率為，據(jù)此利用概率計(jì)算公式列出方程求解即可． 【詳解】解：∵通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右， ∴摸到紅球的概率為， ∴， 解得， 檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，， 故選A． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，已知概率求數(shù)量，熟知大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即為概率值是解題的關(guān)鍵． 題型6.用計(jì)算器模擬試驗(yàn)估計(jì)概率 29．（2023·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）為了解我區(qū)某條斑馬線上機(jī)動(dòng)車駕駛員“禮讓行人”的情況，下表是某志愿者小組6周累計(jì)調(diào)查的數(shù)據(jù)，由此數(shù)據(jù)可估計(jì)機(jī)動(dòng)車駕駛員“禮讓行人”的概率（精確到）為（???） A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.86 【答案】C 【分析】由表格數(shù)據(jù)知，隨著抽查車輛數(shù)的增加，“禮讓行人”的頻率逐漸穩(wěn)定在0.85附近，從而得出答案． 【詳解】由表格數(shù)據(jù)知，隨著抽查車輛數(shù)的增加，“禮讓行人”的頻率逐漸穩(wěn)定在0.85附近， 所以由此數(shù)據(jù)可估計(jì)機(jī)動(dòng)車駕駛員“禮讓行人”的概率為0.85， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率． 【方法三】 仿真實(shí)戰(zhàn)法 考法1. 求某一事件發(fā)生的概率 30．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，桌面上有3張卡片，1張正面朝上．任意將其中1張卡片正反面對(duì)調(diào)一次后，這3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上的概率是（　?。? A．1 B． C． D． 【分析】用列舉法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出2張正面朝上的結(jié)果數(shù)，利用概率公式求出即可． 【解答】解：∵任意將其中1張卡片正反面對(duì)調(diào)一次，有3種對(duì)調(diào)方式，其中只有對(duì)調(diào)反面朝上的2張卡片才能使3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上， ∴P＝， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查列舉法求等可能事件的概率，掌握等可能事件的概率公式是解題的關(guān)鍵． 31．（2023?鎮(zhèn)江）一只不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除顏色外都相同．將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球后，不放回，將袋中剩余的球攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球．用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求2次都摸到紅球的概率． 【分析】用列表法或畫樹(shù)狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出2次都摸到紅球的可能結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可． 【解答】解：畫樹(shù)狀圖如下： 一共有6種等可能的結(jié)果，其中2次都摸到紅球有2種可能的結(jié)果， ∴P（2次都摸到紅球）＝． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法和畫樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率，掌握列表法和畫樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵． 32．（2023?常州）在5張相同的小紙條上，分別寫有：①；②；③1；④乘法；⑤加法．將這5張小紙條做成5支簽，①、②、③放在不透明的盒子A中攪勻，④、⑤放在不透明的盒子B中攪勻． （1）從盒子A中任意抽出1支簽，抽到無(wú)理數(shù)的概率是 　　； （2）先從盒子A中任意抽出2支簽，再?gòu)暮凶覤中任意抽出1支簽．求抽到的2個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算后結(jié)果是無(wú)理數(shù)的概率． 【分析】（1）由概率公式可得答案； （2）用畫樹(shù)狀圖法求出所有情況數(shù)，再用概率公式列式計(jì)算． 【解答】解：（1）在①；②；③1中，無(wú)理數(shù)有兩個(gè)， ∴從盒子A中任意抽出1支簽，抽到無(wú)理數(shù)的概率是 ； 故答案為：； （2）畫樹(shù)狀圖如下： 共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的2個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算后結(jié)果是無(wú)理數(shù)的有：①②⑤，①③④，①③⑤，②①⑤，②③④，②③⑤，③①④，③①⑤，③②④，③②⑤共10種， ∴抽到的2個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算后結(jié)果是無(wú)理數(shù)的概率為＝． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法求概念，解題的關(guān)鍵是能用列表法與樹(shù)狀圖法求出所有的可能情況數(shù)． 33．（2023?南通）有同型號(hào)的A，B兩把鎖和同型號(hào)的a，b，c三把鑰匙，其中a鑰匙只能打開(kāi)A鎖，b鑰匙只能打開(kāi)B鎖，c鑰匙不能打開(kāi)這兩把鎖． （1）從三把鑰匙中隨機(jī)取出一把鑰匙，取出c鑰匙的概率等于 　??； （2）從兩把鎖中隨機(jī)取出一把鎖，從三把鑰匙中隨機(jī)取出一把鑰匙，求取出的鑰匙恰好能打開(kāi)取出的鎖的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）畫樹(shù)狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中取出的鑰匙恰好能打開(kāi)取出的鎖的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵有同型號(hào)的a，b，c三把鑰匙， ∴從三把鑰匙中隨機(jī)取出一把鑰匙，取出c鑰匙的概率等于， 故答案為：； （2）畫樹(shù)狀圖如下： 共有6種等可能的結(jié)果，其中取出的鑰匙恰好能打開(kāi)取出的鎖的結(jié)果有2種，即Aa、Bb， ∴取出的鑰匙恰好能打開(kāi)取出的鎖的概率為＝． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 34．（2023?宿遷）某校計(jì)劃舉行校園歌手大賽．九（1）班準(zhǔn)備從A、B、C三名男生和D、E兩名女生中隨機(jī)選出參賽選手． （1）若只選1名選手參加比賽，則女生D入選的概率是 　??； （2）若選2名選手參加比賽，求恰有1名男生和1名女生的概率（用畫樹(shù)狀圖或列表法求解）． 【分析】（1）共有5名學(xué)生，隨機(jī)選取1名，每個(gè)人被選中的可能性是均等的，根據(jù)概率的定義即可求出答案； （2）用樹(shù)狀圖法列舉出等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：（1）共有5名學(xué)生，隨機(jī)選取1名，每個(gè)人被選中的可能性是均等的， 所以女生D被選中的概率為， 故答案為：； （2）用樹(shù)狀圖法列舉出等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下： 共有20種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中選擇的兩人1男1女有12種， 所以選2名選手恰有1名男生和1名女生的概率為＝． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法或樹(shù)狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的前提，理解概率的定義是正確解答的關(guān)鍵． 35．（2023?泰州）某校組織學(xué)生去敬老院表演節(jié)目，表演形式有舞蹈、情景劇和唱歌3種類型．小明、小麗2人積極報(bào)名參加，從3種類型中隨機(jī)挑選一種類型．求小明、小麗選擇不同類型的概率． 【分析】用樹(shù)狀圖列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：用樹(shù)狀圖法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下： 共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中小明、小麗選擇不同類型的有6種， 所以小明、小麗選擇不同類型的概率為． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法或樹(shù)狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵． 36．（2023?無(wú)錫）為了深入推動(dòng)大眾旅游，滿足人民群眾美好生活需要，我市舉辦中國(guó)旅游日惠民周活動(dòng)，活動(dòng)主辦方在活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)提供免費(fèi)門票抽獎(jiǎng)箱，里面放有4張相同的卡片，分別寫有景區(qū)：A．宜興竹海，B．宜興善卷洞，C．闔閭城遺址博物館，D．錫惠公園．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：攪勻后從抽獎(jiǎng)箱中任意抽取一張卡片，記錄后放回，根據(jù)抽獎(jiǎng)的結(jié)果獲得相應(yīng)的景區(qū)免費(fèi)門票． （1）小明獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，他恰好抽到景區(qū)A門票的概率是 　?。?（2）小亮獲得兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率． 【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可； （2）畫出樹(shù)狀圖，得出總的結(jié)果數(shù)，和恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的情況即可，再由概率公式計(jì)算． 【解答】解：（1）一共有4種情況，恰好抽到景區(qū)A門票的概率是， 故答案為：； （2）畫樹(shù)狀圖如下： ∴一共有16種等可能得情況，恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的情況有2種， ∴他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率為＝． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 37．（2023?徐州）甲，乙、丙三人到淮海戰(zhàn)役烈士紀(jì)念塔園林游覽，若每人分別從紀(jì)念塔、紀(jì)念館這兩個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)參觀，且選擇每個(gè)景點(diǎn)的機(jī)會(huì)相等，則三人選擇相同景點(diǎn)的概率為多少？ 【分析】畫樹(shù)狀圖，共有8種等可能的結(jié)果，其中甲，乙、丙三人選擇相同景點(diǎn)的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可． 【解答】解：把紀(jì)念塔、紀(jì)念館這兩個(gè)景點(diǎn)分別記為A、B， 畫樹(shù)狀圖如下： 共有8種等可能的結(jié)果，其中甲，乙、丙三人選擇相同景點(diǎn)的結(jié)果有2種， ∴甲，乙、丙三人選擇相同景點(diǎn)的概率為＝． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 38．（2023?揚(yáng)州）揚(yáng)州是個(gè)好地方，有著豐富的旅游資源．某天甲、乙兩人來(lái)?yè)P(yáng)州旅游，兩人分別從A、B、C三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽． （1）甲選擇A景點(diǎn)的概率為 　?。?（2）請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的概率． 【分析】（1）由概率公式直接可得答案； （2）先畫出樹(shù)狀圖，共有9種等可能的情況，再根據(jù)概率公式，計(jì)算即可得出結(jié)果． 【解答】解：（1）甲選擇A景點(diǎn)的概率為， 故答案為：； （2）根據(jù)題意畫樹(shù)狀圖如下： ∵共有9種等可能的情況，其中甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的情況有5種， ∴甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的概率是． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用樹(shù)狀圖求概率，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)樹(shù)狀圖找出所有等可能的情況數(shù)．概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 39．（2023?蘇州）一只不透明的袋子中裝有4個(gè)小球，分別標(biāo)有編號(hào)1，2，3，4，這些小球除編號(hào)外都相同． （1）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，這個(gè)球的編號(hào)是2的概率為 　　； （2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄球的編號(hào)后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球．求第2次摸到的小球編號(hào)比第1次摸到的小球編號(hào)大1的概率是多少？（用畫樹(shù)狀圖或列表的方法說(shuō)明） 【分析】（1）直接利用概率公式求出即可； （2）用列表法或樹(shù)狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出第2次摸到的小球編號(hào)比第1次摸到的小球編號(hào)大1的結(jié)果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可． 【解答】解：（1）∵一共有4個(gè)編號(hào)的小球，編號(hào)為2的有一個(gè)， ∴P（任意摸出1個(gè)球，這個(gè)球的編號(hào)是2）＝； （2）畫樹(shù)狀圖如下： 一共有在16個(gè)等可能的結(jié)果，其中第2次摸到的小球編號(hào)比第1次摸到的小球編號(hào)大1出現(xiàn)了3次， ∴P（第2次摸到的小球編號(hào)比第1次摸到的小球編號(hào)大1）＝． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式，列表法和樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率，掌握列表法和樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵． 40．（2023?連云港）如圖，有4張分別印有Q版西游圖案的卡片：A唐僧、B孫悟空、C豬八戒、D沙悟凈． 現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我馊〕?張卡片．求下列事件發(fā)生的概率： （1）第一次取出的卡片圖案為“B孫悟空”的概率為 　?。?（2）用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的概率． 【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算； （2）畫樹(shù)狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果，再找出兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解． 【解答】解：（1）第一次取出的卡片圖案為“B孫悟空”的概率為； 故答案為：； （2）畫樹(shù)狀圖為： 共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的結(jié)果數(shù)為7， 所以兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的概率＝． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 考法2. 利用頻率估計(jì)概率 41．（2023?揚(yáng)州）某種綠豆在相同條件下發(fā)芽試驗(yàn)的結(jié)果如下： 這種綠豆發(fā)芽的概率的估計(jì)值為 　　（精確到0.01）． 【分析】當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定并趨于某一個(gè)值，這個(gè)值作為概率的估計(jì)值． 【解答】解：根據(jù)表中的發(fā)芽的頻率，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，發(fā)芽的頻率越來(lái)越穩(wěn)定在0.93左右，所以可估計(jì)這種綠豆發(fā)芽的機(jī)會(huì)大約是0.93． 故答案為：0.93． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率；用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨試驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確． 【檢測(cè)卷】 一、單選題 1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（　?。?A． B． C． D． 【答案】C 【分析】畫樹(shù)狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，這兩名工人恰好都是男工人的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可． 【詳解】解：畫樹(shù)狀圖如圖： 共有20種等可能的結(jié)果，這兩名工人恰好都是男工人的結(jié)果有6種， ∴這兩名工人恰好都是男工人的概率為， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹(shù)狀圖法求概率．列表法或畫樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 2．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）向上拋擲兩枚相同的硬幣，落地后出現(xiàn)一正面、一反面的概率是（????） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根據(jù)題意列出表格表示出所有等可能的情況，再找出符合出現(xiàn)一正面、一反面的情況，最后根據(jù)概率公式計(jì)算即可． 【詳解】解：根據(jù)題意可列表如下， 由表格可知共有4種等可能得情況，其中出現(xiàn)一正面、一反面的情況有2種， ∴落地后出現(xiàn)一正面、一反面的概率是．　 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查列表法或畫樹(shù)狀圖法求概率．正確的列出表格或畫出樹(shù)狀圖表示出所有等可能的情況是解題關(guān)鍵． 3．（2023春·山東泰安·九年級(jí)?？计谥校┯?、3、4三個(gè)數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為（???）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列舉法得到所有的三位數(shù)，再找出是偶數(shù)的三位數(shù)，然后利用概率公式求解即可． 【詳解】解：用2、3、4三個(gè)數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)有、、、、、，共6種等可能的結(jié)果，其中排出的數(shù)是偶數(shù)有4種，故排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查列舉法求概率，正確列出所有的三位數(shù)是解答的關(guān)鍵． 4．（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）某校初三8班準(zhǔn)備舉行班干部競(jìng)選活動(dòng)，張林和王亮準(zhǔn)備從“紀(jì)律委員”“學(xué)習(xí)委員”“衛(wèi)生委員”三個(gè)職務(wù)中隨機(jī)競(jìng)選一個(gè)，則兩人恰好選擇同一個(gè)職務(wù)的概率是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根據(jù)題意畫出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果，再利用概率公式求解即可求得答案． 【詳解】解：把“紀(jì)律委員”“學(xué)習(xí)委員”“衛(wèi)生委員”分別記為A、B、C，畫樹(shù)狀圖如下： ?? 共有9種等可能的結(jié)果，張林和王亮恰好選擇同一個(gè)職務(wù)有3種結(jié)果， 則張林和王亮恰好選擇同一個(gè)職務(wù)的概率為：． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了用樹(shù)狀圖或列表法求等可能事件的概率，方法是用樹(shù)狀圖或列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，找出符合條件的結(jié)果數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示即可，注意每種情況發(fā)生的可能性相等． 5．（2023春·河南信陽(yáng)·九年級(jí)校考階段練習(xí)）紅旗渠是紀(jì)念碑，它記載了林縣人不認(rèn)命、不服輸、敢于戰(zhàn)天斗地的英雄氣概．紅旗渠精神主要是指自力更生、艱苦創(chuàng)業(yè)、團(tuán)結(jié)協(xié)作、無(wú)私奉獻(xiàn)．某學(xué)校為了弘揚(yáng)紅旗渠精神，決定開(kāi)展教育宣講活動(dòng)．準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取兩名進(jìn)行宣講，則恰好選中甲和乙的概率為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)題意畫樹(shù)狀圖表示出所有等可能的情況，再找到符合題意的情況，最后利用概率公式計(jì)算即可． 【詳解】解：畫樹(shù)狀圖如下： 共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種， 恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的概率為， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹(shù)狀圖法求概率，正確的列出表格或畫出樹(shù)狀圖是解題關(guān)鍵． 6．（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)并排走在一起，則甲乙恰好相鄰的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用樹(shù)狀圖表示出所有情況，再根據(jù)概率公式求解可得． 【詳解】解：用樹(shù)狀圖分析如下： ?? 一共有種情況，甲、乙兩人恰好相鄰有種情況， 甲、乙兩人相鄰的概率是． 故選：D． 【點(diǎn)睛】此題考查了樹(shù)狀圖法與列表法求概率．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列表或畫樹(shù)狀圖，注意列表法與樹(shù)狀圖法可以不重不漏的表示出所有等可能的結(jié)果．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 7．（2023·江蘇鹽城·校考二模）如圖，點(diǎn)C、D在線段上，且．以點(diǎn)A為圓心，分別以線段為半徑畫同心圓，記以為半徑的圓為區(qū)域Ⅰ，所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅱ，所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅲ．現(xiàn)在此圖形中隨機(jī)撒一把豆子，統(tǒng)計(jì)落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù)．若大量重復(fù)此實(shí)驗(yàn)，則（??） ?? A．豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在區(qū)域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在區(qū)域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 【答案】A 【分析】計(jì)算出三個(gè)區(qū)域的面積，面積最小的概率最小，進(jìn)而即可得到答案． 【詳解】解：， 設(shè)，則，， ，， Ⅰ區(qū)域的面積為：， Ⅱ區(qū)域的面積為：， Ⅲ區(qū)域的面積為：， Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域的面積比為：， 豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最?。?故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率，解題的關(guān)鍵是掌握概率公式，理解面積比等于概率比． 8．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將分別標(biāo)有“最”、“美”、“宜”、“昌”四個(gè)漢字的小球裝在一個(gè)不透明的口袋中，這些小球除漢字以外其它完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機(jī)摸出一球，不放回，再隨機(jī)摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】畫樹(shù)狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可． 【詳解】解：畫樹(shù)狀圖如下： ?? 共有種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的結(jié)果有種， 兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的概率為， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了樹(shù)狀圖法求概率，樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適用于兩步或兩步以上完成的事件．解題時(shí)還要注意是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 9．（2022秋·云南楚雄·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小明和小芳做一個(gè)“配色”的游戲，下圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形，并涂上圖中所示的顏色．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)出了紅色，轉(zhuǎn)盤B轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，或者轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，轉(zhuǎn)盤B轉(zhuǎn)出了紅色，則紅色和藍(lán)色在一起配成紫色，這種情況下小芳獲勝；同樣，藍(lán)色和黃色在一起配成綠色，這種情況下小明獲勝；在其它情況下，則小明、小芳不分勝負(fù)，那么小明獲勝的概率為（??????） ?? A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列表法，求出概率即可． 【詳解】解：列表如下： 共有12種等可能的情況，其中出現(xiàn)藍(lán)色和黃色的情況共有2種， ∴． 故選D． 【點(diǎn)睛】本題考查列表法求概率．正確的列出表格，熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵． 10．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）四張背面完全相同的卡片上分別寫有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字，把卡片背面朝上洗勻后，王明從這四張卡片中隨機(jī)選兩張，則王明選中的卡片中有偶數(shù)的概率是（　?。?A． B． C． D． 【答案】A 【分析】畫樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再?gòu)闹姓业椒蠗l件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可． 【詳解】解：樹(shù)狀圖如圖所示， 一共有12種等可能性，其中王明選中的卡片中有偶數(shù)的可能性有10種可能性， 故王明選中的卡片中有偶數(shù)的概率為：， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率，列表法可以重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 二、填空題 11．（2023·山西運(yùn)城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）年月日起至年月日止，“印象長(zhǎng)治詩(shī)畫太行”主題攝影展進(jìn)行征稿，作品內(nèi)容包括“產(chǎn)業(yè)發(fā)展”“城市建設(shè)”“自然人文”“民生福祉”四部分，展覽按照四部分分類展出，現(xiàn)小文和小樂(lè)兩人各隨機(jī)從中選擇一類展覽先進(jìn)行觀看，則兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的概率為 ． 【答案】/0.25 【分析】用、、、分別表示“產(chǎn)業(yè)發(fā)展”“城市建設(shè)”“自然人文”“民生福祉”四部分，畫樹(shù)狀圖展示所有種等可能的結(jié)果，再找出兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算． 【詳解】解：用、、、分別表示“產(chǎn)業(yè)發(fā)展”“城市建設(shè)”“自然人文”“民生福祉”四部分． 畫樹(shù)狀圖為： 共有種等可能的結(jié)果，其中兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的結(jié)果數(shù)為， 所以兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的概率． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖展示所有可能的結(jié)果求出，再?gòu)闹羞x出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 12．（2022秋·江西吉安·九年級(jí)校考期中）從、、0三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則該點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的概率 ． 【答案】 【分析】根據(jù)題意列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出剛好在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求出所求的概率． 【詳解】解：列表得： 所有等可能的情況有6種，其中該點(diǎn)剛好在坐標(biāo)軸上的情況有4種， 所以該點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的概率． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法和點(diǎn)的坐標(biāo)特征，注意掌握通過(guò)列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率． 13．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)袋子中裝有2個(gè)黑球1個(gè)白球，這些球除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同．?dāng)噭蚝螅诳床坏角虻臈l件下，隨機(jī)從這個(gè)袋子中摸出兩個(gè)黑球的概率是 ． 【答案】 【分析】首先根據(jù)題意畫出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與其中2個(gè)球的顏色是黑球的情況，再利用概率公式求解即可求得答案． 【詳解】解：列樹(shù)狀圖為： ?? 由樹(shù)狀圖可知共有6種等可能結(jié)果，其中摸出的兩個(gè)黑球的可能性有2種，即概率為． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹(shù)狀圖法求概率．注意列表法或樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，正確畫出樹(shù)形圖是解題關(guān)鍵． 14．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小麗準(zhǔn)備通過(guò)愛(ài)心熱線捐款，她只記得號(hào)碼的前5位，后三位由5，3，2這三個(gè)數(shù)字組成，但具體順序忘記了，則她第一次就撥對(duì)電話的概率是 ． 【答案】 【分析】列舉法求出所有的情況，再利用概率公式進(jìn)行求解即可． 【詳解】解：撥打電話共有，6種等可能的結(jié)果，第一次就撥對(duì)電話的結(jié)果有1種， ∴； 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查列舉法求概率．正確的求出所有的可能性，是解題的關(guān)鍵． 15．（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有4張形狀大小質(zhì)地均相同的卡片，正面印有自由式滑雪、單板滑雪、短道速滑、冰壺四種不同的圖案，背面完全相同，現(xiàn)將這4張卡片洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機(jī)抽取兩張，抽出的卡片正面恰好是“短道速滑”和“冰壺”項(xiàng)目圖案的概率是 ． 【答案】 【分析】根據(jù)題意畫出樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果數(shù)，找出抽到的卡片均是“短道速滑”和“冰壺”項(xiàng)目圖案的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案． 【詳解】解：設(shè)自由式滑雪為A、單板滑雪為B、短道速滑為C、冰壺為D， 畫樹(shù)狀圖如下： 由圖可知：共12種等可能的結(jié)果，其中抽到的卡片均是“短道速滑”和“冰壺”項(xiàng)目圖案的有2種， 則抽到的卡片均是冰上項(xiàng)目圖案的概率是． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】此題考查的是樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 16．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某九年級(jí)一名學(xué)生進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，其成績(jī)?nèi)绫恚瑒t這名學(xué)生定點(diǎn)投籃一次，投中的概率約為 （精確到）． 【答案】 【分析】根據(jù)大量反復(fù)試驗(yàn)下投籃的投中率估計(jì)投中的概率即可． 【詳解】根據(jù)表格發(fā)現(xiàn)，隨著投籃次數(shù)的增多投中的頻率逐漸穩(wěn)定在附近， ∴投中的概率約為， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解大量反復(fù)試驗(yàn)中某個(gè)事件發(fā)生的頻率能估計(jì)概率． 17．（2022·河南濮陽(yáng)·校考三模）一把鑰匙只能打開(kāi)一把鎖，現(xiàn)有三把鑰匙和兩把鎖，其中的兩把鑰匙分別能打開(kāi)這兩把鎖，現(xiàn)任取一把鑰匙去開(kāi)一把鎖，能打開(kāi)的概率為 ． 【答案】 【分析】根據(jù)題意，畫出樹(shù)狀圖，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可． 【詳解】解：三把鑰匙分別用A、B、C表示，A、B對(duì)應(yīng)的鎖分別用a、b表示， 畫樹(shù)狀圖為： 共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，隨機(jī)取出一把鑰匙和一把鎖，能打開(kāi)的結(jié)果數(shù)為2， ∴隨機(jī)取出一把鑰匙和一把鎖，能打開(kāi)的概率為； 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)還要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 18．（2023·遼寧遼陽(yáng)·校聯(lián)考三模）如圖，三角形紙板，點(diǎn)M，N分別是中點(diǎn)，點(diǎn)D，E在上，連接、，，小明隨機(jī)向紙板內(nèi)投擲飛鏢一次，飛鏢落在陰影部分的概率是 ． ?? 【答案】 【分析】求出飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影部分的面積與三角形的面積之比即可． 【詳解】解：連接，設(shè)與交于點(diǎn)O． ?? 設(shè)，中邊上的高為h，則， ∵點(diǎn)M、N分別是，中點(diǎn)， ∴，中邊上的高為，梯形的高為, ∴． 在與中， ， ∴， ∴，中邊上的高為，中邊上的高為， ∵， ∴ ， ∴飛鏢落在陰影部分的概率是， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】此題考查了幾何概率問(wèn)題，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．也考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積． 三、解答題 19．（2022秋·四川南充·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)盒中有4個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，隨機(jī)摸取一個(gè)小球然后放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球． (1)請(qǐng)用列表法（或畫樹(shù)狀圖法）列出所有可能的結(jié)果； (2)求兩次取出的小球標(biāo)號(hào)的和大于6的概率． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2) 【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹(shù)狀圖即可； （2）畫出樹(shù)狀圖可知有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次取出的小球標(biāo)號(hào)的和大于6的有3種，進(jìn)而可求出其概率． 【詳解】（1）解：根據(jù)題意畫樹(shù)狀圖如下： ?? （2）解：畫樹(shù)狀圖如下： ?? 由樹(shù)狀圖可知，一共有16種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩次取出的小球標(biāo)號(hào)的和大于6的結(jié)果數(shù)有3種， ∴兩次取出的小球標(biāo)號(hào)的和大于6的概率為． 【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 20．（2023春·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）山東省高考實(shí)行“3＋3”的高考選考方案．其中第一個(gè)“3”是指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科必考；另一個(gè)“3”是指從物理、化學(xué)、政治、歷史、地理、生物六科中任選三科參加考試，若小明和小亮將參加高考，他們都酷愛(ài)物理和地理，因此兩人都選物理和地理．他們兩人都將從化學(xué)、生物、政治三科中任選一科．若這三科被選中的機(jī)會(huì)均等，請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求出他們恰好都選中生物的概率． 【答案】他們恰好都選中生物的概率為． 【分析】畫樹(shù)狀圖展示所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解可得． 【詳解】解：畫樹(shù)狀圖如下： ?? 由樹(shù)狀圖知，共有9種等可能結(jié)果，其中他們恰好都選中生物的只有1種結(jié)果， 所以他們恰好都選中生物的概率為． 【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法和樹(shù)狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率． 21．（2023·江蘇泰州·?？既＃├罾蠋煄ьI(lǐng)甲、乙、丙三名同學(xué)乘飛機(jī)去北京參加活動(dòng)，若航班售票系統(tǒng)隨機(jī)分配座位，且系統(tǒng)已將4人分配到同一排，如圖所示是飛機(jī)內(nèi)同一排座位A，B，C，D的排列示意圖： (1)利用樹(shù)狀圖或表格，求甲乙兩同學(xué)被分配到相鄰座位的概率（過(guò)道兩側(cè)座位B、C不算相鄰）； (2)為方便管理，若李老師首先選擇過(guò)道左側(cè)座位B，讓甲、乙、丙三名同學(xué)隨機(jī)選擇座位，甲同學(xué)認(rèn)為：座位不在過(guò)道左側(cè)，就在過(guò)道右側(cè)，所以他自己也在過(guò)道左側(cè)的概率為．請(qǐng)判斷甲同學(xué)的觀點(diǎn)是否正確，并簡(jiǎn)述理由． 【答案】(1)，樹(shù)狀圖見(jiàn)解析； (2)不正確，理由見(jiàn)解析． 【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹(shù)狀圖即可求解； （2）甲同學(xué)隨機(jī)選擇中的一個(gè)座位的概率相同，據(jù)此即可求解． 【詳解】（1）解：樹(shù)狀圖如圖所示： ?? 由圖可知共有12種等可能的結(jié)果，其中甲乙兩同學(xué)被分配到相鄰座位的結(jié)果有4種 故：乙兩同學(xué)被分配到相鄰座位的概率（過(guò)道兩側(cè)座位B、C不算相鄰）為： （2）解：甲同學(xué)的觀點(diǎn)不正確，理由如下； 甲同學(xué)隨機(jī)選擇中的一個(gè)座位，選中每個(gè)座位的概率都是 ∴甲同學(xué)在過(guò)道左側(cè)的概率為 【點(diǎn)睛】本題考查了概率的實(shí)際應(yīng)用．掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵． 22．（2023春·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤如圖，游戲規(guī)則是：自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，若指針落在灰色扇形內(nèi)則獲獎(jiǎng)，落在白色扇形內(nèi)不獲獎(jiǎng)．已知灰色扇形的圓心角為120°． ?? (1)若苗苗和竇竇準(zhǔn)備各玩一次轉(zhuǎn)盤游戲，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出兩人都獲獎(jiǎng)的概率． (2)圣誕節(jié)一天，參加該游戲的共有723人，估計(jì)當(dāng)天獲獎(jiǎng)的人數(shù)． 【答案】(1) (2)241人． 【分析】（1）列表法求概率即可； （2）利用概率公式進(jìn)行求解即可． 【詳解】（1）解：用表示灰色扇形，用表示白色扇形，列表如下： 共有4種等可能的結(jié)果，其中苗苗和竇竇都中獎(jiǎng)的結(jié)果只有1種， ∴； （2）由題意，玩一次轉(zhuǎn)盤游戲中獎(jiǎng)的概率為：， ∴估計(jì)當(dāng)天獲獎(jiǎng)的人數(shù)為人． 【點(diǎn)睛】本題考查概率的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是掌握概率的計(jì)算公式以及列表法求概率． 23．（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某校對(duì)初一新生隨機(jī)搖號(hào)分班，一共分4個(gè)班，班號(hào)分別為1班、2班、3班、4班，甲、乙兩人是該校的初一新生． (1)甲恰好被分在1班的概率為_(kāi)_____； (2)用畫樹(shù)狀圖或列表方法求甲、乙被分在班號(hào)連續(xù)的兩個(gè)班級(jí)的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）所有等可能的情況數(shù)有4種，甲恰好被分在1班的情況有1種，求出甲恰好被分在1班的概率即可； （2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出甲、乙被分在班號(hào)連續(xù)的兩個(gè)班級(jí)的情況數(shù)，求出甲、乙被分在班號(hào)連續(xù)的兩個(gè)班級(jí)的概率即可． 【詳解】（1）∵所有等可能的情況數(shù)有4種，甲恰好被分在1班的情況有1種， ∴甲恰好被分在1班的概率為， 故答案為：； （2）列表如下： 所有等可能的情況有16種，其中甲、乙被分在班號(hào)連續(xù)的兩個(gè)班級(jí)的情況數(shù)有6種，分別為，，，，，， 則P（甲、乙被分在班號(hào)連續(xù)的兩個(gè)班級(jí)）． 【點(diǎn)睛】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，以及概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 24．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)不透明的袋子中裝有四個(gè)小球，這四個(gè)小球上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別是2，2，3，5，這些小球除標(biāo)有的數(shù)字外都相同． (1)從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是2的概率為_(kāi)_______； (2)先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字后，放回，搖勻，再?gòu)拇须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字，請(qǐng)利用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用概念的公式直接計(jì)算即可； （2）先畫樹(shù)狀圖，找出所有的等可能結(jié)果和符合條件的等可能結(jié)果，再計(jì)算即可； 【詳解】（1）解：從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，一共有4種等可能的結(jié)果，摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是2的結(jié)果有2種， 因此，摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是2的概率， 故答案為： （2）解：畫樹(shù)狀圖如下： ?? 從樹(shù)狀圖可以看出：一共有16種等可能的結(jié)果，摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是奇數(shù)的結(jié)果有4種， ∴摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率為：， 答：摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率． 【點(diǎn)睛】本題考查了公式法求概率，畫樹(shù)狀圖或列表法求概率，正確畫出樹(shù)狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵． 25．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某校九年級(jí)名學(xué)生參加“信息素養(yǎng)提升”培訓(xùn)，在培訓(xùn)前、后各參加了一次水平相同的測(cè)試，并將成績(jī)記為“分”、“分”、“分”、“分”、“分”五種等級(jí)為了解培訓(xùn)效果，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的兩次測(cè)試成績(jī)，并制成如下統(tǒng)計(jì)表格： 若被抽取的學(xué)生培訓(xùn)前測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是，培訓(xùn)后測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是，則 (1) ______ ；填“”、“”或“” (2)這名學(xué)生在培訓(xùn)后仍有四名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椤胺帧保渲袃扇耸切×趾托⊥酰F(xiàn)要從這四名學(xué)生的試卷里任選兩份出來(lái)點(diǎn)評(píng)，求恰好同時(shí)選到小林和小王的概率是多少？ (3)請(qǐng)你估計(jì)九年級(jí)名學(xué)生經(jīng)過(guò)培訓(xùn)后，測(cè)試成績(jī)?yōu)椤胺帧钡膶W(xué)生能增加多少人？ 【答案】(1) (2) (3)測(cè)試成績(jī)?yōu)椤胺帧钡膶W(xué)生增加了人 【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義即可得到結(jié)論； （2）畫樹(shù)狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中同時(shí)選到小林和小王的概率的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可． （3）根據(jù)題意列式計(jì)算即可． 【詳解】（1）解：培訓(xùn)前測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)，培訓(xùn)后測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)， ； 故答案為：； （2）解：設(shè)小林和小王分別為，，其他兩同學(xué)為，， 畫樹(shù)狀圖如下： ???? 共有種等可能的結(jié)果，其中恰好同時(shí)選到小林和小王的結(jié)果有種， 恰好同時(shí)選到小林和小王的概率為． （3）解：培訓(xùn)前：，培訓(xùn)后：， ， 答：測(cè)試成績(jī)?yōu)椤胺帧钡膶W(xué)生增加了人． 【點(diǎn)睛】本題考查了用樣本估計(jì)總體，中位數(shù)，求概率，熟練掌握中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵． 26．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）黨的二十大報(bào)告再次將勞動(dòng)教育同“德育、智育、體育、美育”放在同等重要的戰(zhàn)略地位，明確了全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的重要性為落實(shí)勞動(dòng)教育，某校在寒假期間組織學(xué)生進(jìn)行“為家獻(xiàn)愛(ài)心”活動(dòng)活動(dòng)設(shè)置了四個(gè)愛(ài)心項(xiàng)目：A．為家人做早飯，B．洗碗，C．打掃家，D．洗衣服．要求每個(gè)學(xué)生必須且只能選擇一項(xiàng)參加，并且要堅(jiān)持整個(gè)寒假，為了了解全校參加各項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)，學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)所給信息，解答下列問(wèn)題： ?? (1)本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是　 　人； (2)請(qǐng)將上述兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中缺失的部分補(bǔ)充完整； (3)該校參加活動(dòng)的學(xué)生共2600人，請(qǐng)估計(jì)該校參加A項(xiàng)目的學(xué)生有　 人； (4)小雯同學(xué)在整個(gè)寒假中每天都能堅(jiān)持洗碗，養(yǎng)成了很好的勞動(dòng)習(xí)慣，媽媽獎(jiǎng)勵(lì)帶她去看兩場(chǎng)電影，小雯聽(tīng)說(shuō)春節(jié)期間新上映的四部電影《流浪地球2》《滿江紅》《無(wú)名》《熊出沒(méi)之伴我熊芯》（依次記為a，b，c，d）都深受大家喜愛(ài)，很難做出決定，于是將寫有這四個(gè)編號(hào)的卡片（除序號(hào)和內(nèi)容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗勻放好，從中隨機(jī)抽取兩張卡片．請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求抽到的兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿江紅》”的概率． 【答案】(1)120 (2)見(jiàn)解析 (3)390 (4) 【分析】（1）用B組或D組的人數(shù)除以它們所占的百分比即可； （2）先求出C組人數(shù)和A組所占百分比，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可； （3）將A組所占百分比乘以參加活動(dòng)的學(xué)生總數(shù)即可； （4）用列表法或樹(shù)狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿江紅》”的結(jié)果數(shù)，再利用等可能事件的概率公式求出即可． 【詳解】（1）∵B組45人，占百分比為37.5%， ∴接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：（人）， 故答案為：120； （2）C組人數(shù)為：（人）， A組人數(shù)所占百分比為：， 補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下： ?? （3）∵（人）， ∴估計(jì)該校參加A項(xiàng)目的學(xué)生有390人， 故答案為：390； （4）畫樹(shù)狀圖如下： ?? 一共有12種等可能的結(jié)果，抽到的兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿江紅》”的有2種可能的結(jié)果， ∴P（兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿江紅》”）． 【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，列表法和樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率，掌握相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖的意義和列表法和樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵． 3453（3，3）（3，4）（3，5）4（4，3）（4，4）（4，5）5（5，3）（5，4）（5，5）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n1001502005008001000落在“鉛筆”的次數(shù)m68111136345546701落在“鉛筆”的頻率　　　　　　0202ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）?1023?11340?1222?3?213?4?3?1第一張 和 第二張組合情況運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果是否是無(wú)理數(shù)第一種組合，，乘法否第二種組合，，加法是第三種組合，，乘法是第四種組合，，加法是第五種組合，，乘法否第六種組合，，加法是第七種組合，，乘法是第八種組合，，加法是第九種組合，，乘法是第十種組合，，加法是第十一種組合，，乘法；是第十二種組合，，加法是牌面數(shù)字2344次數(shù)26243020指針指向兩紅一紅一藍(lán)兩藍(lán)禮金券（元）27927藍(lán)藍(lán)紅藍(lán)（藍(lán)，藍(lán)）（藍(lán)，藍(lán)）（藍(lán)，紅）紅（紅，藍(lán)）（紅，藍(lán)）（紅，紅）紅（紅，藍(lán)）（紅，藍(lán)）（紅，紅）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)落在“手工”區(qū)域的次數(shù)落在“手工”區(qū)域的頻率甲78798182x889395乙758080838590 9295成績(jī)頻數(shù)頻率 20.04 0.16 200.40 160.32 4 合計(jì)501第1個(gè) 第2個(gè)1331130211043124種子數(shù)307513021048085612502300發(fā)芽287212520045781411872185抽取足球數(shù)1002004006008001000合格的數(shù)量93192384564759950合格的頻率0.930.960.960.94抽取足球數(shù)n1002004006008001000合格的頻數(shù)m93192384564759950合格的頻率 0.930.960.960.940.950.95抽取的公仔數(shù)n10100100020003000優(yōu)等品的頻數(shù)m99696219202880優(yōu)等品的頻率0.90.96a0.96b試驗(yàn)次數(shù)出現(xiàn)方塊的次數(shù)出現(xiàn)方塊的頻率摸球的次數(shù)n1002003005008001000摸到黑球的次數(shù)m摸到黑球的頻率黑白白白黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）朝下數(shù)字1234出現(xiàn)的次數(shù)1317201012341234抽查車輛數(shù)200400800150024004000禮讓行人的駕駛員人數(shù)169332689127220473404禮讓行人的頻率0.8450.8300.8610.8480.8530.851每批粒數(shù)n2510501005001000150020003000發(fā)芽的頻數(shù)m2494492463928139618662794發(fā)芽的頻率（精確到0.001）1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931第二次????????????第一次正反正正，正反，正反正，反反，反紅黃藍(lán)紅紅，紅紅，黃紅，藍(lán)黃黃，紅黃，黃黃，藍(lán)紅紅，紅紅，黃紅，藍(lán)藍(lán)藍(lán)，紅藍(lán)，黃藍(lán)，藍(lán)0__________0____投籃次數(shù)投中次數(shù)窗AB過(guò)道CD窗ABAA，AA，BBB，AB，B12341234訓(xùn)前成績(jī)分????????????????????劃記正正正正人數(shù)人????????????????????培訓(xùn)后成績(jī)分????????????????????劃記一正正正正人數(shù)人????????????????????

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