第4章 圖形的相似全章復(fù)習攻略與檢測卷 【目錄】 倍速學(xué)習六種方法 【3個概念】 1.成比例線段 2.相似多邊形 3.位似圖形 【2個性質(zhì)】 1.比例的性質(zhì) 2.相似三角形的性質(zhì) 【1個判定】 相似三角形的判定 【1個作圖】 作一個圖形的位似圖形 【1個應(yīng)用】 相似三角形的應(yīng)用 【2種思想】 1.分類討論思想 2.轉(zhuǎn)化思想 【檢測卷】 【倍速學(xué)習六種方法】 【3個概念】 1.成比例線段 【例1】下列四組線段中，成比例線段的是（????） A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2 【答案】D 【分析】根據(jù)成比例線段的定義進行判斷即可 解：A．∵， ∴ 4，1，3，8不是成比例線段，不符合題意； B．∵ ， ∴ 3，4，5，6不是成比例線段，不符合題意； C．∵， ∴ 4，8，3，5不是成比例線段，不符合題意； D．∵ ， ∴15，5，6，2是成比例線段，符合題意． 故選：D． 【點撥】此題考查了成比例線段，如果四條線段a、b、c、d滿足，則線段a、b、c、d成比例，熟練掌握成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵． 2.相似多邊形 【例2】下列各組中兩個圖形不相似的是（　?。?A． B． C． D． 【解答】解：A、兩個三角形相似，相似比為4：3．本選項不符合題意； B、兩個圖形不相似，對應(yīng)邊不成比例．本選項符合題意． C、兩個矩形相似，相似比為3：2．本選項不符合題意； D、兩個正方形相似．本選項不符合題意； 故選：B． 【變式】如果梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周長為 　 　． 【解答】解：如圖，過D作DE⊥BC于E， ∵梯形是直角梯形， ∴∠A＝∠ABC＝∠DEB＝90°， ∴四邊形ABED是矩形， ∴BE＝AD＝2， ∵BC＝4， ∴CE＝BE＝2， ∴BD＝CD， ∵梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似， ∴△ABD∽△DBC， ∴＝， ∴＝＝1， ∴AB＝AD＝2， ∴BD＝CD＝AD＝2， ∴它的周長為2+2+4+2＝8+2， 故答案為：8+2． 3.位似圖形 【例3】（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習）下列說法中，正確的是（????） A．兩個多邊形相似，則它們一定是位似圖形 B．兩個位似圖形的位似中心可能不止一個 C．位似圖形一定是相似圖形 D．兩個多邊形相似，面積比一定是相似比 【答案】C 【分析】根據(jù)位似圖形的概念和相似多邊形的性質(zhì)判斷即可． 【詳解】A. 兩個多邊形相似，則它們不一定是位似圖形，，故該選項說法錯誤； B. 兩個位似圖形的位似中心只有一個，故該選項說法錯誤； C. 位似圖形一定是相似圖形，故該選項說法正確； D. 兩個多邊形相似，面積比是相似比的平方，故該選項說法錯誤； 故選：C． 【點睛】本題考查的是位似圖形的概念，相似多邊形的性質(zhì)，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形是解題的關(guān)鍵． 【變式】（2022秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）下圖所示的四種畫法中，能使得△DEF是△ABC位似圖形的有（????） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根據(jù)每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點，且對應(yīng)邊互相平行，逐項分析判斷即可求解． 【詳解】解：∵每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點，且對應(yīng)邊互相平行 ∴①②③④能使得△DEF是△ABC位似圖形， 故選：D． 【點睛】本題考查了位圖圖形的性質(zhì)與畫法，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【2個性質(zhì)】 1.比例的性質(zhì) 【例4】設(shè)線段、、滿足，求、、的值． 【答案】． 【解析】由（1）可得，再結(jié)合（2），可得：，由此可得到，結(jié)合（2）式可解得． 【總結(jié)】考查比例的等比性質(zhì)的應(yīng)用． 2.相似三角形的性質(zhì) 【例5】如圖，正方形DEFG的邊EF在的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上，AH是的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的邊長． A B C D E F G H P 【答案】24． 【解析】設(shè)正方形的邊長為， ，． ，， 正方形的邊長為24． 【總結(jié)】本題考查三角形內(nèi)接正方形的相關(guān)知識，主要還是通過比例相等來列式建立關(guān)系． 【變式1】如圖，梯形ABCD的周長為16厘米，上底厘米，下底厘米，分別延長AD和BC交于點P，求的周長． A B C D P 【答案】． 【解析】解：梯形，，， ，即， ，． 【總結(jié)】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定． 【變式2】如圖，在中，點D、E在AB、AC上，DE//BC，和四邊形BCED的面積相等，求AD:BD的值． A B C D E 【答案】． 【解析】解：，， ，， ，，． 【總結(jié)】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)． 【1個判定】 相似三角形的判定 【例6】（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·九年級?？茧A段練習）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1． （1）請你探究：，是否都成立？ （2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷． （3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點E，試求的值． 【答案】（1）成立，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3） 【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，則DB＝CD，易得；由于∠C1AB1＝60°，得∠B1＝30°，則AB1＝2AC1，同理可得到DB1＝2DC1，易得； （2）過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠E＝∠CAD＝∠BAD，則BE＝AB，并且根據(jù)相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE＝AB，于是有，這實際是三角形的角平分線定理； （3）AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，由（2）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性質(zhì)解答即可． 【詳解】解：（1） 等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線， 因為B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1， ∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°， AD＝B1D， 綜上：這兩個等式都成立； （2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下： 如圖所示，△ABC為任意三角形，過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點， 線段AD為其內(nèi)角角平分線 ∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD ∴BE＝AB， 又∵BE＝AB． ∴， 即對任意三角形結(jié)論仍然成立； （3）如圖（2）所示，因為Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，， ∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線， ∴ ∵DE∥AC， ∵DE∥AC， ∴△DEF∽△ACF， ∴ 【點睛】本題考查的是三角形相似的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵． 【1個作圖】 作一個圖形的位似圖形 【例7】（2023春·寧夏銀川·九年級銀川一中?？计谥校┤鐖D，是邊長為1個單位的小正方形組成的12×12方格，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，使點A、C的坐標分別為?4,2和0,0．△ABC頂點都在格點上，將△ABC的三邊分別擴大得到△A1B1C1（頂點均在格點上），它們是以P點為位似中心的位似圖形． ?? (1)畫出△ABC向下平移3個單位后的三角形△A2B2C2； (2)畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的三角形△A3B3C3； (3)直接寫出點P的坐標． 【答案】(1)見詳解； (2)見詳解； (3)(?4,?3)． 【分析】（1）將A、B、C三點分別向下平移3個單位，得到A2、B2、C2，再順次連接A2、B2、C2即可得到△A2B2C2； （2））作出A、B分別關(guān)于原點O的對稱點A3、B3，順次連接A3、B3、O，即可得到△A3B3C3； （3）連接A1A、B1B并延長，它們的交點就是P點． ?? 【詳解】（1）如圖△A2B2C2即為所求； （2）如圖△A3B3C3即為所求； （3）連接A1A、B1B并延長，交點為(?4,?3)，則P點的坐標為(?4,?3)． 【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中的圖形變換：平移變換／旋轉(zhuǎn)變換和位似變換．正確的找到變換以后的對應(yīng)點是解題的關(guān)鍵． 【1個應(yīng)用】 相似三角形的應(yīng)用 【例8】如圖，小明欲測量一座古塔的高度，他拿出一根竹桿豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過竹桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面，竹桿頂端離地面，小明到竹桿的距離，竹桿到塔底的距離，求這座古塔的高度． 【答案】古塔的高度是米． 【分析】先根據(jù)小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EH⊥AB可知，BH=DG=EF=1.6m，再小明眼睛離地面1.6m，竹桿頂端離地面2.4m求出CG的長，由于CD∥AB可得出△EGC∽△EHA，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出AH的長，進而得出AB的長． 【詳解】∵小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EH⊥AB， ∴BH=DG=EF=1.6m，EG=DF，GH=DB， ∵小明眼睛離地面1.6m，竹桿頂端離地面2.4m， ∴CG=CD-EF=2.4-1.6=0.8m， ∵CD∥AB， ∴△EGC∽△EHA，DF=2m，DB=33m， ∴，即， 解得AH=14m， ∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m， 答：古塔的高度是15.6米． 【點睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，先根據(jù)題意得出相似三角形，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出結(jié)論是解答此題的關(guān)鍵． 【變式1】（2022秋·九年級課時練習）小強在地面E處放一面鏡子，剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端B，此時EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC＝1.6米，請計算出教學(xué)樓AB的高度．（根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角） 【答案】教學(xué)樓AB的高度為16米 【分析】根據(jù)反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，則可判斷Rt△AEB∽Rt△CED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，即可求出AB． 【詳解】解：根據(jù)題意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教學(xué)樓AB的高度為16米． 【點睛】此題考查了相似三角形的實際應(yīng)用，利用入射角與反射角相等得到相似三角形是解題關(guān)鍵． 【變式2】（2022秋·九年級課時練習）如圖所示，在離某建筑物處有一棵樹，在某時刻，長的竹竿垂直地面，影長為，此時，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影高為，那么這棵樹高約有多少米？ 【答案】這棵樹高． 【分析】因為在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同，利用竹竿這個參照物就可以求出圖中的，是的影子，然后加上CD就是樹高． 【詳解】過點作交于點 則， ，即 答：這棵樹高． 【點睛】解決此類問題的關(guān)鍵是利用在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同這個結(jié)論，列出方程求解． 【變式3】（2022秋·九年級課時練習）如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點，CD是水平的，在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上.若鐵塔底座寬CD=12m，塔影長 m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時刻小明站在點E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m和1m，求塔高AB． 【答案】塔高AB為24m. 【分析】過點D構(gòu)造矩形，把塔高的影長分解為平地上的BD，斜坡上的DE．然后根據(jù)影長的比分別求得AG，GB長，把它們相加即可． 【詳解】如圖，過點D作，交AE于點F，過點F作，垂足為點G. 由題意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 答：塔高AB為24m. 【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用；解決本題的難點是把塔高的影長分為在平地和斜坡上兩部分；關(guān)鍵是利用平地和斜坡上的物高與影長的比得到相應(yīng)的部分塔高的長度． 【3種思想】 1.分類討論思想 【例9】已知：如圖，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．點P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過點D作PD的垂線，與BC相交于點C．設(shè)線段AP的長為x． （1）當AP = AD時，求線段PC的長； （2）設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； （3）當△APD∽△DPC時，求線段BC的長． A B C D P A B C D （備用圖） 滿分解答： （1）過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E． ∵ AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD // BC， ∴ ∠ABC =∠AEC =∠PDC = 90°， CE = AB = 3． ∵ AD // BC，∴ ∠A +∠ABC = 180°．即得 ∠A = 90°． 又∵ ∠ADC =∠DCE +∠DEC，∠ADC =∠ADP +∠PDC， ∴ ∠ADP =∠DCE． 又由 ∠A =∠DEC = 90°，得 △APD∽△DCE． ∴ ． 于是，由AP = AD = 2，得 DE = CE = 3．…………………………（2分） 在Rt△APD和Rt△DCE中， 得 ，．…………………………………………（1分） 于是，在Rt△PDC中，得 ． （1分） （2）在Rt△APD中，由 AD = 2，AP = x， 得 ．……………………………………………………（1分） ∵ △APD∽△DCE，∴ ． ∴ ．…………………………………………（1分） 在Rt△PCD中，． ∴ 所求函數(shù)解析式為．…………………………………（2分） 函數(shù)的定義域為 0 < x ≤ 3．…………………………………………（1分） （3）當△APD∽△DPC時，即得 △APD∽△DPC∽△DCE．…………（1分） 根據(jù)題意，當△APD∽△DPC時，有下列兩種情況： （ⅰ）當點P與點B不重合時，可知 ∠APD =∠DPC． 由 △APD∽△DCE，得 ．即得 ． 由 △APD∽△DPC，得 ． ∴ ．即得 DE = AD = 2． ∴ AE = 4． 易證得四邊形ABCE是矩形，∴ BC = AE = 4．…………………（2分） （ⅱ）當點P與點B重合時，可知 ∠ABD =∠DBC． 在Rt△ABD中，由 AD = 2，AB = 3，得 ． 由 △ABD∽△DBC，得 ． 即得 ． 解得 ．………………………………………………………（2分） ∴ △APD∽△DPC時，線段BC的長分別為4或． 【變式1】【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明） 【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長． 【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【詳解】探究：證明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 當CP=CE時，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 當PC=PE時，△ACP≌△BPE， 則PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 當EC=EP時，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或． 【變式2】如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點G，連接FC（AB＞AE）． (1)求證：△AEF∽△DCE； (2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由； (3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請說明理由． 【詳解】（1）證明：∵EF⊥EC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠AEF＋∠DEC＝90°， ∵∠AEF＋∠AFE＝90°， ∴∠DEC＝∠AFE， 又∵∠A＝∠EDC＝90°， ∴△AEF∽△DCE； （2）解：△AEF∽△ECF． 理由：∵E為AD的中點， ∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG， ∴△AEF≌△DEG(ASA)， ∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC． 又∵EF⊥CE， ∴CE垂直平分FG， ∴△CGF是等腰三角形． ∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC． 又∵∠A＝∠FEC＝90°， ∴△AEF∽△ECF； （3）解：存在使得△AEF與△BFC相似． 理由： 假設(shè)△AEF與△BFC相似，存在兩種情況： ①當∠AFE＝∠BCF，則有∠AFE與∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此種情況不成立； ②當∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似， 設(shè)BC＝a，則AB＝ka， ∵△AEF∽△BCF， ∴， ∴AF＝，BF＝， ∵△AEF∽△DCE， ∴，即， 解得，． ∴存在使得△AEF與△BFC相似． 【變式3】在中，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）． （1）如圖，若點在線段上運動，交于． ①求證：； ②當是等腰三角形時，求的長； （2）如圖，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長度；若不存在，請簡要說明理由； （3）若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由． 【詳解】（1）①證明：∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴； ②解：分三種情況： （i）當，時，得到，點分別與重合， ∴． （ii）當時， 在△ABD和△DCE中， ， ∴， ∴， ∵BC=， ∴， ∴； （iii）當時，有， ∴，AD=CD，AE=CE=DE， ∴． 綜上所述，當是等腰三角形時，的長為2，或1． （2）解：存在． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 當，． （3）解：不存在．理由如下： 如圖， ∵和不重合，∴， 又，， ∴≠． 2.轉(zhuǎn)化思想 【例10】（2022秋·安徽馬鞍山·九年級安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校考期中）如圖：四邊形ABCD對角線AC與BD相交于點O，OD=2OA，OC=2OB． （1）求證：△AOB∽△DOC； （2）點E在線段OC上，若AB∥DE，求證：OD2=OE?OC． 【分析】（1）根據(jù)對應(yīng)邊成比例，夾角相等，可證△AOB∽△DOC； （2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得△DOC∽△EOD，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求解． 【詳解】證明：（1）∵OD=2OA，OC=2OB， , 又∠AOB=∠DOC， ∴△AOB∽△DOC． （2）由（1）得：△AOB∽△DOC． ∴∠ABO=∠DCO． ∵AB∥DE， ∴∠ABO=∠EDO． ∴∠DCO=∠EDO． ∵∠DOC=∠EOD， ∴△DOC∽△EOD, ∴ , 【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時要注意找準對應(yīng)角和對應(yīng)邊． 【檢測卷】 一．選擇題（共10小題） 1．（2022秋?新邵縣期末）如圖，D是△ABC的邊AB上的一點，那么下列四個條件不能單獨判定△ABC∽△ACD的是（　?。? A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD?AB 【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各個選項逐一分析即可． 【解答】解：∵∠A是公共角， ∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD， ∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD?AB，即 ＝，也可判定△ABC∽△ACD， ∴選項A、B、D都可判定△ABC∽△ACD． 而選項C中的對兩邊成比例，但不是相應(yīng)的夾角相等，所以選項C不能． 故選：C． 【點評】本題考查了相似三角形的判定，此題主要考查學(xué)生對相似三角形判定定理的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題，要求學(xué)生應(yīng)熟練掌握． 2．（2023?和平區(qū)校級開學(xué)）已知a，d，b，c依次成比例線段，其中a＝3cm，b＝4cm，c＝6cm，則d的值為（　?。?A．8cm B．cm C．4cm D．cm 【分析】能夠根據(jù)比例的基本性質(zhì)熟練進行比例式和等積式的互相轉(zhuǎn)換．根據(jù)題意得：a：d＝b：c代入數(shù)值即可求得． 【解答】解：根據(jù)題意得： a：d＝b：c， ∵a＝3cm，b＝4cm，c＝6cm， ∴3：d＝4：6， ∴d＝cm； 故選：D． 【點評】此題注意根據(jù)已知條件寫比例式的時候，一定要注意順序．然后根據(jù)比例的基本性質(zhì)進行求解． 3．（2023秋?寶應(yīng)縣校級月考）如圖是小孔成像原理的示意圖，這支蠟燭在暗盒中所成的像CD的長是1cm，則像CD到小孔O的距離為（　?。? A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】設(shè)像CD到小孔O的距離為x，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊以及對應(yīng)邊上的高成比例得出方程求解即可． 【解答】解：設(shè)像CD到小孔O的距離為x， 由題意知，AB∥CD， ∴△ABO∽△DCO， ∴ ∴x＝2， 故選：B． 【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 4．（2022秋?長清區(qū)期末）如果2a＝5b，那么下列比例式中正確的是（　?。?A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【分析】利用比例的性質(zhì)對各選項進行判斷． 【解答】解：∵2a＝5b， ∴＝，＝． 故選：C． 【點評】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項之積等于外項之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)等）是解決問題的關(guān)鍵． 5．（2022秋?東營區(qū)校級期末）如圖，直線a∥b∥c，直線m，n分別與直線a，b，c相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)，若AB＝4，AC＝10，DE＝5，則EF＝（　?。? A． B． C．8 D． 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，求出DF，進而求出EF． 【解答】解：∵a∥b∥c， ∴＝， ∵AB＝4，AC＝10，DE＝5， ∴＝， 解得：DF＝， ∴EF＝DF﹣DE＝﹣5＝， 故選：B． 【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 6．（2023?東阿縣校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，DE∥AB，AD：AB＝3：4，△ABC的面積等于48，則四邊形DBCE的面積等于（　　） ? A．12 B．24 C．21 D．36 【分析】先由DE∥BC證明△ADE∽△ABC，再根據(jù)“相似三角形面積的比等于相似比的平方”得 ，而S△ABC＝48，可求得S△ADE的值，再求出四邊形DBCE的面積值即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵S△ABC＝48， ∴， ∴四邊形DBCE的面積＝48﹣27＝21， 故選：C． 【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵． 7．（2022秋?安鄉(xiāng)縣期末）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，＝2，DE＝6cm，則BC的長為（　　） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 【分析】根據(jù)平行得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似的性質(zhì)得出，再結(jié)合，DE＝6cm，利用相似比即可得出結(jié)論． 【解答】解：在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∵DE＝6cm， ∴， 故選：A． 【點評】本題考查利用相似求線段長，涉及平行線的性質(zhì)、兩個三角形相似的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． 8．（2023?荔城區(qū)校級開學(xué)）下列說法不正確的是（　?。?A．所有的正五邊形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的正三角形都相似 D．所有的等腰三角形都相似 【分析】相似形就是形狀相同的兩個圖形，即對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等的兩個圖形，依據(jù)定義即可進行判斷． 【解答】解：A．所有的正五邊形都相似，正確，故此選項不符合題意； B．所有的正方形都相似，正確，故此選項不符合題意； C．所有的正三角形都相似，正確，故此選項不符合題意； D．所有的等腰三角形對應(yīng)邊的比不一定相等，對應(yīng)角不一定相等，所有的等腰三角形不一定相似，故此選項符合題意． 故選：D． 【點評】本題考查相似多邊形的識別．解題的關(guān)鍵是掌握判定兩個圖形相似的依據(jù)：對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，兩個條件必須同時具備． 9．（2023?東明縣一模）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加一個條件后，仍不能判定△ABC與△ADE相似的是（　?。? A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝ 【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到最后答案． 【解答】解：∵∠1＝∠2 ∴∠DAE＝∠BAC ∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE 選項C中不是夾這兩個角的邊，所以不相似， 故選：C． 【點評】此題考查了相似三角形的判定： ①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似； ②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似； ③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似． 10．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（　?。? A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m 【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可． 【解答】解：如圖： ∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△EDC， ∴， 即， ∴DE＝8（m）， 故選：B． 【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解答． 二．填空題（共8小題） 11．（2022秋?龍崗區(qū)期末）如果x：y＝1：3，那么＝　　． 【分析】根據(jù)已知條件求出y＝3x，再代入求出答案即可． 【解答】解：∵x：y＝1：3， ∴y＝3x， ∴ ＝ ＝ ＝， 故答案為：． 【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，能選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：如果＝，那么ad＝bc． 12．（2023?廣陵區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍得到△A′B′C′，若點A的坐標為（2，3），則A′的坐標為 ?。?，6）或（﹣4，﹣6）?。?【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可． 【解答】解：以原點為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍得到△A′B′C′，點A的坐標為（2，3）， 則A′的坐標為（2×2，3×2）或[2×（﹣2），3×（﹣2）]，即（4，6）或（﹣4，﹣6）， 故答案為：（4，6）或（﹣4，﹣6）． 【點評】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或﹣k． 13．（2023?朝陽區(qū)校級一模）如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個相似三角形△ABC和△DEF，則∠BAC的度數(shù)為　135°　． 【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等即可得出． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°， ∴∠BAC＝135°． 故答案為：135°． 【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，兩三角形相似，對應(yīng)的角相等． 14．（2023秋?寶應(yīng)縣校級月考）如圖，D、E為△ABC的邊AC、AB上的點，當 　∠ADE＝∠B（答案不唯一）　時，△ADE∽△ABC．? 【分析】由相似三角形的判定，即可得到答案． 【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC， ∴當∠ADE＝∠B時，△ADE∽△ABC． 故答案為：∠ADE＝∠B（答案不唯一）． 【點評】本題考查相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法． 15．（2023?城廂區(qū)校級開學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在BC邊上，且CE：BC＝2：3，AC與DE相交于點F，若△AFD周長為6，則△EFC周長為 　4?。? 【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，可得出 AD∥BC，BC＝AD，進而可得出△ADF∞△CEF，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出△EFC的周長． 【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AD∥BC，BC＝AD， ∵CE：BC＝2：3， ∴CE：AD＝2：3， ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△CEF， ∴＝＝， ∵△AFD周長為6， ∴△EFC的周長＝， 故答案為：4． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，牢記“相似三角形的 周長比等于相似比”是解題的關(guān)鍵． 16．（2023?肇源縣校級開學(xué)）若，則的值是 　?。?【分析】利用已知條件設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k，，將它們代入運算化簡即可． 【解答】解：∵， ∴設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝． 故答案為：． 【點評】本題主要考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k是解題的關(guān)鍵． 17．（2023?香坊區(qū)校級開學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，EF：AF＝2：5，若△DEF的面積是4，則四邊形BCEF的面積是 　31　． 【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可證明△DEF∽△BAF，可求得△DEF和△AFE、△ABF的面積之間的關(guān)系，從而可求得△DEF和△BCD的面積之間的關(guān)系，可求得答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴CD∥AB． ∴△DEF∽△BAF． ∴＝＝． ∴＝＝，＝＝． 設(shè)S△DEF＝S，則S△ABF＝S，S△ADF＝S． ∴S△ABD＝S△ADF+S△ABF＝S+＝S＝S． ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴S△ABD＝S△DBC＝S． ∴S四邊形EFBC＝S△BDC﹣S△DEF＝S﹣S＝S． 又S＝4， ∴S四邊形EFBC＝×4＝31． 故答案為：31． 【點評】本題主要考查平行四邊形和相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)條件找到△DEF和△DBC的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 18．（2023春?太倉市期末）如圖，小明用長為2.5m的竹竿CD做測量工具，測量學(xué)校旗桿AB的高度，移動竹竿，使竹竿、旗桿的頂端的影子恰好落在地面的同一點O．此時，竹竿與這一點O相距6m、與旗桿相距12m，則旗桿AB的高為　7.5　m． 【分析】由平行線證明三角形相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例解題即可． 【解答】解：∵竹竿CD和旗桿AB均垂直于地面， ∴CD∥AB， ∴△OCD∽△OAB， ∴，即＝， ∴AB＝3CD＝7.5m； 故答案為：7.5． 【點評】本題考查的是相似形三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用相似三角形對應(yīng)邊成比例解題． 三．解答題（共8小題） 19．（2023?江北區(qū)校級開學(xué)）已知線段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若線段a、b、c滿足a+b+c＝60，求a、b、c的值． 【分析】設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k． （1）代入計算即可； （2）構(gòu)建方程求出k即可． 【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則a＝3k，b＝4k，c＝5k， （1）＝＝； （2）∵a+b+c＝60， ∴3k+4k+5k＝60， ∴k＝5， ∴a＝15，b＝20，c＝25． 【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知得出a＝3k，b＝4k，c＝5k進而得出k的值是解題關(guān)鍵． 20．（2023秋?寶應(yīng)縣校級月考）如圖，△ABC是一塊銳角三角形的余料，邊長BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點在AB、AC上，這個正方形的零件的邊長為多少？ ? 【分析】設(shè)正方形的邊長為xmm，表示出AI的長度，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，然后進行計算即可得解． 【解答】解：設(shè)正方形的邊長為xmm， 則AI＝AD﹣x＝80﹣x， ∵EFHG是正方形， ∴EF∥GH， ∴△AEF∽△ABC， ∴＝， 即＝， 解得x＝48， 所以，這個正方形零件的邊長是48mm． 【點評】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比，表示出AI的長度，然后列出比例式是解題的關(guān)鍵． 21．（2023秋?寶應(yīng)縣校級月考）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、DC上，BE⊥EF．?求證： （1）△ABE∽△DEF； （2）若AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的長． 【分析】（1）先判斷出∠A＝∠D＝90°，進而得出∠ABE+∠AEB＝90°，再判斷出∠AEB+∠DEF＝90°，得出∠ABE＝∠DEF，即可得出結(jié)論； （2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DF的長，再由勾股定理即可得出結(jié)論． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∵BE⊥EF ∴∠BEF＝90°， ∴∠AEB+∠DEF＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∵∠A＝∠D， ∴△ABE∽△DEF； （2）解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2， ∴＝，即＝，解得DF＝3， ∵四邊形ABCD為矩形， ∴∠D＝90°， 由勾股定理得： EF＝＝＝． 【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵． 22．（2023?溫州模擬）如圖，AD是△ABC的角平分線，在AC上取點E，使AD2＝AB×AE ?（1）求證：△ABD∽△ADE； （2）若∠B＝64°，∠C＝42°，求∠CDE的度數(shù)． 【分析】（1）由角平分線的定義可得∠BAD＝∠EAD，由AD2＝AB×AE得：，即可判定：△ABD∽△ADE； （2）由（1）可得∠ADE＝∠B，再由三角形的內(nèi)角和可求得∠BAC＝74°，由角平分線的定義得∠BAD＝37°，則可求得∠ADB的度數(shù)，從而可求∠CDE的度數(shù)． 【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線， ∴∠BAD＝∠EAD， ∵AD2＝AB×AE， ∴， ∴：△ABD∽△ADE； （2）解：∵△ABD∽△ADE，∠B＝64°，∠C＝42°， ∴∠ADE＝∠B＝64°，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝74°， ∵AD是△ABC的角平分線， ∴∠BAD＝∠BAC＝37°， ∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝79°， ∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝37°． 【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記相似三角形的判定條件與性質(zhì)并靈活運用． 23．（2023?城廂區(qū)校級開學(xué)）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點A、B、C，截直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3．如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長． 【分析】根據(jù)直線l4、l5被平行線l1，l2，l3所截，截得的對應(yīng)線段的長度成比例進行解答． 【解答】證明：∵l1∥l2∥l3， ∴＝， ∴＝， ∴BC＝9， ∴AC＝AB+BC＝6+9＝15． 【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，能正確根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵． 24．（2023?福田區(qū)校級開學(xué)）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)在線段BC上，點Q在線段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ?AB．求證： （1）△CAE≌△BAF； （2）△ACE∽△AFQ． 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，利用SAS證明△CAE≌△BAF； （2）利用全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合題意證明△ACE∽AFQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解． 【解答】證明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵CF＝BE， ∴CF﹣EF＝BE﹣EF， 即CE＝BF， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△CAE≌△BAF（SAS）； （2）∵△CAE≌△BAF， ∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF， ∵AE2＝AQ?AB，AC＝AB， ∴＝， ∴△ACE∽△AFQ． 【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件． 25．（2023春?任城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點坐標分別為O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）． （1）以原點O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出△OAB的一個位似△OA1B1，使它與△OAB的相似比為2：1，并分別寫出點A、B的對應(yīng)點A1、B1的坐標． （2）畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后的△O2A2B2，并寫出點A、B的對應(yīng)點A2、B2的坐標． （3）判斷△OA1B1與△O2A2B2，能否是關(guān)于某一點M為位似中心的位似圖形？若是，請在圖中標出位似中心M，并寫出點M的坐標． 【分析】（1）利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標，進而得出答案； （2）利用平移變換規(guī)律得出對應(yīng)點坐標，進而得出答案； （3）利用位似圖形的性質(zhì)得出位似中心，進而得出答案． 【解答】解：（1）如圖所示，A1（4，2），B1（2，﹣4）． （2）如圖所示，A2（0，2），B 2（﹣1，﹣1）． （3）△OA1B1與△O2A2B2是關(guān)于點M（﹣4，2）為位似中心的位似圖形． 【點評】此題主要考查了位似變換以及平移變換，根據(jù)圖形變換的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標是解題關(guān)鍵． 26．（2023?柘城縣模擬）如圖，在正方形ABCD中，邊長為4，∠MDN＝90°，將∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，其中DM邊分別與射線BA、直線AC交于E、Q兩點，DN邊與射線BC交于點F；連接EF，且EF與直線AC交于點P． （1）如圖1，點E在線段AB上時， ①求證：AE＝CF； ②求證：DP垂直平分EF； （2）當AE＝1時，求PQ的長． 【分析】（1）①只要證明△ADE≌△CDF（ASA）即可解決問題； ②利用相似三角形的性質(zhì)證明∠PDQ＝45°即可解決問題； （2）①當點E在線段AB上時，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．由△AQD∽△EQP，可知AQ?PQ＝DQ?EQ，想辦法求出AQ，EQ，DQ即可解決問題；②當點E在BA的延長線上時，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G，方法類似． 【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°， ∴∠ADC＝∠MDN＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF． ②∵△ADE≌△CDF（ASA）， ∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°， ∴∠DEF＝45°， ∵∠DAC＝45°， ∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP， ∴△AQD∽△EQP， ∴＝， ∴＝，∵∠AQE＝∠PQD， ∴△AQE∽△DQP， ∴∠QDP＝∠QAE＝45°， ∴∠DPE＝90°， ∴DP⊥EF，∵DE＝DF， ∴PE＝PF， ∴DP垂直平分線段EF． （2）解：①當點E在線段AB上時，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G． 在Rt△ADE中，DE＝＝， ∵∠QAH＝∠QAG＝45°， ∴HQ＝QG＝AH＝AG，設(shè)QH＝x， ∵×4×x+×1×x＝×1×4， ∵x＝， ∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝， ∵△AQD∽△EQP， ∴AQ?PQ＝DQ?EQ， ∴PQ＝＝． ②當點E在BA的延長線上時，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G． 在Rt△ADE中，DE＝＝， ∵∠QAH＝∠QAG＝45°， ∴HQ＝QG＝AH＝AG，設(shè)QH＝x， ∵×4×x﹣×1×x＝×1×4， ∵x＝， ∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝， ∵△AQD∽△EQP， ∴AQ?PQ＝DQ?EQ， ∴PQ＝＝． 綜上所述，PQ的長為或． 【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形和相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．

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