一元二次方程單元測(cè)試（基礎(chǔ)過(guò)關(guān)） 一、單選題 1．下列方程中屬于一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根據(jù)一元二次方程的定義可判斷A，根據(jù)分母中有未知數(shù)，不是整式方程，可判斷B根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為a是否為0可判斷C，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是0，不是一元二次方程，可判斷D 【解析】 解：A、∵， ∴， 根據(jù)一元二次方程的定義A滿足條件，故A正確； B、分母中有未知數(shù)，不是整式方程，是分式方程,不選B； C、二次項(xiàng)系數(shù)為a是否為0，不確定，當(dāng)=0，b≠0時(shí)，一元一次方程，當(dāng)時(shí)是一元二次方程，不選C； D、沒(méi)有二次項(xiàng)，不是一元二次方程，不選D． 故選擇：A． 【點(diǎn)睛】 本題考查一元二次方程問(wèn)題，關(guān)鍵掌握一元二次方程定義滿足的條件． 2．下列配方正確的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根據(jù)完全平方公式，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析，即可． 【解析】 解：A. ，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤； B. ，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤； C. ，故該選項(xiàng)正確； D. ，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選C． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查多項(xiàng)式的配方，掌握完全平方公式，是解題的關(guān)鍵． 3．以為根的一元二次方程可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 對(duì)照求根公式確定二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)． 【解析】 解：根據(jù)求根公式知，-b是一次項(xiàng)系數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)是-c． 所以，符合題意的只有D選項(xiàng)． 故選：D． 【點(diǎn)睛】 本題考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式x=解方程時(shí)，一定要弄清楚該公式中的字母a、b、c所表示的意義． 4．方程的根是（） A．-1，3 B．1，-3 C．0，-1，3 D．0，-1，-3 【答案】D 【分析】 根據(jù)因式分解法求解即可． 【解析】 由題可得，或或， 解得：或或． 故選：D． 【點(diǎn)睛】 本題考查了因式分解法解方程，熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵． 5．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.較簡(jiǎn)便的方法依次是（）； A．開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法、配方法 C．配方法、因式分解法、配方法、公式法 D．開(kāi)平方法、因式分解法、配方法、公式法 【答案】D 【解析】 【分析】 對(duì)于第①個(gè)方程，由于左右兩邊是某個(gè)數(shù)或式子的平方，據(jù)此選擇開(kāi)平方法解方程；對(duì)于方程②可結(jié)合因式分解中的基本方法分析即可得解; 對(duì)于方程③二次項(xiàng)系數(shù)為1可考慮配方法; 對(duì)于方程④利用公式法求解比較簡(jiǎn)便. 【解析】 解：方程①符合直接開(kāi)方法的形式，因此選擇開(kāi)平方法比較簡(jiǎn)便； 方程②等號(hào)左邊含有公因式x，則可利用因式分解法比較簡(jiǎn)便； 方程③等號(hào)左邊二次項(xiàng)系數(shù)為1，則可利用配方法比較簡(jiǎn)便； 方程④等號(hào)左邊展開(kāi)，移項(xiàng)，然后利用公式法求解比較簡(jiǎn)便. 故選D. 【點(diǎn)睛】 本題是解一元二次方程的題目，關(guān)鍵是知道如何合理的選擇解一元二次方程的方法. 6．某超市一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬(wàn)元，已知第一季度的總營(yíng)業(yè)額共1000萬(wàn)元，如果平均每月增長(zhǎng)率為x，則由題意列方程應(yīng)為（　?。?A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝1000 C．200+200×3x＝1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000 【答案】D 【分析】 根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題公式即可解決此題，二月為200（1+x），三月為200（1+x）2，三個(gè)月相加即得第一季度的營(yíng)業(yè)額. 【解析】 解：∵一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬(wàn)元，平均每月增長(zhǎng)率為x， ∴二月份的營(yíng)業(yè)額為200×（1+x）， ∴三月份的營(yíng)業(yè)額為200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2， ∴可列方程為200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000， 即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000． 故選D． 【點(diǎn)睛】 此題考察增長(zhǎng)率問(wèn)題類一元二次方程的應(yīng)用，注意：第一季度指一、二、三月的總和. 7．一元二次方程的兩個(gè)根為，則的值是（） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】 利用方程根的定義可求得，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解． 【解析】 為一元二次方程的根， ， ． 根據(jù)題意得，， ． 故選：D． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系以及求代數(shù)式的值，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵． 8．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同實(shí)根，則b的值是（）． A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有實(shí)數(shù)． 【答案】A 【分析】 根據(jù)方程解相同，得到常數(shù)項(xiàng)相等即可求出b的值． 【解析】 解：根據(jù)題意得：b2-16=-3b+12，即b2+3b-28=0， 分解因式得：（b-4）（b+7）=0， 解得：b=4或-7， 當(dāng)b=-7時(shí)，兩方程為x2+3x+33=0無(wú)解，舍去， 則b=4． 故選A． 【點(diǎn)睛】 此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值． 9．一個(gè)矩形內(nèi)放入兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm的小正方形紙片，按照?qǐng)D①放置，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為8cm2；按照?qǐng)D②放置，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為11cm2，若把兩張正方形紙片按圖③放置時(shí)，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為（） A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2 【答案】B 【分析】 設(shè)矩形的長(zhǎng)為x cm，寬為y cm，根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合按圖①②兩種放置時(shí)未覆蓋部分的面積，即可得出關(guān)于x、y的方程組，利用(②-①)÷3可得出x=y+1③，將③代入②中可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y(tǒng)值，進(jìn)而得出x的值，再利用矩形面積公式得出圖③擺放位置時(shí)未覆蓋的面積即可得出答案． 【解析】 解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm， 依題意，得：， （②-①）÷3，得：y-x+1=0， ∴x=y+1③． 將③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11， 整理，得：y2-2y-15=0， 解得：y1=5，y2=-3（舍去）， ∴x=6． ∴按圖③放置時(shí)，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為：（x-4）（y-3）+ （x-3）（y-4）=2×2+3×1=7． 故選：B． 【點(diǎn)睛】 本題考查了二元一次方程組及一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵． 10．已知為實(shí)數(shù)，且，則之間的大小關(guān)系是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先根據(jù)已知等式求出，再利用完全平方公式判斷出的符號(hào)，由此即可得出答案． 【解析】 ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故選：A． 【點(diǎn)睛】 本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵． 11．對(duì)于一元二次方程，下列說(shuō)法： ①若，則； ②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根； ③若是方程的一個(gè)根，則一定有成立； ④若是一元二次方程的根，則 其中正確的是（） A．只有①② B．只有①②④ C．只有①③④ D．只有①②③ 【答案】B 【分析】 根據(jù)一元二次方程根的判別式及根的定義逐個(gè)判斷排除． 【解析】 解：①若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0的解， 由一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系可知：△=b2-4a≥0，故①正確； ②方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根， ∴△=0-4ac＞0， ∴-4ac＞0 則方程ax2+bx+c=0的判別式△=b2-4a＞0， ∴方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根， 故②正確； ③∵c是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根， 則ac2+bc+c=0， ∴c（ac+b+1）=0， 若c=0，等式仍然成立， 但ac+b+1=0不一定成立， 故③不正確； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， 則由求根公式可得：x0=， ∴2ax0+b=±， ∴b2-4ac=（2ax0+b）2， 故④正確． 故正確的有①②④， 故選：B． 【點(diǎn)睛】 本題考查一元二次方程根的判斷，根據(jù)方程形式，判斷根的情況是求解本題的關(guān)鍵． 12．若，，，，為互不相等的正奇數(shù)，滿足 ，則的末位數(shù)字是（） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】 因?yàn)?，，，，為互不相等的正奇?shù)，所以，，，，為互不相等的非零偶數(shù)（有偶數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)），又因?yàn)?，所以這5個(gè)偶數(shù)只能是2，-2，4，6，-6（否則就會(huì)有相同的偶數(shù)），所以，，，，分別等于2007，2003，2001，1999，2011，所以的末位數(shù)字是1 【解析】 解：∵，，，，為互不相等的正奇數(shù) ∴，，，，為互不相等的偶數(shù)，且負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè) 而將分解為5個(gè)互不相等的偶數(shù)之積，只有唯一的形式： ∴，，，，分別等于2、、4、6、 ∴，，，，分別等于2007，2003，2001，1999，2011 又∵20072尾數(shù)是9，20032尾數(shù)是9，20012尾數(shù)是1，19992尾數(shù)是1，20112尾數(shù)是1 ∴的末位數(shù)字是1． 故選A． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了數(shù)字變化類的一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，能夠掌握七內(nèi)在規(guī)律并熟練求解是解題關(guān)鍵． 二、填空題 13．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判別式的值是______． 【答案】5 【解析】 解：x2﹣3x+1＝0 △==（-3）2-4×1×1=9-4=5． 故答案為5． 14．若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，則的值是__________． 【答案】2022 【分析】 根據(jù)一元二次方程解的意義可得a+b的值，然后代入所求的算式即可得到解答． 【解析】 解：由題意可得： a+b+1=0， ∴a+b=-1， ∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022， 故答案為2022． 【點(diǎn)睛】 本題考查代數(shù)式的求值，根據(jù)一元二次方程解的意義求得a+b的值是解題關(guān)鍵． 15．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_______________ ． 【答案】且 【分析】 根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后求寫出兩不等式的公共部分即可． 【解析】 ∵，，， 根據(jù)題意得且， 解得且． 故答案為：且． 【點(diǎn)睛】 本題考查了根的判別式：一元二次方程()的根與有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0的隱含條件． 16．方程的解為_(kāi)_______． 【答案】或 【分析】 首先把方程轉(zhuǎn)化為一般形式，再利用公式法求解． 【解析】 （x-1）（x+3）=12 x2+3x-x-3-12=0 x2+2x-15=0 x=, ∴x1=3，x2=-5 故答案是:3或-5． 【點(diǎn)睛】 考查了學(xué)生解一元二次方程的能力，解決本題的關(guān)鍵是正確理解運(yùn)用求根公式． 17．若三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和5，第三邊的長(zhǎng)是方程的根，則此三角形是______三角形. 【答案】直角 【分析】 利用因式分解法求出方程的解得到第三邊的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷三角形形狀． 【解析】 解：方程＝0， 分解因式得：（3x＋2）（x?4）＝0， 解得：x＝（舍去）或x＝4， ∴三角形三邊分別為3，4，5， ∵32+42=52， ∴此三角形是直角三角形， 故答案為直角. 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了解一元二次方程?因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵． 18．若一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人感染了流感．按照這樣的傳染速度，若2人患了流感，第一輪傳染后患流感的人數(shù)共有_____人． 【答案】22 【分析】 設(shè)每輪傳染中1人傳染給x人，則第一輪傳染后共（1+x）人患流感，第二輪傳染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，列出方程進(jìn)行計(jì)算即可. 【解析】 解：設(shè)每輪傳染中1人傳染給x人，則第一輪傳染后共（1+x）人患流感，第二輪傳染后共[1+x+x（x+1）]人患流感， 根據(jù)題意得：1+x+x（x+1）＝121， 解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去）， ∴2（1+x）＝22． 故答案為22． 【點(diǎn)睛】 考查一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題目，找出題目中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 19．當(dāng)x滿足時(shí)，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是__． 【答案】1 【分析】 先求出不等式組的解集，然后解一元二次方程，結(jié)合不等式的解集即可得到答案． 【解析】 解：解不等式組， 得：2＜x＜4， ∵x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝6， （x﹣1）2＝6， x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 而2＜x＜4， ∴x＝1． 故答案為：1． 【點(diǎn)睛】 本題考查了解一元二次方程，解不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題． 20．已知，則_________． 【答案】4 【分析】 利用完全平方公式將原等式左邊適當(dāng)變形，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b、c的值，代入計(jì)算即可． 【解析】 解：因?yàn)椋?所以， 即， 即，，， 所以， ∴． 【點(diǎn)睛】 本題考查完全平方公式，乘方的符號(hào)法則．能利用完全平方公式對(duì)等式適當(dāng)變形是解題關(guān)鍵． 21．已知為一元二次方程的一個(gè)根，且，為有理數(shù)，則______，______． 【答案】；； 【分析】 將因式分解求得，則可化簡(jiǎn)得，根據(jù)，為有理數(shù)，可得，也為有理數(shù)，故當(dāng)時(shí)候，只有，，據(jù)此求解即可． 【解析】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，為有理數(shù)， ∴，也為有理數(shù)， 故當(dāng)時(shí)候，只有，， ∴，， 故答案是：，； 【點(diǎn)睛】 本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的概念的理解，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 22．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另外一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于“倍根方程”的說(shuō)法，正確的有_____（填序號(hào)）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，則； ③若滿足，則關(guān)于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，則必有． 【答案】②③④ 【分析】 ①求出方程的根，再判斷是否為“倍根方程”； ②根據(jù)“倍根方程”和其中一個(gè)根，可求出另一個(gè)根，進(jìn)而得到m，n之間的關(guān)系； ③當(dāng)滿足時(shí)，有，求出兩個(gè)根，再根據(jù)代入可得兩個(gè)根之間的關(guān)系，講而判斷是否為“倍根方程”； ④用求根公式求出兩個(gè)根，當(dāng)或時(shí)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得出關(guān)系式，進(jìn)行判斷即可． 【解析】 ①解方程，得， ， 方程不是“倍根方程”．故①不正確； ②是“倍根方程”，且， 因此或． 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， ，故②正確； ③， ， ， ， 因此是“倍根方程”，故③正確； ④方程的根為， 若，則， 即， ， ， ， ， ， 若，則， ， ， ， ， ．故④正確， 故答案為：②③④． 【點(diǎn)睛】 本題考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 三、解答題 23．解方程： （1）． （2）． （3） （4） 【答案】（1）x1=5，x2=；（2）x1=，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=-1，x2=2 【分析】 （1）方程整理后，利用因式分解法可求出解； （2）方程整理后，求出b2-4ac的值，再代入公式求出解即可； （3）將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開(kāi)方即可得； （4）設(shè)，代入方程求出t值，再分別求解． 【解析】 解：（1）， 3（x-5）2=2（5-x）， 3（x-5）2-2（5-x）=0， 分解因式得：（x-5）[3（x-5）+2]=0， ∴x-5=0或3（x-5）+2=0， 解得：x1=5，x2=； （2）， 方程整理得：3x2+10x+5=0， ∵a=3，b=10，c=5，b2-4ac=100-60=40＞0， ∴x=， ∴x1=，x2=； （3）， ∴， 即， ∴， ∴x1=，x2=； （4）， 設(shè)， ∴， ∴， ∴， ∴t=2或t=-5， 當(dāng)t=2時(shí)，，即， ∴， 解得：x1=-1，x2=2； 當(dāng)t=-5時(shí)，， ∵， ∴方程無(wú)解， 綜上：x1=-1，x2=2． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查解一元二次方程的能力，根據(jù)不同的方程選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵 24．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一個(gè)根為﹣1，求a的值． 【答案】a＝0或a＝1 【分析】 將x＝﹣1代入原方程可求出a的值． 【解析】 解：將x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0， 整理得：a2﹣a＝0， 即：a（a﹣1）＝0 解得：a＝0或a＝1． 【點(diǎn)睛】 本題考查了一元二次方程的解，將x=-1代入原方程求出a值是解題的關(guān)鍵． 25．已知關(guān)于的一元二次方程． （）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根； （）記該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和若以，，為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，求的值． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或． 【分析】 （）先計(jì)算，再利用配方法證明是個(gè)非負(fù)數(shù)即可得到結(jié)論； （2）先解方程，求解方程的根為：再分類討論即可得到答案． 【解析】 （）證明： ， 無(wú)論取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根． （）解：， ． ，． 以，，為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形， ． 當(dāng)為斜邊時(shí)，則，解得． 當(dāng)為斜邊時(shí)，則，解得． 綜上所述，的值為或． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是一元二次方程的根的判別式，一元二次方程的解法，勾股定理的應(yīng)用，掌握利用根的判別式解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵． 26．已知關(guān)于x的一元二次方程． （1）求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為，，若，求方程的兩個(gè)根． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6或0 【分析】 （1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式△＞0來(lái)證明即可； （2）解方程即可得到結(jié)論． 【解析】 解：（1）∵△=（4m）2-4×1×（4m2-9）=16m2-16m2+36=36＞0， ∴已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）∵x=2m±3， ∵x1=3?x2， ∴x1+x2=6， ∵x1+x2=4m， ∴4m=6， ∴m=， ∴x=2×±3， ∴x1=6，x2=0． 【點(diǎn)睛】 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b2-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 27．如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12米的住房墻，另外三邊用25米長(zhǎng)的建筑材料圍成的，為了方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一扇1米寬的門．當(dāng)所圍矩形與墻垂直的一邊長(zhǎng)為多少時(shí)，豬舍面積為80平方米？ 【答案】當(dāng)所圍矩形與墻垂直的一邊長(zhǎng)為8米時(shí)，豬舍面積為80平方米． 【分析】 設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為xm可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為（25-2x+1）m．根據(jù)矩形的面積公式建立方程求出其解就可以了． 【解析】 解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為xm可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為(25-2x+1)m，由題意得 x(25-2x+1)=80， 化簡(jiǎn)，得x2-13x+40=0， 解得：x1=5，x2=8， 當(dāng)x=5時(shí)，26-2x=16＞12（舍去），當(dāng)x=8時(shí)，26-2x=10＜12， 答：當(dāng)所圍矩形與墻垂直的一邊長(zhǎng)為8米時(shí)，豬舍面積為80平方米． 【點(diǎn)睛】 本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，矩形的面積公式的運(yùn)用及一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)尋找題目的等量關(guān)系是關(guān)鍵． 28．受今年疫情的影響，原材料價(jià)格上漲，為提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某公司決定對(duì)近期研發(fā)出的一種新型電子產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：這種電子產(chǎn)品銷售單價(jià)定為60元時(shí)，每天可售出100個(gè)；若銷售單價(jià)每提高10元，每天就少售出20個(gè)．已知每個(gè)電子產(chǎn)品的固定成本為50元． （1）若銷售單價(jià)提高20元，則平均每天可售出多少個(gè)？ （2）既要考慮公司的利潤(rùn)，保證公司每天可獲利1600元，又要讓利于消費(fèi)者，這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為多少元合適？ 【答案】（1）平均每天可售出60個(gè)；（2）這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為70元合適． 【分析】 （1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行列式求解； （2）設(shè)這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為x元，由題意易得，然后進(jìn)行求解即可． 【解析】 解：（1）由題意得： （個(gè)）； 答：平均每天可售出60個(gè)． （2）設(shè)這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為x元，由題意得： ， 解得：， ∵要讓利于消費(fèi)者， ∴； 答：這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為70元合適． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 29．?dāng)?shù)學(xué)課上,老師展示了這樣一段內(nèi)容． 問(wèn)題求式子的最小值． 解:原式: ∵, ∴, 即原式的最小值是2． 小麗和小明想,二次多項(xiàng)式都能用類似的方法求出最值（最小值或最大值）嗎？ （1）小麗寫出了一些二次三項(xiàng)式: ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥． 經(jīng)探索可知,有最值的是__________（只填序號(hào)）,任選其中一個(gè)求出其最值; （2）小明寫出了如下 3 個(gè)二次多項(xiàng)式: ①; ②; ③． 請(qǐng)選擇其中一個(gè),探索它是否有最值,并說(shuō)明理由． 說(shuō)明:①②③的滿分分值分別為 3 分?4 分?5 分;若選多個(gè)作答,則以較低分計(jì)分． 【答案】（1）①②③⑥;（2）①無(wú)最值,見(jiàn)解析;②最小值為1,見(jiàn)解析;③最小值為,見(jiàn)解析 【分析】 （1）可以選擇①,運(yùn)用上面類似的方法——配方法,可得到: ,再根據(jù)平方具有非負(fù)性可得到最小值,其它的也用類似的方法解答即可; （2）①進(jìn)行探究,配方后得到,無(wú)法確定最值,②進(jìn)行研究,配方后得到即可,③進(jìn)行研究,配方后得到即可,選擇一個(gè)作答即可． 【解析】 （1）①②③⑥ ①最小值為0 ② , ∵ , ∴,即原式最小值5; ③ , ∵ ,∴ , ∴,即原式有最大值為4; ④,無(wú)法確定最值; ⑤,無(wú)法確定最值; ⑥ , ∵ ,∴, ∴,即原式有最大值為; （2）①無(wú)最值 ② ∵, ∴, 即原式有最小值為1 ③ , ∵,,, ∴, 即原式有最小值為． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了類比的方法,解題的關(guān)鍵是需要學(xué)生認(rèn)真審題,總結(jié)出配方的方法,然后再用類比的方法進(jìn)行解答即可． 30．如圖1，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，將點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位得到點(diǎn)． （1）求的周長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）如圖2，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）若點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1）△OAB的周長(zhǎng)，（，）；（2）（，）；（3）點(diǎn)（，），或（，），或（，），或（，） 【分析】 （1）先求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，可求得△OAB的周長(zhǎng)，再聯(lián)立方程組求得點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)平移規(guī)律可求得點(diǎn)D坐標(biāo)； （2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接交軸于點(diǎn)，連接，此時(shí)最小，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，令x=0，可求得點(diǎn)P坐標(biāo)； （3）設(shè)點(diǎn)Q（x，0），分OD=OQ、OD=DQ、OQ=DQ三種情況分別求解即可． 【解析】 解：（1）在中， 當(dāng)x=0時(shí)，y=4，當(dāng)y=0時(shí)，由得：x=8， ∴A（8，0）、B（0，4）． ∴，． ∴． ∴△OAB的周長(zhǎng)． 聯(lián)立與，解得：． ∴點(diǎn)（2，3）． 由題意得：點(diǎn)（3，﹣3）； （2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則． 連接交軸于點(diǎn)． 連接，此時(shí)最小． 設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)（2，3），代入得： ．解得：，． ∴直線的解析式為． 當(dāng)時(shí)，． ∴點(diǎn)（0，）， 即當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）； （3）設(shè)點(diǎn)Q（x，0）， ∵D（3，﹣3），O（0，0）， ∴OD2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18， OQ2=（x﹣0）2+（0﹣0）2=x2， DQ2=（x﹣3）2+（0+3）2=x2﹣6x+18， 當(dāng)為等腰三角形時(shí)，可分三種情況： 當(dāng)OD=OQ時(shí)，由18=x2得：x=±， ∴（，0），或（，0）， 當(dāng)OD=DQ時(shí)，由18= x2﹣6x+18得： x=6或x=0（與O重合，舍去），∴（6，0）， 當(dāng)OQ=DQ時(shí)，由x2=x2﹣6x+18得：x=3， ∴（3，0）， 綜上，為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，0），或（，0），或（3，0），或（6，0）． 【點(diǎn)睛】 本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)變換、兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式、解一元二次方程等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是讀懂題意，尋找相關(guān)知識(shí)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想進(jìn)行推理、探究和計(jì)算． 31．閱讀理解: 材料1:對(duì)于一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式（）,除了可以利用配方法求該多項(xiàng)式的取值范圍外,還可以用其他的方法:比如先令（）,然后移項(xiàng)可得:,再利用一元二次方程根的判別式來(lái)確定y的取值范圍,請(qǐng)仔細(xì)閱讀下面的例子:例:求的取值范圍: 解:令 , , 即; 材料2:在學(xué)習(xí)完一元二次方程的解法后,愛(ài)思考的小明同學(xué)又想到類比一元二次方程的解法來(lái)解決一元二次不等式的解集問(wèn)題,他的具體做法如下: 若關(guān)于x的一元二次方程（）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?（）, 則關(guān)于x的一元二次不等式（）的解集為:或, 則關(guān)于x的一元二次不等式（）的解集為:; 請(qǐng)根據(jù)上述材料,解答下列問(wèn)題: （1）若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式（a為常數(shù)）的最小值為-6,則_____. （2）求出代數(shù)式的取值范圍． 類比應(yīng)用: （3）猜想:若中,,斜邊（a為常數(shù),）,則_____時(shí),最大,請(qǐng)證明你的猜想． 【答案】（1）或；（2）或；（3）當(dāng)時(shí),最大． 【分析】 （1）根據(jù)材料1:設(shè),化為關(guān)于x的一元二次方程用根的判別式，得出y的取值范圍,在列出關(guān)于a的方程解出即可； （2）設(shè)，化為，再用，然后根據(jù)材料2結(jié)論，即可求出； （3）設(shè)，，根據(jù)一元二次方程,利用根的判別式解答問(wèn)題即可． 【解析】 解:（1）設(shè)， ∴， ∴,即， 根據(jù)題意可知, ∴，解得:或； （2）設(shè)，可化為， 即， ∴ ,即， 令,解得 ,， ∴或； （3）猜想:當(dāng)時(shí),最大． 理由:設(shè)，，則， 在中,斜邊（a為常數(shù),）， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，即， ∵，，∴， 當(dāng)時(shí),有， ∴， 即當(dāng)時(shí),最大． 【點(diǎn)睛】 本題考查了一元二次方程的根的判別式?根與系數(shù)的關(guān)系及解不等式,讀懂閱讀材料中的方法并明確一元二次方程的根的情況與判別式的關(guān)系,運(yùn)用類比的思想是解題的關(guān)鍵．

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