1. 下列關(guān)于矩形的判定正確的是（　B?。?br/>2. 如圖，下列四個(gè)條件：① AB ＝ BC ；②∠ ABC ＝90°；③ AC ＝ BD ；④∠ ADC ＝∠ BAD . 從中選取一個(gè)作為補(bǔ)充條件，則不 能使? ABCD 為矩形的是（　A?。?br/>3. （2022·襄陽(yáng)）如圖，? ABCD 的對(duì)角線 AC 和 BD 相交于點(diǎn) O ，下列說(shuō)法正確的是（　B?。?br/>4. 如圖，有一個(gè)平行四邊形的活動(dòng)框架，對(duì)角線是兩根橡皮筋. 若改變框架的形狀，則∠α也隨之變化，兩條對(duì)角線長(zhǎng)度也在發(fā) 生改變.當(dāng)∠α的度數(shù)為 時(shí)，則兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等.
5. 如圖，? ABCD 的對(duì)角線 AC ， BD 相交于點(diǎn) O ，△ AOD 是等 邊三角形， AD ＝4，則? ABCD 的面積為 ?.
6. 如圖，已知點(diǎn) E ， F ， G ， H 分別是四邊形 ABCD 的四條邊的 中點(diǎn).要使四邊形 EFGH 為矩形，則四邊形 ABCD 應(yīng)具備的條件 是 ?.
對(duì)角線互相垂直（或 AC ⊥ BD ）　
7. （2023·內(nèi)江）如圖，在△ ABC 中，已知點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)， 點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 作 AF ∥ BC 交 CE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F . （1）求證： AF ＝ BD ；
（2）連接 BF ，若 AB ＝ AC ，求證：四邊形 AFBD 是矩形.
證明：（2）∵ AF ∥ BD ， AF ＝ BD ，∴四邊形 AFBD 是平行四邊形.∵ AB ＝ AC ， BD ＝ CD ，∴∠ ADB ＝90°.∴? AFBD 是矩形.
8. 如圖，已知菱形 ABCD 的對(duì)角線 AC ， BD 相交于點(diǎn) O ，點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn)，點(diǎn) F ， G 在 AB 上，連接 EF ， OE ， OG ， EF ⊥ AB ， OG ∥ EF . （1）求證：四邊形 OEFG 是矩形；
∵ EF ⊥ AB ，∴∠ EFG ＝90°.∴? OEFG 是矩形.
（2）若 AD ＝10， EF ＝4，求 OE 和 BG 的長(zhǎng).
9. 如圖，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B ＝90°， AD ＝24 cm， BC ＝26 cm.動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿 AD 方向向點(diǎn) D 以1 cm/s 的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，沿著 CB 方向向點(diǎn) B 以3 cm/s 的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn) P ， Q 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一 點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).經(jīng)過(guò) s，四邊形 ABQP 是矩形.
10. 如圖，在△ ABC 中， AC 的垂直平分線分別交 AC ， AB 于點(diǎn) D ， F ，過(guò)點(diǎn) B 作 BE ⊥ DF ，交 DF 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E . 若∠ A ＝ 30°， DF ＝1， AF ＝ BF ，則四邊形 BCDE 的面積為 ?.
11. （2023·青島）如圖，在? ABCD 中，已知∠ BAD 的平分線 交 BC 于點(diǎn) E ，∠ DCB 的平分線交 AD 于點(diǎn) F ，點(diǎn) G ， H 分別是 AE 和 CF 的中點(diǎn)，連接 GF ， EH . （1）求證：△ ABE ≌△ CDF ；
（2）連接 EF ，若 EF ＝ AF ，請(qǐng)判斷四邊形 GEHF 的形狀，并 證明你的結(jié)論.
（2）解：四邊形 GEHF 是矩形，證明 如下：∵△ EAB ≌△ FCD ，∴ AE ＝ CF ，∠ AEB ＝∠ CFD . ∵ AD ∥ BC ，∴∠ DFC ＝∠ BCF . ∴∠ AEB ＝∠ BCF . ∴ AE ∥ CF ，即 GE ∥ FH .
12. 如圖，已知? ABCD 的對(duì)角線 AC ， BD 相交于點(diǎn) O ，點(diǎn) E 為 OC 的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn) C 作 CF ∥ BD ，交 BE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ，連接 DF . （1）求證：△ FCE ≌△ BOE .
（2）當(dāng)△ ADC 滿足什么條件時(shí)，四邊形 OCFD 為矩形？并說(shuō)明 理由.
（2）解：當(dāng)△ ADC 滿足 AD ＝ CD 時(shí)，四邊形 OCFD 為矩形.理由如下：∵△ FCE ≌△ BOE ，∴ CF ＝ OB . ∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD . ∴ CF ＝ OD . 又∵ CF ∥ BD ，∴四邊形 OCFD 為平行四邊形.∵ AD ＝ CD ， OA ＝ OC ，∴ OD ⊥ AC . ∴∠ COD ＝90°.∴? OCFD 為矩形.
13. （選做）如圖，在? ABCD 中， AC ＝8 cm， BD ＝12 cm， 點(diǎn) E ， F 在對(duì)角線 BD 上.點(diǎn) E 從點(diǎn) B 出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn) F 從點(diǎn) D 出發(fā)，以相同速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，到端點(diǎn)時(shí) 運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t s .（1）求證：四邊形 AECF 為平行四邊形.
（2）點(diǎn) E ， F 在 BD 上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以點(diǎn) A ， E ， C ， F 為頂 點(diǎn)的四邊形能否為矩形？如果能，請(qǐng)求出此時(shí) t 的值；如果不 能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)電子課本

2 矩形的性質(zhì)與判定

版本： 北師大版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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