專題2.1 平方根【十大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc22153" 【題型1 平方根概念理解】  PAGEREF _Toc22153 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc12935" 【題型2 求一個數(shù)的（算術(shù)）平方根】  PAGEREF _Toc12935 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc25792" 【題型3 求代數(shù)式的（算術(shù)）平方根】  PAGEREF _Toc25792 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc9961" 【題型4 由（算術(shù)）平方根求式子的值】  PAGEREF _Toc9961 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc5027" 【題型5 由平方根的概念解方程】  PAGEREF _Toc5027 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc15046" 【題型6 由算術(shù)平方根的非負性求值】  PAGEREF _Toc15046 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc10395" 【題型7 估算算術(shù)平方根的取值范圍】  PAGEREF _Toc10395 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc29653" 【題型8 求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分】  PAGEREF _Toc29653 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc22699" 【題型9 平方根與數(shù)軸的綜合】  PAGEREF _Toc22699 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc2190" 【題型10 算術(shù)平方根的規(guī)律探究】  PAGEREF _Toc2190 \h 5  知識點：平方根 平方根： ①定義：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也稱為二次方根. ②表示方法：正數(shù)a的正的平方根記作a，負的平方根記作?a，正數(shù)a的兩個平方根記作±a，讀作正、 負根號a，其中a叫做被開方數(shù). ③性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根． 算術(shù)平方根： (1)定義：正數(shù)a有兩個平方根±a，我們把正數(shù)a的正的平方根a，叫做a的算術(shù)平方根． (2)性質(zhì)：①正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0； ②負數(shù)沒有算術(shù)平方根.當a≥0時，a2=a； ③算術(shù)平方根具有雙重非負性：a≥0；a≥0. 【題型1 平方根概念理解】 【例1】（23-24八年級·四川瀘州·期末）若實數(shù)3m?6有平方根，則m的取值范圍是（?????） A．m≤2 B．m2 D．m≥2 【變式1-1】（23-24八年級·河南信陽·期末）若a2=6，則下列說法正確的是（???） A．a(chǎn)是6的算術(shù)平方根 B．a(chǎn)是6的平方根 C．6是a的平方根 D．a(chǎn)=6 【變式1-2】（23-24八年級·湖北武漢·期中）寫一個平方根是它本身的數(shù) ． 【變式1-3】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）下列各數(shù)中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C．a(chǎn)+1 D．|a|－1 【題型2 求一個數(shù)的（算術(shù)）平方根】 【例2】（23-24八年級·上海楊浦·期末）下列計算正確的是（????） A．?(?6)2=?6 B．(?6)2=36 C．16=±4 D．414=212 【變式2-1】（23-24八年級·上海嘉定·期末）36?5的平方根是 ． 【變式2-2】（23-24八年級·全國·假期作業(yè)）按照如圖所示的操作步驟，若輸入x的值為3，則輸出的值為 ． 輸入→減去5→平方→加上3→開平方→輸出 【變式2-3】（23-24八年級·山東菏澤·期中）一個數(shù)的算術(shù)平方根是4，則比這個數(shù)多9的數(shù)的平方根是 ． 【題型3 求代數(shù)式的（算術(shù)）平方根】 【例3】（23-24八年級·河南洛陽·階段練習(xí)）已知2a?1的平方根是±3，3a+b?1的算術(shù)平方根是4，則a+2b= . 【變式3-1】（23-24春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）關(guān)于x的多項式7x3?11mx2?15x+9與多項式22x2?5nx?7相加后不含x的二次和一次項，則?(mn+n)平方根為（????） A．3 B．?3 C．±3 D．±3 【變式3-2】（23-24八年級·湖北荊門·期中）如果自然數(shù)a的平方根是±m(xù)，那么a+1的平方根用m表示為（　?。?A．±（m+1） B．（m2+1） C．±m(xù)+1 D．±m(xù)2+1 【變式3-3】（23-24八年級·山東德州·階段練習(xí)）已知正數(shù)a的兩個不同的平方根分別是3x?2和5x+10, a+b?4的算術(shù)平方根是3. (1)求a、b的值； (2)求a?2b的平方根． 【題型4 由（算術(shù)）平方根求式子的值】 【例4】（23-24八年級·全國·專題練習(xí)）已知一個數(shù)的算術(shù)平方根為3m?4，它的平方根為±(m?1)，則這個數(shù)是 ． 【變式4-1】（23-24八年級·云南保山·期中）已知x=25，y是4的算術(shù)平方根，則3x?2y的值為 ． 【變式4-2】（23-24八年級·河南新鄉(xiāng)·期中）已知1?3b與 2a+1互為相反數(shù)，求?3b+2a+6的平方根． 【變式4-3】（23-24八年級·湖南永州·期末）若xm=y，則記x,y=m，例如32=9，于是3,9=2．若?2,a=2，b,8=3，c,a=b，則c的值為（????） A．16 B．?2 C．2或?2 D．16或?16 【題型5 由平方根的概念解方程】 【例5】（23-24八年級·上海徐匯·期中）解方程：12x=?x2?36． 【變式5-1】（23-24八年級·廣西欽州·階段練習(xí)）解方程： (1)4x2=16； (2)9x2?121=0． 【變式5-2】（23-24八年級·貴州黔南·期中）【變式1】 解方程： (1)25x2?49=0； (2)2x+12?49=1． 【變式5-3】（23-24八年級·上海徐匯·期中）解方程：92x+12?16x?22=0． 【題型6 由算術(shù)平方根的非負性求值】 【例6】（23-24八年級·江西南昌·階段練習(xí)）已知y=x?3+3?x+1，則x+y的平方根是 ． 【變式6-1】（23-24八年級·湖南長沙·期中）若x,y為實數(shù)，且x?3+y+4=0，則x+y2024的值為（????） A．1 B．2024 C．?1 D．?2024 【變式6-2】（23-24八年級·江西新余·期中）（1）已知2x?4y?5+2x?3=0，求x+y的平方根． （2）已知a、b滿足2a+8+b?3=0，解關(guān)于x的方程a+2x2?b2=a?1． 【變式6-3】（23-24八年級·浙江杭州·期中）若a?2023+b+2023?1=0，其中a，b均為整數(shù)，則a+b= ． 【題型7 估算算術(shù)平方根的取值范圍】 【例7】（23-24八年級·新疆和田·期中）已知a， b為兩個連續(xù)的整數(shù)，且12的負平方根介于a，b之間，則a+b= 【變式9-2】（23-24八年級·北京·期中）圖，面積為7的正方形ABCD的頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點E在數(shù)軸上（點E在點A的右側(cè)），且AB＝AE，則點E所表示的數(shù)為（　?。? A．7 B．2+72 C．1+7 D．7+2 【變式9-3】（23-24八年級·江西南昌·期中）圖1是由16個邊長均為1的小正方形組成的圖形，我們沿圖的虛線AB，BC，CD，DA裁剪，剪成一個小正方形ABCD． (1)在圖1中，剪成的小正方形ABCD的面積為________，邊AB的長為________； (2)現(xiàn)將圖1水平放置在如圖2所示的數(shù)軸上，使得小正方形的頂點D與數(shù)軸上表示1的點重合，若以點D為圓心，DA邊的長為半徑畫圓，與數(shù)軸交于點E，求點E表示的數(shù)． 【題型10 算術(shù)平方根的規(guī)律探究】 【例10】（23-24八年級·四川德陽·階段練習(xí)）利用計算器計算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下： 根據(jù)以上規(guī)律，若14.4≈3.79,1.44=1.2，則1440=（????） A．37.9 B．379 C．12 D．120 【變式10-1】（23-24八年級·安徽蚌埠·階段練習(xí)）有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：?22，34，?14，516，?632，764，…則第10個數(shù)是 ，第n個數(shù)是 ． 【變式10-2】（23-24八年級·廣東惠州·階段練習(xí)）觀察下列各式：①2+23=223，②3+38=338，③4+415=4415，……，根據(jù)以上規(guī)律，寫出第10個等式： ． 【變式10-3】（23-24八年級·安徽安慶·期末）觀察下列各式： 1+112+122=1+11×2…① 1+122+132=1+12×3…② 1+132+142=1+13×4…③ 請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題： (1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律1+142+152= ； (2)計算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120232+120242． ???0.06250.6256.2562.5625625062500??????0.250.79062.57.9062579.06250 ??? 專題2.1 平方根【十大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc22153" 【題型1 平方根概念理解】  PAGEREF _Toc22153 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc12935" 【題型2 求一個數(shù)的（算術(shù)）平方根】  PAGEREF _Toc12935 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc25792" 【題型3 求代數(shù)式的（算術(shù)）平方根】  PAGEREF _Toc25792 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc9961" 【題型4 由（算術(shù)）平方根求式子的值】  PAGEREF _Toc9961 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc5027" 【題型5 由平方根的概念解方程】  PAGEREF _Toc5027 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc15046" 【題型6 由算術(shù)平方根的非負性求值】  PAGEREF _Toc15046 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc10395" 【題型7 估算算術(shù)平方根的取值范圍】  PAGEREF _Toc10395 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc29653" 【題型8 求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分】  PAGEREF _Toc29653 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc22699" 【題型9 平方根與數(shù)軸的綜合】  PAGEREF _Toc22699 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc2190" 【題型10 算術(shù)平方根的規(guī)律探究】  PAGEREF _Toc2190 \h 18  知識點：平方根 平方根： ①定義：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也稱為二次方根. ②表示方法：正數(shù)a的正的平方根記作a，負的平方根記作?a，正數(shù)a的兩個平方根記作±a，讀作正、 負根號a，其中a叫做被開方數(shù). ③性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根． 算術(shù)平方根： (1)定義：正數(shù)a有兩個平方根±a，我們把正數(shù)a的正的平方根a，叫做a的算術(shù)平方根． (2)性質(zhì)：①正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0； ②負數(shù)沒有算術(shù)平方根.當a≥0時，a2=a； ③算術(shù)平方根具有雙重非負性：a≥0；a≥0. 【題型1 平方根概念理解】 【例1】（23-24八年級·四川瀘州·期末）若實數(shù)3m?6有平方根，則m的取值范圍是（?????） A．m≤2 B．m2 D．m≥2 【答案】D 【分析】此題考查了平方根的性質(zhì)，根據(jù)平方根的性質(zhì)求解即可． 【詳解】∵實數(shù)3m?6有平方根， ∴3m?6≥0 ∴m≥2． 故選：D． 【變式1-1】（23-24八年級·河南信陽·期末）若a2=6，則下列說法正確的是（???） A．a(chǎn)是6的算術(shù)平方根 B．a(chǎn)是6的平方根 C．6是a的平方根 D．a(chǎn)=6 【答案】B 【分析】本題考查了平方根定義，根據(jù)平方根定義判斷即可，解題的關(guān)鍵是正確理解平方根的定義． 【詳解】解：∵a2=6， ∴a是6的平方根， 故選：A． 【變式1-2】（23-24八年級·湖北武漢·期中）寫一個平方根是它本身的數(shù) ． 【答案】0 【分析】本題考查平方根，掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 根據(jù)平方根的性質(zhì)進行解題即可． 【詳解】解：平方根是它本身的數(shù)是：0． 故答案為：0． 【變式1-3】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）下列各數(shù)中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C．a(chǎn)+1 D．|a|－1 【答案】D 【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)解答即可. 【詳解】A、∵x2＋1>0，∴該數(shù)有平方根； B、∵|x|＋2>0，∴該數(shù)有平方根； C、a+1>0，∴該數(shù)有平方根； D、∵a≥0，∴|a|－1不一定大于0，故該數(shù)不一定有平方根； 故選：D. 【點睛】此題考查了平方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，0有一個平方根是0，負數(shù)沒有平方根，正確掌握實數(shù)的大小估算確定其為正數(shù)、負數(shù)或是0是解題的關(guān)鍵. 【題型2 求一個數(shù)的（算術(shù)）平方根】 【例2】（23-24八年級·上海楊浦·期末）下列計算正確的是（????） A．?(?6)2=?6 B．(?6)2=36 C．16=±4 D．414=212 【答案】A 【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，平方根的意義解答即可． 本題考查了算術(shù)平方根，平方根，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵． 【詳解】A. ??62=?6，正確，符合題意；???? B. ?62=6，錯誤，不符合題意；???? C. 16=4，錯誤，不符合題意；???? D. 414=172，錯誤，不符合題意； 故選A． 【變式2-1】（23-24八年級·上海嘉定·期末）36?5的平方根是 ． 【答案】±1 【分析】本題考查了算術(shù)平方根和平方根的意義，先根據(jù)算術(shù)平方根的意義化簡，再根據(jù)平方根的意義求解即可． 【詳解】解：∵36?5=6?5=1 ∴36?5的平方根是±1=±1 故答案為：±1． 【變式2-2】（23-24八年級·全國·假期作業(yè)）按照如圖所示的操作步驟，若輸入x的值為3，則輸出的值為 ． 輸入→減去5→平方→加上3→開平方→輸出 【答案】±7 【分析】根據(jù)題意，得±x?52+3，當x=3時，代入計算即可． 本題考查了程序式代數(shù)式的計算，平方根的計算，熟練掌握平方根的計算是解題的關(guān)鍵． 【詳解】根據(jù)題意，得±x?52+3， 當x=3時，±7． 故答案為：±7． 【變式2-3】（23-24八年級·山東菏澤·期中）一個數(shù)的算術(shù)平方根是4，則比這個數(shù)多9的數(shù)的平方根是 ． 【答案】±5 【分析】本題主要考查了已知一個數(shù)的算術(shù)平方根求這個數(shù)，以及求一個數(shù)的平方根，根據(jù)題意可知這個數(shù)是42=16，比這個數(shù)多9的數(shù)是25，求25的平方根即可． 【詳解】解：一個數(shù)的算術(shù)平方根是4，這個數(shù)是42=16． 比這個數(shù)多9的數(shù)是：16+9=25， ∴25的平方根為：±5， 故答案為：±5． 【題型3 求代數(shù)式的（算術(shù)）平方根】 【例3】（23-24八年級·河南洛陽·階段練習(xí)）已知2a?1的平方根是±3，3a+b?1的算術(shù)平方根是4，則a+2b= . 【答案】3 【分析】根據(jù)平方根與算術(shù)平方根的定義即可求出答案． 【詳解】由題意可知：2a-1=9，3a+b-1=16， 解得：a=5，b=2， ∴a+2b=9=3 【點睛】本題考查算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是正確理解算術(shù)平方根，本題屬于基礎(chǔ)題型． 【變式3-1】（23-24春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）關(guān)于x的多項式7x3?11mx2?15x+9與多項式22x2?5nx?7相加后不含x的二次和一次項，則?(mn+n)平方根為（????） A．3 B．?3 C．±3 D．±3 【答案】C 【分析】將兩個多項式相加，根據(jù)相加后不含x的二次和一次項，求得m、n的值，再進行計算． 【詳解】7x3?11mx2?15x+9＋22x2?5nx?7 ＝7x3+22?11mx2?15+5nx+2 由題意知，22?11m=0， 15+5n=0， ∴m=2，n=?3， ∴?(mn+n)=??3×2?3=9， 9的平方根是±3， ∴?(mn+n)平方根為±3， 故選：D． 【點睛】此題考查了整式的加減?化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵，同時考查了平方根的定義，熟練掌握正數(shù)有兩個平方根，0的平方根是0，負數(shù)沒有平方根． 【變式3-2】（23-24八年級·湖北荊門·期中）如果自然數(shù)a的平方根是±m(xù)，那么a+1的平方根用m表示為（　?。?A．±（m+1） B．（m2+1） C．±m(xù)+1 D．±m(xù)2+1 【答案】D 【分析】首先根據(jù)平方根性質(zhì)用m表示出該自然數(shù)a，由此進一步表示出a+1，從而進一步即可得出答案． 【詳解】由題意得：這個自然數(shù)a為：m2， ∴a+1=m2+1, 故a+1的平方根用m表示為：±m(xù)2+1， 故選：D． 【點睛】本題主要考查了平方根的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵. 【變式3-3】（23-24八年級·山東德州·階段練習(xí)）已知正數(shù)a的兩個不同的平方根分別是3x?2和5x+10, a+b?4的算術(shù)平方根是3. (1)求a、b的值； (2)求a?2b的平方根． 【答案】(1)a=25；b=?12 (2)±7 【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的意義，平方根的意義，計算即可． （2）根據(jù)平方根的意義，計算即可． 本題考查了平方根，算術(shù)平方根的計算與應(yīng)用，正確理解正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】（1）解：由題意得：3x?2+5x+10=0， 解得x=?1，?? 3x?2=?5， ?52=25， ∴a=25； ∴a+b?4=32=9， ∴25+b?4=9， ∴b=?12. （2）±a?2b=±49=±7． 【題型4 由（算術(shù)）平方根求式子的值】 【例4】（23-24八年級·全國·專題練習(xí)）已知一個數(shù)的算術(shù)平方根為3m?4，它的平方根為±(m?1)，則這個數(shù)是 ． 【答案】14/0.25 【分析】本題考查了算術(shù)平方根和平方根．解題的關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根和平方根的定義．根據(jù)算術(shù)平方根與平方根中的正平方根相等，可得方程，根據(jù)解方程，可得m的值，根據(jù)平方運算，可得答案． 【詳解】解：一個數(shù)的算術(shù)平方根是3m?4，平方根是±(m?1)， 3m?4=m?1，或3m?4=1?m， 解得m=32，或m=54， 當m=54時，3m?4

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