第2章 一元二次方程全章復習攻略與檢測卷 【目錄】 倍速學習五種方法 【1個概念】 一元二次方程定義 【1個解法】 一元二次方程的解法 【2個關系】 1.一元二次方程的根的判別式 2.一元二次方程的根與系數(shù)的關系 【1個應用】 一元二次方程應用 【3種思想】 1.整理思想 2.轉化思想 3.分類討論思想 【檢測卷】 【倍速學習五種方法】 【1個概念】 一元二次方程定義 【例1】下列選項中，是關于x的一元二次方程的是(　　) A．x2＋eq \f(1,x2)＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0 C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0 【例2】關于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，則k的值為________． 【例3】將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項． (1)3x2－2＝5x； (2)9x2＝16； (3)2x(3x＋1)＝17； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2. 【1個解法】 一元二次方程的解法 【例4】運用開平方法解下列方程： (1)4x2＝9； (2)(x＋3)2－2＝0. 【例5】用配方法解方程：x2－4x＋1＝0. 【例6】用公式法解下列方程： (1)2x2＋x－6＝0； (2)x2＋4x＝2； (3)5x2－4x＋12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x. 【例7】用因式分解法解下列方程： (1)x2＋5x＝0； (2)(x－5)(x－6)＝x－5. 【例8】用因式分解法解下列方程： (1)x2－6x＝－9； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. 解：(1)原方程可變形為：x2－6x＋9＝0，則(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解為：x1＝x2＝3. (2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解為x1＝eq \f(16,7)，x2＝eq \f(4,3). 【2個關系】 1.一元二次方程的根的判別式 【例9】不解方程，判斷下列方程的根的情況． (1)2x2＋3x－4＝0； (2)x2－x＋eq \f(1,4)＝0； (3)x2－x＋1＝0. 【例10】已知：關于x的方程2x2＋kx－1＝0，求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根． 2.一元二次方程的根與系數(shù)的關系 【例11】已知m、n是方程2x2－x－2＝0的兩實數(shù)根，則eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的值為(　　) A．－1 B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．1 【例12】已知一元二次方程的兩根分別是4和－5，則這個一元二次方程是(　　) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0 【例13】已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一個根，則另一個根為________． 【例14】關于x的方程x2－ax＋2a＝0的兩根的平方和是5，則a的值是(　　) A．－1或5 B．1 C．5 D．－1 【例15】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的兩個實數(shù)根． (1)是否存在實數(shù)a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)為負整數(shù)的實數(shù)a的整數(shù)值． 【1個應用】 一元二次方程應用 【例16】有一個邊長為11cm的正方形和一個長為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形，邊長應為多少厘米？ 【例17】若a、b、c為△ABC的三邊，且a、b、c滿足a2－ac－ab＋bc＝0，試判斷△ABC的形狀． 【例18】有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有64人患了流感． (1)求每輪傳染中平均一個人傳染了多少個人？ (2)如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？ 【例19】月季生長速度很快，開花鮮艷誘人，且枝繁葉茂．現(xiàn)有一棵月季，它的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干、小分支的總數(shù)是73.求每個支干長出多少小分支？ 【例20】某工廠一種產品2013年的產量是100萬件，計劃2015年產量達到121萬件．假設2013年到2015年這種產品產量的年增長率相同． (1)求2013年到2015年這種產品產量的年增長率； (2)2014年這種產品的產量應達到多少萬件？ 【例21】某工廠使用舊設備生產，每月生產收入是90萬元，每月另需支付設備維護費5萬元；從今年1月份起使用新設備，生產收入提高且無設備維護費，使用當月生產收入達100萬元，1至3月份生產收入以相同的百分率逐月增長，累計達364萬元，3月份后，每月生產收入穩(wěn)定在3月份的水平． (1)求使用新設備后，2月、3月生產收入的月增長率； (2)購進新設備需一次性支付640萬元，使用新設備幾個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤？(累計利潤是指累計生產收入減去舊設備維護費或新設備購進費) 【例22】一學校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：如果購買樹苗不超過60棵，每棵售價為120元；如果購買樹苗超過60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價不得少于100元．該校最終向園林公司支付樹苗款8800元．請問該校共購買了多少棵樹苗？ 【例23】菜農李偉種植的某蔬菜計劃以每千克5元的價格對外批發(fā)銷售．由于部分菜農盲目擴大種植，造成該蔬菜滯銷，李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經過兩次下調后，以每千克3.2元的價格對外批發(fā)銷售． (1)求平均每次下調的百分率； (2)小華準備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：方案一，打九折銷售；方案二，不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元．試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠？請說明理由． 【例24】現(xiàn)有一塊長80cm、寬60cm的矩形鋼片，將它的四個角各剪去一個邊長為xcm的小正方形，做成一個底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，求小正方形的邊長． 【例25】如圖，在一塊長為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路分別與矩形的一條邊平行)，剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米．設道路寬為x米，根據(jù)題意可列出的方程為______________． 【例26】如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動． (1)如果P、Q同時出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？ (2)點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由． 【3種思想】 1.整理思想 【例27】（2023春?玄武區(qū)期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式2023﹣m2﹣m的值為 　 ?。?【例28】．（2023春?沭陽縣月考）已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式2m2+4m+2021的值為 　?。?【例29】．（2023春?興化市月考）已知m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一個根，則2m2+4m的值是 　　． 2.轉化思想 【例30】（2023?沭陽縣模擬）若x＝1是關于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，則2021﹣2a﹣4b的值為 　?。?【例31】（2022秋?丹徒區(qū)期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一個根，則6a2﹣3a+3的值等于 　 ?。?【例32】．（2023?鼓樓區(qū)二模）解方程：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6）． 3.分類討論思想 【例33】．（2022秋?阜寧縣期中）如圖，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，點P從點A出發(fā)沿AB以4cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點C出發(fā)沿CD以1cm/s的速度向點D移動，兩點同時出發(fā)，一點到達終點時另一點即停． （1）運動幾秒時，PQ能將矩形ABCD的面積分成2：5兩部分？ （2）運動幾秒時，P，Q兩點之間的距離是10cm？ 【檢測卷】 一、單選題 1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）方程的兩個根為（　?。?A． B． C． D． 2．（2023秋·全國·九年級專題練習）關于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是 （ ） A．且 B．且 C． D． 3．（2023秋·全國·九年級專題練習）將方程配方成的形式，下列配方結果正確的是（???） A． B． C． D． 4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）方程 的兩個根為（　?。?A． B． C． D． 5．（2023秋·全國·九年級專題練習）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為文．如果每株椽的運費是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問文能買多少株椽？設這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是（????） A． B． C．（ D． 6．（2022秋·湖南懷化·九年級?？计谥校┮阎P于的一元二次方程的兩個實數(shù)根為，，且，則k的值為（????） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值是（????） A．5 B． C．4 D． 8．（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）若關于的一元二次方程的一個解是，則的值是（????） A．2016 B．2018 C．2020 D．2022 9．（2023·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預測）隨著春天的到來，到植物園賞花的游客越來越多，2023年3月份的游客人數(shù)是元月份的3倍．設2、3月份游客人數(shù)的平均增長率為x（????） A． B． C． D． 10．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）下列方程中，有一個根為的方程是（　?。?A． B． C． D． 二、填空題 11．（2023春·吉林長春·九年級校考期中）若關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值為 ， 12．（2023春·廣東惠州·九年級校考開學考試）一個三角形的兩邊長為3和5，第三邊長為方程的根，則這個三角形的周長為 ． 13．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）若關于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是 ． 14．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）請你寫出一個關于的一元二次方程，使得方程的兩根互為相反數(shù)，你所寫的方程是 ． 15．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）實數(shù)x和y滿足，則 ． 16．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知：且，，那么的值等于 ． 17．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知三個連續(xù)奇數(shù)的平方和是371，設第二個奇數(shù)為，則依題意可得到的方程是 ． 18．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）六張完全相同的小矩形紙片C與A，B兩張矩形紙片恰好能拼成一個相鄰邊長為m，50的大矩形，部分數(shù)據(jù)如圖所示． （1）若，則矩形A的水平邊長為 ； （2）請用含m，n的代數(shù)式表示矩形A的周長： ； （3）若矩形A，B的面積相等，則 ． 三、解答題 19．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）解關于的方程（合適的方法）： (1)； (2)． 20．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）閱讀下列材料： 問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倍． 解：設所求方程的根為，則，所以，把，代入已知方程，得． 化簡，得， 故所求方程為 這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”． 請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）： (1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為 ； (2)已知關于的一元二次方程有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)． 21．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知關于x的一元二次方程 (1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根； (2)若是上述方程的兩個實數(shù)根，且滿足，請求出k的值及相應的實數(shù)根． 22．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，有長為30米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10米），圍成中間隔有一道籬笆（平行于）的矩形花圃，設花圃一邊的長為x米，面積為y平方米． ?? (1)求y與x的函數(shù)關系式； (2)如果要圍成面積為63平方米的花圃，的長是多少？ 23．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，，點從點開始沿邊向點移動，速度為；點從點開始沿邊向點移動，速度為，點分別從點同時出發(fā)，當其中一點到達終點后，另一點也隨之停止運動． (1)幾秒后，的長度為； (2)幾秒后，的面積為； (3)的面積能否為？請說明理由． 24．（2022秋·四川廣安·九年級?？计谥校刂菽嘲儇浬虉鲑忂M一批單價為5元的日用商品．如果以單價7元銷售，每天可售出160件，根據(jù)銷售經驗，銷售單價每提高1元，銷售量每天就相應減少20件，設這種商品的銷售單價為x元． (1)若該商場當天銷售這種商品所獲得的利潤為元，求x的值． (2)當商品的銷售單價定為多少元時，該商店銷售這種商品獲得的利潤最大？此時最大利潤為多少？ 25．（2022秋·四川成都·九年級校考期中）因粵港澳大灣區(qū)和中國特色社會主義先行示范區(qū)的雙重利好，深圳已成為國內外游客最喜歡的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“網紅打卡地”東部華僑城景區(qū)在2020年春節(jié)長假期間，共接待游客達20萬人次，預計在2022年春節(jié)長假期間，將接待游客達萬人次． (1)求東部華僑城景區(qū)2020至2022年春節(jié)長假期間接待游客人次的平均增長率． (2)東部華僑城景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為6元，根據(jù)銷售經驗，在旅游旺季，若每杯定價25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價格降低1元，則平均每天可多銷售30杯，2022年春節(jié)期間，店家決定進行降價促銷活動，則當每杯售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額？ 26．（2023秋·全國·九年級專題練習）閱讀下面的例題：分解因式：． 解：令得到一個關于的一元二次方程， ， ． 解得，； ． 這種因式分解的方法叫求根法，請你利用這種方法完成下面問題： (1)已知代數(shù)式對應的方程解為和7，則代數(shù)式分解后為 　 　； (2)將代數(shù)式分解因式．

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