2．會應用平行四邊形的性質(zhì)定理解決相關的幾何證明和計算問題.
知識點01 平行四邊形的定義
平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形.平行四邊形用“?”表示，平行四邊形ABCD表示為“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”
知識點02 平行四邊形的性質(zhì)
平行四邊形的性質(zhì)：邊、角、對角線，有時會涉及對稱性.如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形：
性質(zhì)1（邊）： = 1 \* GB3 ①對邊相等； = 2 \* GB3 ②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
性質(zhì)2（角）：對角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
性質(zhì)3（對角線）：對角線相互平分，即：AO=OC，BO=OD
注： = 1 \* GB3 ①平行四邊形僅對角線相互平分，對角線不相等，即AC≠BD；
= 2 \* GB3 ②平行四邊形對角相等，但對角線不平分角，即∠DAO≠∠BAO.
性質(zhì)4（對稱性）：平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.
題型01 平行四邊形的性質(zhì)
【例題】（23-24八年級下·江蘇南京·階段練習）有下列說法：①平行四邊形具有四邊形的所有性質(zhì)；②平行四邊形是中心對稱圖形；③平行四邊形的任一條對角線可把平行四邊形分成兩個全等的三角形；④平行四邊形的兩條對角線把平行四邊形分成4個面積相等的小三角形.其中正確說法的序號是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)逐個判斷即可得到答案．
【詳解】解：平行四邊形具有四邊形的所有性質(zhì)，故①正確，
平行四邊形是中心對稱圖形，故②正確，
平行四邊形的任意一條對角線可把平行四邊形分成兩個全等的三角形，故③正確，
平行四邊形的兩條對角線把平行四邊形分成4個面積相等的小三角形，故④正確，
故選：D．
【變式訓練】
1．（22-23九年級上·黑龍江七臺河·期末）下面關于平行四邊形的性質(zhì)描述正確的是（ ）
A．平行四邊形的對稱中心是對角線的交點
B．平行四邊形的對稱軸是對角線所在直線
C．平行四邊形不是中心對稱圖形
D．平行四邊形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形
【答案】A
【分析】本題考查了中心對稱圖形、軸對稱圖形、軸對稱的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關鍵．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結合中心對稱圖形以及軸對稱圖形的定義解答即可．
【詳解】解：A．平行四邊形的對稱中心是對角線的交點，說法正確，故本選項符合題意；
B．平行四邊形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．平行四邊形是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
故選：A．
2．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）平行四邊形具有而一般四邊形不具有的性質(zhì)是（ ）
A．外角和等于B．對角線互相平分
C．內(nèi)角和等于D．有兩條對角線
【答案】B
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)求解，即可求得答案．
【詳解】解：平行四邊形具有的性質(zhì)：對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補，對角線互相平分；
一般四邊形具有：外角和等于，內(nèi)角和為，有兩條對角線．
平行四邊形具有而一般四邊形不具有的性質(zhì)是：對角線互相平分．
故選：B．
題型02 利用平行四邊形的性質(zhì)求角度
【例題】（23-24八年級下·吉林·階段練習）在平行四邊形中，，則的度數(shù)是 ．
【答案】/100度
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到鄰角互補，得到，再根據(jù)平行四邊形對角相等，即可得解．
【詳解】解：∵平行四邊形中，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練】
1．（2024·山東泰安·模擬預測）如圖，在中，，的平分線交于點，連接若，則的度數(shù)為 ．
【答案】/30度
【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形和內(nèi)角和定理等知識；關鍵是掌握平行四邊形對邊平行，對角相等．
由平行四邊形的性質(zhì)得出，，得出，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出的度數(shù)．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案為：．
2．（23-24八年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，四邊形是平行四邊形，，平分且交于點，且交于點，則的度數(shù)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解，熟練掌握相關的性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】解： 平分，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
故答案為：．
題型03 利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長
【例題】（23-24八年級下·廣西南寧·階段練習）如圖，在平行四邊形中，已知，，，則的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，，據(jù)此求出、的長，利用勾股定理求出的長即可．找到平行四邊形中的直角三角形是解題的關鍵．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∴在中，
，
∴的長為．
故選：A．
【變式訓練】
1．（23-24八年級下·遼寧大連·階段練習）在中，，對角線交于點O，，則的長是（ ）

A．B．3C．D．5
【答案】A
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．由平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明是直角三角形，且，然后根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，，
∵，即，
∴是直角三角形，且，
∴，
故選：A．
2．（23-24八年級下·江蘇宿遷·階段練習）在中，，平分交于點E，平分交于點F，且，則的長為 （ ）
A．4B．6C．6或8D．4或6
【答案】D
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)平行加角平分線，得到均為等腰三角形，分點在點的左側和右側，兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
如圖①，當點在點的左側時：，
∴；

如圖②，當點在點的右側時，，
∴

綜上：或；
故選D．
題型04 利用平行四邊形的性質(zhì)求面積
【例題】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，的對角線相交于點O，過點O，且點E，H在邊上，點G，F(xiàn)在邊上，則陰影部分的面積與的面積比值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本題主要考查了平行四邊形的對稱性，將陰影部分的面積進行合理的轉化是解題的關鍵．
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得和關于點O中心對稱，即可，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】
解：∵四邊形為平行四邊形，
∴和關于點O中心對稱，
∴，
∴，
∴陰影部分的面積與的面積比值是．
故選：C．
【變式訓練】
1．（23-24八年級下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，直線過平行四邊形對角線的交點O，分別交于E、F，若平行四邊形的面積是12，則與的面積之和為 ．
【答案】3
【分析】
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，進而可證明得到，則．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：3．
2．（22-23八年級下·遼寧撫順·期中）如圖，在中，P是邊上一點．已知，，則的面積是 cm2．

【答案】12
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得，則，得，即可得出結論．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
故答案為：12．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．
題型05 利用平行四邊形的性質(zhì)求坐標
【例題】（23-24八年級下·福建廈門·階段練習）在中，對角線，相交于點，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，其中，，，則點的坐標是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關于原點對稱的點的坐標特點，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可知點A與點C，點B與點D分別關于原點O對稱，再根據(jù)關于原點對稱的點橫縱坐標都互為相反數(shù)求出a、b的值，進而求出點B的坐標，即可求出點D的坐標．
【詳解】解：∵在中，對角線，相交于點，
∴點A與點C，點B與點D分別關于原點O對稱，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練】
1．（2023·吉林長春·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，若?的三個頂點的坐標分別是、、，則頂點的坐標是 ．
【答案】
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，以及坐標與圖形的關系，正確建立坐標系畫出平行四邊形是解題關鍵．根據(jù)圖形，得出C點橫縱坐標即可得出答案．
【詳解】解：設，
四邊形是平行四邊形，
，且．
，即．
，即．
，，
．
故答案為：．
2．（23-24八年級下·四川廣元·階段練習）在平面直角坐標系里，，若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標為 ．
【答案】或或
【分析】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識點，解題的關鍵是掌握①數(shù)形結合思想的運用，②分類討論方法的運用．根據(jù)題意畫出符合條件的三種情況，根據(jù)圖形結合平行四邊形的性質(zhì)，A、B、C的坐標求出即可．
【詳解】解：如圖，
如圖有三種情況：①平行四邊形，
∵，
∴，
∴，
則D的坐標是；
②平行四邊形，
∵，
∴，
∴，
則D的坐標是；
③平行四邊形，
∵，
∴的縱坐標是，橫坐標是，
則D的坐標是，
故答案為或或．
題型06 利用平行四邊形的性質(zhì)得結論（多結論問題）
【例題】（23-24八年級下·湖北省直轄縣級單位·階段練習）如圖，平行四邊形的對角線AC，BD交于點O，AE平分，交BC于點E，且，連接，下列結論①；②；③；④；其中成立的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】結合平行四邊形的性質(zhì)可證明為等邊三角形，由，可判斷①，
由，，得，故②正確，設，則，對，運用勾股定理即可判斷③，利用三角形中線的性質(zhì)結合三角形的面積可求解判斷④．
【詳解】解：四邊形為平行四邊形，，
，，，，
，，
平分，
，
為等邊三角形，
，，
，
，
，
，故①正確；
∵，，
∴，故②正確；
，，
，
設，則，在中，，
∴，
∴在中，，
∴，∴，故③正確；
，，
是的中點，
，
，
，
，
，故④正確．
故選：D．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（23-24八年級下·湖南長沙·階段練習）如圖，是內(nèi)一點，，，，連接，，，下列結論：①；②為等腰直角三角形； ③；④，其中正確的個數(shù)有 （ ）
A．1 個B．2 個C．3 個D．4 個
【答案】C
【分析】①延長交于點，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和即可得到；②先證明，得，又有，可得，即可得到為等腰直角三角形；③過點作交延長線于點，證明，再根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，可得成立；④過點作于，根據(jù)勾股定理即可證明，可知結論不成立．
【詳解】解：①延長交于點，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故①正確；
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴為等腰直角三角形，
故②正確；
∵，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，
過點作交延長線于點，則，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，則為等腰直角三角形，
∴，
由等腰直角三角形可知，，
∴，
故③正確；
由勾股定理可知，，則，
過點作于，則，
∵，
∴，
∴，
則，，
∴，
故④不正確；
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等知識點，解題關鍵正確添加輔助線構造全等三角形和直角三角形．
2．（23-24八年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，在平行四邊形中，對角線，交于點，，，，直線過點，連接，交于點，連，的周長等于，下列說法正確的個數(shù)為（ ）
；；；．
A．個B．個C．個D．個
【答案】D
【分析】由的周長等于，可得，即得到，根據(jù)等腰三角形三線合一得到，即可判斷；過點作，交與，證明，得到，同理可得，，，再由三角形的面積即可判斷；過點于，交于，可得，即可判斷；過點作的延長線于點，由平行線可得，進而可得，得到，由勾股定理可得，設，則，在中，由勾股定理可得，求出進而可得的長，即可判斷；正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：∵的周長等于，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴為等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴，故正確；
過點作于M，交與，
∵，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，故正確；
過點作于，交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故正確；
過點作的延長線于點，則，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
設，則，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，故正確；
∴說法正確的個數(shù)有個，
故選：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．
題型07 利用平行四邊形的性質(zhì)求折疊問題
【例題】（2023·遼寧大連·模擬預測）如圖，點E為平行四邊形中邊上一點，將沿折疊至處，，，則的大小為 ．
【答案】/30度
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及折疊的性質(zhì)，分別求出的度數(shù)，互補求出的度數(shù)，利用進行計算即可．
【詳解】解：∵平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，
∴；
故答案為：．
【變式訓練】
1．（23-24八年級下·廣西南寧·階段練習）如圖，在中，將沿折疊后，點恰好落在的延長線上的點處．若，則為 ．
【答案】4
【分析】
本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
由折疊的性質(zhì)與題意可得，，由，可知，則，，進而可求的值．
【詳解】
解：由折疊的性質(zhì)可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：4．
2．（2023·江蘇泰州·一模）如圖，在中，，，、分別是邊、上一點，且，將沿折疊，使點與點重合，則的長為 ．
【答案】
【分析】
此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是等邊三角形是解題的關鍵．
設點的對應點為點，由平行四邊形的性質(zhì)得，，，則，由折疊得，，，所以，而，則，所以是等邊三角形，則，所以，即可推導出，則，于是得到問題的答案．
【詳解】
解：設點的對應點為點，
四邊形是平行四邊形，，，
，，，，
，
由折疊得，，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
故答案為：．
題型08 利用平行四邊形的性質(zhì)求動點問題
【例題】（2024·浙江紹興·模擬預測）如圖1，平行四邊形中，對角線， 點M沿方向運動．設，，圖2是y關于x的函數(shù)圖象，則平行四邊形的面積是（ ）
A．20B．10C．15D．12
【答案】D
【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象的性質(zhì)，結合圖象分析題意是解題關鍵．由圖2得，當點M在點C處時，，即，當點M到達點D時，，即，在中，利用勾股定理求出，再用平行四邊形面積公式計算即可．
【詳解】解：由圖2得，當點M在點C處時，，即，
∴，
當點M到達點D時，，即，
在中，，即，
∴，
∴，
∴的面積是．
故選：D．
【變式訓練】
1．（2024·河南洛陽·模擬預測）如圖，點從四條邊都相等的的頂點出發(fā)，沿以的速度勻速運動到點，圖是點運動時，的面積隨時間變化的關系圖象，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題綜合考查了性質(zhì)，動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，解答過程中要注意函數(shù)圖象變化與動點位置之間的關系．通過分析圖象，點從點到用，此時，的面積為，依此可求的高，再由圖象可知，，應用兩次勾股定理分別求和．
【詳解】解：過點作于點
∵的四條邊都相等，
∴．
由圖象可知，點由點到點用時為，的面積為．
，
，
，
當點從點到點時，用時為
，
中，
，
的四條邊都相等，
，
中，
，
解得：
故選：C．
2．（23-24九年級下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在平行四邊形中，，厘米，厘米，點從點出發(fā)以每秒厘米的速度，沿在平行四邊形的邊上勻速運動至點．設點的運動時間為秒，的面積為平方厘米，下列圖中表示與之間函數(shù)關系的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象問題,涉及平行四邊形性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、三角形面積公式等知識．由平行四邊形性質(zhì)得到厘米，點速度為每秒厘米，則點在上時，時間滿足的取值范圍為，觀察符合題意的、、的圖象，即點在處時，的面積各不相同，求得此時的面積，即可找到正確選項．判斷出點運動到點時的時間及此時的面積是解決本題的關鍵．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，厘米，
厘米，
點從點出發(fā)以每秒厘米的速度，
點走完所用的時間為：秒，
當點在上時，；故排除；
當時，點在點處，過點作于點，如圖所示：
，
，
，
厘米，
厘米，
厘米，
平方厘米，
故選：B．
題型09 利用平行四邊形的性質(zhì)證明
【例題】（23-24八年級下·遼寧大連·階段練習）如圖，點E是內(nèi)一點，且．
(1)寫出圖中與相等的角，并證明；
(2)求證：
(3)用等式表示線段之間的數(shù)量關系，并證明．
【答案】(1)，見解析
(2)見解析
(3)，見解析
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，由垂直的定義得，然后根據(jù)等式的性質(zhì)可得；
（2）延長交于點F．由平行四邊形的性質(zhì)得，求出可得，然后根據(jù)證明即可證明結論成立；
（3）由可得，進而可證，然后由勾股定理得，從而可得．
【詳解】（1）．
證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
．
，
．
．
即．
（2）如圖，延長交于點F．
四邊形ABCD是平行四邊形，
．
．
．
，
．
在中，．
．
，
．
．
，
．
（3）．
由（2）可得，，
．
在中，，由勾股定理可得，
，
，
，
．
．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2024·貴州黔東南·模擬預測）如圖，在平行四邊形中，、分別平分、，交分別于點、．已知平行四邊形的周長為．
(1)求證：；
(2)過點作于點，若，求的面積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題考查平行四邊形，全等三角形，角平分線的知識，解題的關鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，即可．
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，則，，，則，根據(jù)、分別平分、，全等三角形的判定和性質(zhì)，即可；
（2）過點作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，則；根據(jù)平行四邊形的周長，則，根據(jù)，即可．
【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵、分別平分、，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）過點作于點，
∵是的角平分線，，
∴，
∵平行四邊形的周長為，
∴，
∵，
∴．
2．（23-24八年級下·湖北省直轄縣級單位·階段練習）如圖，在中，點E為上一點，連接并延長交的延長線于點F，，連接．

(1)求證：平分；
(2)若點E為中點，求證：；
(3)若，，，求的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)168
【分析】（1）根據(jù)得到，根據(jù)得到，即可證明，問題得證；
（2）證明，即可得到，根據(jù)即可證明；
（3）過點E作于M，設，則，根據(jù)勾股定理列出方程 ，解得，進而得到，即可求出．
【詳解】（1）證明：證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）證明：∵點E為中點，
，
∵，，
∴，
，
∵，
∴；
（3）解：如圖，過點E作于M，設，則．
根據(jù)勾股定理得 ，
解得，
，
．

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟知相關知識并根據(jù)題意靈活應用是解題關鍵．
一、單選題
1．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在中，的平分線交于點，若，，則的長（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
【答案】C
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，由平行和角平分線可得，即可得到，最后根據(jù)計算即可．
【詳解】∵，，，
∴，，，
∴，
∵的平分線交于點，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
2．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在中，，，于點，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由平行四邊形可得，進而得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：．
3．（23-24八年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，在平行四邊形中，，，，點是邊上的一點，點是邊上一點，將平行四邊形沿折疊，得到四邊形，點的對應點為點，點的對應點為點，則的長度為（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】C
【分析】如圖，作于K，過E點作于P．可得，可得點E到的距離是，證明；可得，設，則，，由勾股定理得，再求解即可．
【詳解】解：如圖，作于K，過E點作于P．
∵，，
∴，，
∵C到的距離和E到的距離都是平行線、間的距離，
∴點E到的距離是，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
由折疊可知，，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
設，則，
∴，
由折疊可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
故選C．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．
4．（23-24八年級下·江蘇·周測）在中，，平分交邊于點E，平分交邊于點F，若點E與點F的距離為2，則的長為（ ）
A．2B．5C．2或5D．3或5
【答案】D
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由平分，得到，等量代換得到，根據(jù)等腰三角形的判定得到，同理，根據(jù)已知條件得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，即可得到結論．
【詳解】解：①如圖1，在中，
∵，
∴，
∵平分交邊于點E，平分交邊于點F，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
②如圖2：在中，
∵，
∴，
∵平分交邊于點E，平分交邊于點F，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴；
綜上所述：的長為3或5，
故選：D．
5．（23-24八年級下·江蘇徐州·階段練習）如圖，P是內(nèi)的任意一點，連接、、、，得到、、、，設它們的面積分別是、、、，給出如下結論：①，②若，則，③若，則的面積為10；④．其中正確的（ ）
A．①③B．②③C．①②D．②④
【答案】A
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到，，設點到、、、的距離分別為，然后利用三角形的面積公式列式整理判斷即可得到答案．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
設點到、、、的距離分別為分別為平行四邊形的邊和邊的高
則
，
又，
，故①正確；
根據(jù)只能判斷，不能判斷，即不能得出，故②錯誤；
根據(jù)，能得出的面積為，故③正確；
由題意只能得到無法得到，故④錯誤；
故選：A．
二、填空題
6．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在平行四邊形中，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和題意，可以計算出和的度數(shù)，然后即可計算出的度數(shù)．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，
，，
，，
，
故答案為：．
7．（2024·江蘇常州·模擬預測）如圖，平行四邊形中以點為圓心，適當長為半徑作弧，交、于、，分別以點、為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，連接并延長，與交于點，若，，，則的長為 ．
【答案】
【分析】
本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．利用基本作圖得到平分，則，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，接著證明得到，所以，然后利用勾股定理的逆證明證明為直角三角形，，則，最后利用勾股定理可計算出的長．
【詳解】
解：由作法得平分，
，
四邊形為平行四邊形，
∴，，，
，
，
，
，
在中，
，，，
，
為直角三角形，，
∵，
，
在中，．
故答案為：．
8．（23-24八年級下·江蘇淮安·階段練習）如圖，平行四邊形的對角線和相交于點，過點的直線分別交和于點，且，那么圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．過點作于點，勾股定理求得，證明，進而可得陰影部分面積等于平行四邊形面積的一半，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∵平行四邊形的對角線和相交于點，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
同理：
∴陰影部分面積面積,
故答案為：．
9．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）在平行四邊形中，，已知，，將沿翻折至，使點落在平行四邊形所在的平面內(nèi)，連接．若是直角三角形，則的長為 ．
【答案】或
【分析】根據(jù)平行四邊形中，，要使是直角三角形，則，，畫出圖形，分類討論，即可．
【詳解】當，，延長交于點，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵沿翻折至，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
設，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
當時，設交于點，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵沿翻折至，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
設，
∴，
∴，
∴
解得：，
∴．
綜上所述，當?shù)拈L為或時，是直角三角形．
【點睛】本題考查平行四邊形、直角三角形的知識，解題的關鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半，即可．
10．（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，E是的中點，已知，，，，點P是線段上的一個動點，當?shù)拈L為 時，以點P，A，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形．
【答案】1或9
【分析】本題主要考查了坐標與圖形，平行四邊形的判定，根據(jù)四個點的坐標求出，，，，根據(jù)平行四邊形的判定得出當時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況進行討論即可得出答案．
【詳解】解：∵，，，，
∴，，，，
∴，
∵E是的中點，
∴，
當時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，
分兩種情況：
①當點P在點E的左側時，；
②當點P在點E的右側時，；
綜上所述，當?shù)拈L為1或9時，以點P，A，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形，
故答案為：1或9．
三、解答題
11．（23-24八年級下·重慶巴南·階段練習）如圖，在平行四邊形中，對角線和交于O點，點E，F(xiàn)在對角線上，，平分．
(1)若，，求的度數(shù)；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，然后可得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出，最后利用平行線的性質(zhì)得出答案；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，證明，可得，求出，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．（23-24八年級下·江蘇南通·階段練習）已知是中心對稱圖形，點是平面上一點，請僅用無刻度直尺畫出點關于對稱中心的對稱點．
(1)如圖1，點E在的邊上；
(2)如圖2，點E在外．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查中心對稱圖形、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握中心對稱圖形、平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關鍵．
（1）連接，交于點，再連接并延長，交于點，則點即為所求；
（2）連接，交于點，連接，交于點，連接并延長，交于點，再連接并延長，交的延長線于點，則點即為所求．
【詳解】（1）解：如圖1，點即為所求；
（2）解：如圖2，點即為所求．
13．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）如圖，在平行四邊形中，點E在邊上，且，F(xiàn)為線段上一點，且．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)若，，，求．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)及等角的補角相等即可證明；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，由（1）所證及，即可證明；
（3）由（2）及已知得，，進而得；即可得；證明，則；過E作于G，分別在中由勾股定理即可求解．
【詳解】（1）證明： ∵四邊形是平行四邊形，
∴；
∵，，
∴；
（2）證明：∵四邊形是平行四邊形
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四邊形是平行四邊形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如圖，過E作于G，
則，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)等知識，題目不難，靈活運用這些知識是關鍵．
14．（23-24八年級下·江蘇揚州·階段練習）如圖，在中，分別平分，交于點．
(1)求證：；
(2)連接，證明；
(3)過點作，垂足為．若的周長為，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)84
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得，由角平分線的性質(zhì)得出，由平行線的性質(zhì)得出，由即可證明；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，從而得出，推出四邊形是平行四邊形，即可得證；
（3）作，由題意得出，再由角平分線的性質(zhì)得出，最后根據(jù)計算即可得出答案．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
分別平分，
，
，
，
，
在和中，
，
（2）解：，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
；
（3）解：作，
，
的周長為56
平分，
，
．
15．（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習）如圖，在平行四邊形中，，，．動點從點出發(fā)沿以速度向終點運動，同時點從點出發(fā)，以速度沿射線運動，當點到達終點時，點也隨之停止運動，設點運動的時間為秒．
(1)用含t的代數(shù)式表示 ；
(2)當時， 求t的值；
(3)請問是否存在t的值，使得A，B，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？ 若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)或
(2)
(3)存在，或4
【分析】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．
（1）先算出，再結合點Q的運動方向、速度以及起點，進行分類討論，即可作答．
（2）先證四邊形是平行四邊形，可得，列出方程可求解；
（3）分兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可得，列出方程可求解；
【詳解】（1）解：∵，，
∴
點從點出發(fā)，以速度沿射線運動，
當在線段上時，
∴
∵動點從點出發(fā)沿以速度向終點運動，，
∴，
當在的延長線上時，；
（2）解：過點作于，
四邊形是平行四邊形，，，
，，，
，，
，，
，，
，，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
，
；
（3）解：存在，
當為邊時，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
當為對角線時，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
綜上所述：的值為或4.
16．（23-24九年級上·北京石景山·期中）如圖1，在中，于E，E恰為BC的中點．

(1)求證：；
(2)如圖2，點在上，作于點，連結．求證：；
(3)請你在圖3中畫圖探究：當為射線上任意一點(不與點重合)時，作于點，連結，線段與之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出你的結論．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)，
【分析】（1）首先根據(jù)知：，而E是BC的中點，結合平行四邊形的對邊相等即可得證．
（2）此題要通過構造全等三角形來求解；作，交于，通過證，來得到是等腰直角三角形且，由此得證．
（3）輔助線作法和解法同（2），只不過結論有所不同而已．
【詳解】（1）證明： ∵，
∴；
∵是中點，
∴，
即；
又∵四邊形是平行四邊形，則；
故．
（2）證明：作，交于；(如圖2)

∵，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，且，
∴，且，
故；
（3）解：如圖3，

①當在線段上時，有，
證明方法類似（2）．
②如圖中，點在上，．

理由：將繞點逆時針旋轉得到
∴，
同（1）可得∶
，
則．
③如圖，點在的延長線上，，

證明方法類似（2）．
綜上所述，與之間的數(shù)量關系為：、
【點睛】此題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的構造出全等三角形是解題的關鍵．

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