1．掌握中位線的定義以及中位線定理；(重點(diǎn))
2．綜合運(yùn)用平行四邊形的判定及中位線定理解決問題．(難點(diǎn))
知識(shí)點(diǎn)01 三角形的中位線定理
（1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）
（2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，.
題型01 與三角形中位線有關(guān)的求解問題
【例題】（2023·吉林白城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)，，分別是、、的中點(diǎn)，連接、，則四邊形的周長(zhǎng)為 ．
【答案】9
【分析】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)三角形中位線定理分別求出、，根據(jù)線段中點(diǎn)的概念分別求出、，計(jì)算即可．
【詳解】解：點(diǎn)，，分別是、、的中點(diǎn)，，，，
、是的中位線，，，
，，
四邊形的周長(zhǎng)為：，
故答案為：9．
【變式訓(xùn)練】
1．（2024·山東淄博·一模）如圖，在中，，，，E，F(xiàn)分別為邊上的點(diǎn)，M，N分別為的中點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】連接，過A作交延長(zhǎng)線于G，連接，證明， ，，利用勾股定理的逆定理得出，進(jìn)而可得出，利用勾股定理求出，然后利用三角形的中位線定理求解即可．
【詳解】解：連接，過A作交延長(zhǎng)線于G，連接，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∵M(jìn)為中點(diǎn)，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與逆定理，三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加合適輔助線，構(gòu)造三角形中位線是解題的關(guān)鍵．
2．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·階段練習(xí)）中，，，分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)C作于F，交于G，連接，則線段的長(zhǎng)為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了全等三角形的判定以及三角形的中位線定理，證明是關(guān)鍵．
首先證明，則，證明是的中位線，利用三角形的中位線定理即可求解．
【詳解】解：∵是的角平分線，
∴，
∵于F，
∴°，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∵是的中線，
∴，
∴是的中位線，
∴．
故答案為：2．
題型02 三角形中位線與三角形面積問題
【例題】（22-23九年級(jí)上·福建泉州·期末）如圖，在中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，若四邊形的面積是，則的面積是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】先根據(jù)點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，證得，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，解得，
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23八年級(jí)下·廣西欽州·階段練習(xí)）如圖所示，已知的面積為，連接三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，，依此類推，第個(gè)三角形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出第二個(gè)三角形的面積，同理第三個(gè)三角形的面積，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．
【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作于G，交于H，則，
、E、F分別為、、的中點(diǎn)，
、、分別為的中位線，
，，，，
，，
，
同理：第三個(gè)三角形的面積=，
第四個(gè)三角形的面積第三個(gè)三角形面積，
……，
∴第2013個(gè)三角形的面積為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線定理，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）如圖，是的中位線，M是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于N，那么 ， ．
【答案】
【分析】利用是中位線，M是的中點(diǎn)，根據(jù)各邊關(guān)系可以求出結(jié)果；把各邊關(guān)系轉(zhuǎn)換為面積的關(guān)系來解答即可．
【詳解】解：是中位線，M是中點(diǎn)，
，
，
，
是中位線，
，
，
連接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的關(guān)鍵．
題型03 三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用
【例題】（23-24八年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，如果要測(cè)量池塘兩端、的距離，可以在池塘外取一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)，測(cè)得的長(zhǎng)為米，則的長(zhǎng)為 米．
【答案】
【分析】本題考查了三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半” ．根據(jù)三角形的中位線定理，即可求解．
【詳解】解：點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)，
是的中位線．
（米）．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級(jí)下·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，要測(cè)定被池塘隔開的，兩點(diǎn)的距離．可以在外選一點(diǎn)連接，，并分別找出它們的中點(diǎn)，，連接．現(xiàn)測(cè)得，則 ．
【答案】/48米
【分析】本題考查了三角形的中位線，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．根據(jù)中位線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，
∴是的中位線，
∴．
故答案為．
2．（23-24八年級(jí)上·黑龍江大慶·期末）如圖所示，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小聰想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，一位同學(xué)幫他想了一個(gè)主意：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，找到，的中點(diǎn)D，E，并且測(cè)出的長(zhǎng)為，則A，B間的距離為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)D，E是，的中點(diǎn)，，
∴，
故答案為：．
題型04 與三角形中位線有關(guān)的證明
【例題】（23-24八年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）已知在中，，為中點(diǎn)，為邊的中線且，連接、．

(1)求證：；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）由三角形中線性質(zhì)得到，再由等腰三角形性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)得，可得結(jié)論；
（2）先由中位線的判定與性質(zhì)得到，再由是等邊三角形，確定含的直角三角形，結(jié)合含的直角三角形及勾股定理求出三邊的邊長(zhǎng)，即可得結(jié)論．
【詳解】（1）
證明：為邊的中線且，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）
解：為中點(diǎn)，為邊的中線，
為的中位線，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，，
的周長(zhǎng)．
【點(diǎn)睛】
本題考查三角形的周長(zhǎng)、等腰三角形判定與性質(zhì)、等邊三角形判定與性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、三角形的中線、中位線、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)幾何基礎(chǔ)知識(shí)．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在中，平分，于點(diǎn)E，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．
(1)如圖1，的延長(zhǎng)線與邊相交于點(diǎn)D，求證：；
(2)如圖 2，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論： ．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
本題考查三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)等知識(shí)．
（1）先證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一，推出，根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題．
（2）先證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一，推出，根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題．
【詳解】（1）
證明：如圖1中，
平分，于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是等腰三角形，
∵，
，
，
．
（2）
解：結(jié)論：，
理由：如圖2中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．
，
，
，，
，
，
，
，
為的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
；
故答案為：．
2．（23-24九年級(jí)下·北京·階段練習(xí)）已知：在中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：是的中點(diǎn)；
(2)如圖2，連接，取線段的中點(diǎn)，連接，直接寫出的大小并證明；
(3)若是的中點(diǎn)，，直接寫出的最小值為______．
【答案】(1)證明見解析
(2)，證明見解析
(3)
【分析】（1）證明是等邊三角形，得到，進(jìn)而證明，由三線合一定理即可證明結(jié)論；
（2）如圖所示，延長(zhǎng)到G，使得，連接，同（1）可證明是等邊三角形，則，，證明，得到，再證明為的中位線，得到，則，即可得到；
（3）如圖所示，連接，由三線合一定理得到，進(jìn)而求出，證明是等邊三角形，推出，則點(diǎn)E在直線上運(yùn)動(dòng)；設(shè)直線交于T，過點(diǎn)F作垂直于直線于H，則，，求出即可得到答案．
【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是的中點(diǎn)；
（2）解：，證明如下：
如圖所示，延長(zhǎng)到G，使得，連接，
同（1）可證明是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，
∴為的中位線，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖所示，連接，
∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴點(diǎn)E在直線上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)直線交于T，過點(diǎn)F作垂直于直線于H，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，即時(shí)，有最小值，最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等等，證明點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線是解題的關(guān)鍵．
題型05 平行四邊形與中位線綜合問題
【例題】（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在中，于點(diǎn)D，E、F分別是、的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交線段于點(diǎn)G，連接、、．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)當(dāng)，時(shí)，的長(zhǎng)為______．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
(1)由三角形中位線定理得，則，再證得，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
(2)解直角三角形求出，可得結(jié)論．
【詳解】（1） E、F分別是、的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
O是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
四邊形是平行四邊形．
（2）
在中，，，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24九年級(jí)下·江西宜春·開學(xué)考試）如圖， 是的中位線，延長(zhǎng) 至點(diǎn) ，使 ，連接 ， ．
(1)求證：四邊形 是平行四邊形．
(2)若，試判斷的形狀，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)為直角三角形，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可得，，求出，根據(jù)平行四邊形的判定可得結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理求出，可得，，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出即可．
【詳解】（1）證明：是的中位線，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：為直角三角形；
理由：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
是的中位線，
．
，
∴，，
∵，
∴，即，
為直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
2．（23-24八年級(jí)上·吉林·期末）如圖，點(diǎn)E為平行四邊形的邊上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，使，連接并延長(zhǎng)，使，連接，為的中點(diǎn)，連接，．
(1)若，，求的度數(shù)；
(2)求證：四邊形為平行四邊形；
(3)連接，交于點(diǎn)O，若，，直接寫出的長(zhǎng)度．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
（1）由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)得出答案即可；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，，，再證是的中位線，得，，證出，，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（3）連接，，，由三角形的中位線定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可．
【詳解】（1）解：四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
；
（2）證明：四邊形為平行四邊形，
，，，
，，
是的中位線，
，，
為的中點(diǎn)，
，
，，
，，
四邊形為平行四邊形；
（3）如圖，連接，，，
，，
，，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
，
．
一、單選題
1．（2024·陜西咸陽·一模）如圖，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本題考查的是三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，掌握三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊是解題關(guān)鍵．
首先利用中點(diǎn)定義和中位線定理得到，,利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到，推出，根據(jù)可得的長(zhǎng)．
【詳解】點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故選：B．
2．（23-24八年級(jí)下·重慶巴南·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線和交于O點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若，，，則的周長(zhǎng)是（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】D
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理．由平行四邊形的性質(zhì)求得，利用三角形中位線定理求得，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵平行四邊形中，對(duì)角線和交于O點(diǎn)，
∴，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，，
∴的周長(zhǎng)是，
故選：D．
3．（23-24八年級(jí)下·廣東江門·階段練習(xí)）中，E是的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)D，若，，則（ ）

A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，延長(zhǎng)交于F，證明，得到，結(jié)合中位線定理，得到，代入計(jì)算即可．．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于F，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴，
∵E是的中點(diǎn)，，
∴是的中位線，
∴．
∵，，
∴．
故選：B．
4．（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）如圖，、是的中線，P、Q分別是、的中點(diǎn)，則等于（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了全等三角形，三角形中位線．熟練掌握掌握三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵．
連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，利用是中位線，推出，再用是中位線，，即可求得答案．
【詳解】連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，
∵、是的中線，
∴，，
∴，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵Q是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴．
故選：A．
5．（2024·山東菏澤·一模）如圖，稱為第1個(gè)三角形，它的周長(zhǎng)是1，以它的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成第2個(gè)三角形，再以第2個(gè)三角形的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成第3個(gè)三角形，以此類推，則第2024個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此題考查了中位線定理；熟練掌握三角形中位線定理，找出每一個(gè)新的三角形周長(zhǎng)是上一個(gè)三角形周長(zhǎng)的是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：周長(zhǎng)為1，
∵每條中位線均為其對(duì)邊的長(zhǎng)度的，
∴第2個(gè)三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)為；
第3個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)為；
第4個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)為；
…
以此類推，第n個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)為；
∴第2024個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)為，即，
故選：B．
二、填空題
6．（2024·湖南衡陽·一模）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別是的中點(diǎn)，若，則 ．

【答案】6
【分析】由點(diǎn)D、E分別是的中點(diǎn)，得到是的中位線，進(jìn)而得到，即可求解，
本題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握三角形的中位線．
【詳解】解：∵點(diǎn)D、E分別是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
故答案為：6．
7．（2024八年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接，若，，，則的周長(zhǎng)是 ．
【答案】24
【分析】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，
，
是的中點(diǎn)，，
，
在中，，
的周長(zhǎng)，
故答案為：24．
8．（2024·甘肅隴南·一模）如圖，在平行四邊形中，，E為上一動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為 ．

【答案】9
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理．首先由平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)求得；然后利用三角形中位線定理求得．
【詳解】解：如圖，在平行四邊形中，．
，分別為，的中點(diǎn)，
是的中位線，
∴．
故答案為：9．
9．（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)H，G分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，則的最大值與最小值的差為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，三角形中位線定理．連接利用三角形中位線定理是關(guān)鍵．連接，過A作于M；由題意得，則可求得的長(zhǎng)，從而由勾股定理求得；由三角形中位線定理得，當(dāng)G與C重合時(shí)，最長(zhǎng)；當(dāng)G與M重合時(shí)，最短，從而可求得的最大值與最小值的差．
【詳解】解：如圖，連接，過A作于M；
則；
∵四邊形是平行四邊形，且，
∴，
∴；
∴；
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
由勾股定理得；
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴；
當(dāng)G與C重合時(shí)，最長(zhǎng)且為，此時(shí)；
當(dāng)G與M重合時(shí)，最短且為，此時(shí)；
∴的最大值與最小值的差為．
故答案為：．
10．（2023·貴州貴陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，，，．在平面內(nèi)將平移得到，其中點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．若點(diǎn)P，Q分別是AC，DE的中點(diǎn)，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】本題考查平移的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，等腰直角三角形，三角形中位線定理．作于，取中點(diǎn)，連接，，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，求出，由勾股定理求出，由三角形中位線定理求出，由平移的性質(zhì)得到，由三角形的三邊關(guān)系得到，即可求出的最大值是．
【詳解】解：作于，取中點(diǎn)，連接，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
、分別是、中點(diǎn)，
是的中位線，
，
由平移的性質(zhì)得到，
，
的最大值是．
故答案為：．
三、解答題
11．（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）如圖，中，，，平分，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理．根據(jù)平分，，運(yùn)用易證明．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得，，從而在中，根據(jù)三角形的中位線定理就可求解．
【詳解】解：，
，
又平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
又是的中點(diǎn)，
，
是的中位線，
．
12．（23-24八年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）如圖1，A、B兩地被建筑物阻隔，為測(cè)量A、B兩地的距離，在地面上選一點(diǎn)C，連接，分別取，的中點(diǎn)D、E．
(1)測(cè)得的長(zhǎng)為，則A、B兩地的距離為_______．
(2)如圖2，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是和的中點(diǎn)， 求的長(zhǎng)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查的是三角形中位線定理的含義，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
（1）證明為的中位線，利用三角形的中位線的性質(zhì)可得答案；
（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，連接，并延長(zhǎng)交于，證明，可得，證明三點(diǎn)共線，再利用三角形的中位線的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）解：∵，的中點(diǎn)為D、E．
∴為的中位線，
∴，
∵，
∴；
（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，連接，并延長(zhǎng)交于，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)H、F分別是和的中點(diǎn)，，
∴，，
∴三點(diǎn)共線，
∵點(diǎn)H、E分別是和的中點(diǎn)，，
∴，
∴．
13．（23-24八年級(jí)下·福建莆田·階段練習(xí)）如圖，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，，，求四邊形的周長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定，勾股定理：
（1）由三角形中位線定理證明，即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）先利用勾股定理得到，再由三角形中位線定理得到，，由此根據(jù)四邊形周長(zhǎng)計(jì)算公式求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，分別是，的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
同理可得，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵，，
∴；
同理可得，
∵，
∴四邊形的周長(zhǎng)．
14．（23-24八年級(jí)下·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，在中，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊上，且，分別交于點(diǎn)E、F．

(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)；
(2)如圖1，若，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)如圖2，若，求證：．
【答案】(1)7
(2)，理由見解析
(3)見解析
【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，由勾股定理計(jì)算可得的長(zhǎng)，由等腰直角三角形性質(zhì)得，最后由線段的差可得結(jié)論；
（2）取的中點(diǎn)G，連接，利用等腰三角形三線合一，得到點(diǎn)為中點(diǎn)，由三角形中位線定理得到，進(jìn)而得到，，易證，即可得出結(jié)論；
（3）在上取點(diǎn)，使得，連接、，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，由勾股定理可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：，，
，
，
，
中，，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
；
（2），理由如下：
證明：取的中點(diǎn)G，連接，
，，
，
點(diǎn)為中點(diǎn)，
點(diǎn)G是的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（3）證明：在上取點(diǎn)，使得，連接、，
，，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
∵，，
，
中，由勾股定理得：，
．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
15．（2024·河南周口·一模）如圖1，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．
(1)觀察猜想
圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是 ，的度數(shù)為 ；
(2)探究證明
把繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理；
(3)拓展延伸
把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．
【答案】(1)，(或60)；
(2)是等邊三角形．.理由見解析；
(3)
【分析】（1）利用三角形的中位線得出，，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出、得出、，由三角形內(nèi)角和定理得到，最后即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，，，即可得出，同（1）的方法得到，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出最大時(shí)，的面積最大，而最大是，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：點(diǎn)F，H分別是，的中點(diǎn)，
∴，，
點(diǎn)H、G是，的中點(diǎn)，
∴，，
∵，，
，
∴，
∵，
，
∵，
，
，
，
，
故答案為：，；
（2）解：是等邊三角形．理由如下：
由旋轉(zhuǎn)知，，
∵，，
，
，，
利用三角形的中位線得，，，，，
，，，
∴是等腰三角形，
，
，
，
，
，
∴是等邊三角形；
（3）由（2）知，是等邊三角形，，
最大時(shí)，面積最大，
點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用；解（1）的關(guān)鍵是判斷出，，解（2）的關(guān)鍵是判斷出，解（3）的關(guān)鍵是判斷出最大時(shí)，的面積最大．
16．（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·階段練習(xí)）【問題初探】
（1）李老師給出如下問題：中，，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上的點(diǎn)，且，連接線段．若，求的長(zhǎng)．
小鵬同學(xué)考慮到點(diǎn)是的中點(diǎn)，從中點(diǎn)的角度思考，想辦法構(gòu)造另一個(gè)中點(diǎn)，從而形成中位線，所以想到連接與交于點(diǎn)．請(qǐng)你利用李老師的提示，幫助小鵬同學(xué)解決這個(gè)問題．
【類比拓展】李老師為了幫助學(xué)生更好地感悟中點(diǎn)的解題策略，李老師提出了下面問題，請(qǐng)你解答．
（2）如圖3，中，平分于．求證：；
【學(xué)以致用】
（3）如圖4，在，點(diǎn)在上，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）
【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，易得，勾股定理求出的長(zhǎng)，即可；
（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明，得到，取的中點(diǎn)，連接，利用中位線定理，得到，且，證明，得到即可得出結(jié)論；
（3）連接，取中點(diǎn)，連接，利用中位線定理，得到是等邊三角形，是等邊三角形，設(shè)，進(jìn)而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出的值，進(jìn)一步求解即可．
【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
∴；
（2）如圖1， 延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
平分
∴，
又，
∴，
，
取的中點(diǎn)，連接，則有，且，
∴，
，在和中，，
，
，
；
（3）連接，取中點(diǎn)，連接，
分別為和中點(diǎn)，
和分別為和的中位線，
且且，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
是等邊三角形，
，
，
設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解得，
即．
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造中位線．

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3 三角形的中位線

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