2．會(huì)應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)定理解決相關(guān)的幾何證明和計(jì)算問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn)01 平行四邊形的定義
平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形.平行四邊形用“?”表示，平行四邊形ABCD表示為“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”
知識(shí)點(diǎn)02 平行四邊形的性質(zhì)
平行四邊形的性質(zhì)：邊、角、對(duì)角線，有時(shí)會(huì)涉及對(duì)稱性.如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形：
性質(zhì)1（邊）： = 1 \* GB3 ①對(duì)邊相等； = 2 \* GB3 ②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
性質(zhì)2（角）：對(duì)角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
性質(zhì)3（對(duì)角線）：對(duì)角線相互平分，即：AO=OC，BO=OD
注： = 1 \* GB3 ①平行四邊形僅對(duì)角線相互平分，對(duì)角線不相等，即AC≠BD；
= 2 \* GB3 ②平行四邊形對(duì)角相等，但對(duì)角線不平分角，即∠DAO≠∠BAO.
性質(zhì)4（對(duì)稱性）：平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形.
題型01 平行四邊形的性質(zhì)
【例題】（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）有下列說(shuō)法：①平行四邊形具有四邊形的所有性質(zhì)；②平行四邊形是中心對(duì)稱圖形；③平行四邊形的任一條對(duì)角線可把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形；④平行四邊形的兩條對(duì)角線把平行四邊形分成4個(gè)面積相等的小三角形.其中正確說(shuō)法的序號(hào)是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得到答案．
【詳解】解：平行四邊形具有四邊形的所有性質(zhì)，故①正確，
平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，故②正確，
平行四邊形的任意一條對(duì)角線可把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形，故③正確，
平行四邊形的兩條對(duì)角線把平行四邊形分成4個(gè)面積相等的小三角形，故④正確，
故選：D．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23九年級(jí)上·黑龍江七臺(tái)河·期末）下面關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)描述正確的是（ ）
A．平行四邊形的對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)
B．平行四邊形的對(duì)稱軸是對(duì)角線所在直線
C．平行四邊形不是中心對(duì)稱圖形
D．平行四邊形既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形
【答案】A
【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合中心對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的定義解答即可．
【詳解】解：A．平行四邊形的對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)符合題意；
B．平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
2．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）平行四邊形具有而一般四邊形不具有的性質(zhì)是（ ）
A．外角和等于B．對(duì)角線互相平分
C．內(nèi)角和等于D．有兩條對(duì)角線
【答案】B
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)求解，即可求得答案．
【詳解】解：平行四邊形具有的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，對(duì)角線互相平分；
一般四邊形具有：外角和等于，內(nèi)角和為，有兩條對(duì)角線．
平行四邊形具有而一般四邊形不具有的性質(zhì)是：對(duì)角線互相平分．
故選：B．
題型02 利用平行四邊形的性質(zhì)求角度
【例題】（23-24八年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，則的度數(shù)是 ．
【答案】/100度
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到鄰角互補(bǔ)，得到，再根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等，即可得解．
【詳解】解：∵平行四邊形中，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，連接若，則的度數(shù)為 ．
【答案】/30度
【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形和內(nèi)角和定理等知識(shí)；關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)角相等．
由平行四邊形的性質(zhì)得出，，得出，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出的度數(shù)．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案為：．
2．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，，平分且交于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，則的度數(shù)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解： 平分，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
故答案為：．
題型03 利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)
【例題】（23-24八年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，已知，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，，據(jù)此求出、的長(zhǎng)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．找到平行四邊形中的直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∴在中，
，
∴的長(zhǎng)為．
故選：A．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·階段練習(xí)）在中，，對(duì)角線交于點(diǎn)O，，則的長(zhǎng)是（ ）

A．B．3C．D．5
【答案】A
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．由平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明是直角三角形，且，然后根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，，
∵，即，
∴是直角三角形，且，
∴，
故選：A．
2．（23-24八年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）在中，，平分交于點(diǎn)E，平分交于點(diǎn)F，且，則的長(zhǎng)為 （ ）
A．4B．6C．6或8D．4或6
【答案】D
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)平行加角平分線，得到均為等腰三角形，分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
如圖①，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)：，
∴；

如圖②，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，
∴

綜上：或；
故選D．
題型04 利用平行四邊形的性質(zhì)求面積
【例題】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O，且點(diǎn)E，H在邊上，點(diǎn)G，F(xiàn)在邊上，則陰影部分的面積與的面積比值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本題主要考查了平行四邊形的對(duì)稱性，將陰影部分的面積進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得和關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，即可，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】
解：∵四邊形為平行四邊形，
∴和關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，
∴，
∴，
∴陰影部分的面積與的面積比值是．
故選：C．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，直線過(guò)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)O，分別交于E、F，若平行四邊形的面積是12，則與的面積之和為 ．
【答案】3
【分析】
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，進(jìn)而可證明得到，則．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：3．
2．（22-23八年級(jí)下·遼寧撫順·期中）如圖，在中，P是邊上一點(diǎn)．已知，，則的面積是 cm2．

【答案】12
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得，則，得，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型05 利用平行四邊形的性質(zhì)求坐標(biāo)
【例題】（23-24八年級(jí)下·福建廈門·階段練習(xí)）在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分可知點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D分別關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求出a、b的值，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D分別關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若?的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、、，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，正確建立坐標(biāo)系畫出平行四邊形是解題關(guān)鍵．根據(jù)圖形，得出C點(diǎn)橫縱坐標(biāo)即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)，
四邊形是平行四邊形，
，且．
，即．
，即．
，，
．
故答案為：．
2．（23-24八年級(jí)下·四川廣元·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系里，，若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．
【答案】或或
【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握①數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，②分類討論方法的運(yùn)用．根據(jù)題意畫出符合條件的三種情況，根據(jù)圖形結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，A、B、C的坐標(biāo)求出即可．
【詳解】解：如圖，
如圖有三種情況：①平行四邊形，
∵，
∴，
∴，
則D的坐標(biāo)是；
②平行四邊形，
∵，
∴，
∴，
則D的坐標(biāo)是；
③平行四邊形，
∵，
∴的縱坐標(biāo)是，橫坐標(biāo)是，
則D的坐標(biāo)是，
故答案為或或．
題型06 利用平行四邊形的性質(zhì)得結(jié)論（多結(jié)論問(wèn)題）
【例題】（23-24八年級(jí)下·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分，交BC于點(diǎn)E，且，連接，下列結(jié)論①；②；③；④；其中成立的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可證明為等邊三角形，由，可判斷①，
由，，得，故②正確，設(shè)，則，對(duì)，運(yùn)用勾股定理即可判斷③，利用三角形中線的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積可求解判斷④．
【詳解】解：四邊形為平行四邊形，，
，，，，
，，
平分，
，
為等邊三角形，
，，
，
，
，
，故①正確；
∵，，
∴，故②正確；
，，
，
設(shè)，則，在中，，
∴，
∴在中，，
∴，∴，故③正確；
，，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，故④正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，連接，，，下列結(jié)論：①；②為等腰直角三角形； ③；④，其中正確的個(gè)數(shù)有 （ ）
A．1 個(gè)B．2 個(gè)C．3 個(gè)D．4 個(gè)
【答案】C
【分析】①延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和即可得到；②先證明，得，又有，可得，即可得到為等腰直角三角形；③過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，再根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，可得成立；④過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)勾股定理即可證明，可知結(jié)論不成立．
【詳解】解：①延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故①正確；
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴為等腰直角三角形，
故②正確；
∵，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，
過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，則為等腰直角三角形，
∴，
由等腰直角三角形可知，，
∴，
故③正確；
由勾股定理可知，，則，
過(guò)點(diǎn)作于，則，
∵，
∴，
∴，
則，，
∴，
故④不正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形．
2．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，，直線過(guò)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連，的周長(zhǎng)等于，下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
；；；．
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】D
【分析】由的周長(zhǎng)等于，可得，即得到，根據(jù)等腰三角形三線合一得到，即可判斷；過(guò)點(diǎn)作，交與，證明，得到，同理可得，，，再由三角形的面積即可判斷；過(guò)點(diǎn)于，交于，可得，即可判斷；過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由平行線可得，進(jìn)而可得，得到，由勾股定理可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，求出進(jìn)而可得的長(zhǎng)，即可判斷；正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵的周長(zhǎng)等于，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴為等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴，故正確；
過(guò)點(diǎn)作于M，交與，
∵，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，故正確；
過(guò)點(diǎn)作于，交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故正確；
過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，故正確；
∴說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有個(gè)，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．
題型07 利用平行四邊形的性質(zhì)求折疊問(wèn)題
【例題】（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E為平行四邊形中邊上一點(diǎn)，將沿折疊至處，，，則的大小為 ．
【答案】/30度
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及折疊的性質(zhì)，分別求出的度數(shù)，互補(bǔ)求出的度數(shù)，利用進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，
∴；
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，在中，將沿折疊后，點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處．若，則為 ．
【答案】4
【分析】
本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
由折疊的性質(zhì)與題意可得，，由，可知，則，，進(jìn)而可求的值．
【詳解】
解：由折疊的性質(zhì)可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：4．
2．（2023·江蘇泰州·一模）如圖，在中，，，、分別是邊、上一點(diǎn)，且，將沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】
此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
設(shè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)得，，，則，由折疊得，，，所以，而，則，所以是等邊三角形，則，所以，即可推導(dǎo)出，則，于是得到問(wèn)題的答案．
【詳解】
解：設(shè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，
四邊形是平行四邊形，，，
，，，，
，
由折疊得，，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
故答案為：．
題型08 利用平行四邊形的性質(zhì)求動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
【例題】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，平行四邊形中，對(duì)角線， 點(diǎn)M沿方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則平行四邊形的面積是（ ）
A．20B．10C．15D．12
【答案】D
【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象的性質(zhì)，結(jié)合圖象分析題意是解題關(guān)鍵．由圖2得，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C處時(shí)，，即，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，，即，在中，利用勾股定理求出，再用平行四邊形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：由圖2得，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C處時(shí)，，即，
∴，
當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，，即，
在中，，即，
∴，
∴，
∴的面積是．
故選：D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)從四條邊都相等的的頂點(diǎn)出發(fā)，沿以的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，圖是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨時(shí)間變化的關(guān)系圖象，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題綜合考查了性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，勾股定理，解答過(guò)程中要注意函數(shù)圖象變化與動(dòng)點(diǎn)位置之間的關(guān)系．通過(guò)分析圖象，點(diǎn)從點(diǎn)到用，此時(shí)，的面積為，依此可求的高，再由圖象可知，，應(yīng)用兩次勾股定理分別求和．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)
∵的四條邊都相等，
∴．
由圖象可知，點(diǎn)由點(diǎn)到點(diǎn)用時(shí)為，的面積為．
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)，用時(shí)為
，
中，
，
的四條邊都相等，
，
中，
，
解得：
故選：C．
2．（23-24九年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，厘米，厘米，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒厘米的速度，沿在平行四邊形的邊上勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為平方厘米，下列圖中表示與之間函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象問(wèn)題,涉及平行四邊形性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)．由平行四邊形性質(zhì)得到厘米，點(diǎn)速度為每秒厘米，則點(diǎn)在上時(shí)，時(shí)間滿足的取值范圍為，觀察符合題意的、、的圖象，即點(diǎn)在處時(shí)，的面積各不相同，求得此時(shí)的面積，即可找到正確選項(xiàng)．判斷出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)的時(shí)間及此時(shí)的面積是解決本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，厘米，
厘米，
點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒厘米的速度，
點(diǎn)走完所用的時(shí)間為：秒，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；故排除；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：
，
，
，
厘米，
厘米，
厘米，
平方厘米，
故選：B．
題型09 利用平行四邊形的性質(zhì)證明
【例題】（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是內(nèi)一點(diǎn)，且．
(1)寫出圖中與相等的角，并證明；
(2)求證：
(3)用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)，見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)，見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，由垂直的定義得，然后根據(jù)等式的性質(zhì)可得；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．由平行四邊形的性質(zhì)得，求出可得，然后根據(jù)證明即可證明結(jié)論成立；
（3）由可得，進(jìn)而可證，然后由勾股定理得，從而可得．
【詳解】（1）．
證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
．
，
．
．
即．
（2）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．
四邊形ABCD是平行四邊形，
．
．
．
，
．
在中，．
．
，
．
．
，
．
（3）．
由（2）可得，，
．
在中，，由勾股定理可得，
，
，
，
．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，、分別平分、，交分別于點(diǎn)、．已知平行四邊形的周長(zhǎng)為．
(1)求證：；
(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的面積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】本題考查平行四邊形，全等三角形，角平分線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，即可．
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，則，，，則，根據(jù)、分別平分、，全等三角形的判定和性質(zhì)，即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，則；根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)，則，根據(jù)，即可．
【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵、分別平分、，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵是的角平分線，，
∴，
∵平行四邊形的周長(zhǎng)為，
∴，
∵，
∴．
2．（23-24八年級(jí)下·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，連接．

(1)求證：平分；
(2)若點(diǎn)E為中點(diǎn)，求證：；
(3)若，，，求的面積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)168
【分析】（1）根據(jù)得到，根據(jù)得到，即可證明，問(wèn)題得證；
（2）證明，即可得到，根據(jù)即可證明；
（3）過(guò)點(diǎn)E作于M，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出方程 ，解得，進(jìn)而得到，即可求出．
【詳解】（1）證明：證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）證明：∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，
，
∵，，
∴，
，
∵，
∴；
（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作于M，設(shè)，則．
根據(jù)勾股定理得 ，
解得，
，
．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
一、單選題
1．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
【答案】C
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，由平行和角平分線可得，即可得到，最后根據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】∵，，，
∴，，，
∴，
∵的平分線交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
2．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，，，于點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由平行四邊形可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：．
3．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將平行四邊形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】C
【分析】如圖，作于K，過(guò)E點(diǎn)作于P．可得，可得點(diǎn)E到的距離是，證明；可得，設(shè)，則，，由勾股定理得，再求解即可．
【詳解】解：如圖，作于K，過(guò)E點(diǎn)作于P．
∵，，
∴，，
∵C到的距離和E到的距離都是平行線、間的距離，
∴點(diǎn)E到的距離是，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
由折疊可知，，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
由折疊可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
4．（23-24八年級(jí)下·江蘇·周測(cè)）在中，，平分交邊于點(diǎn)E，平分交邊于點(diǎn)F，若點(diǎn)E與點(diǎn)F的距離為2，則的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．5C．2或5D．3或5
【答案】D
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由平分，得到，等量代換得到，根據(jù)等腰三角形的判定得到，同理，根據(jù)已知條件得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：①如圖1，在中，
∵，
∴，
∵平分交邊于點(diǎn)E，平分交邊于點(diǎn)F，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
②如圖2：在中，
∵，
∴，
∵平分交邊于點(diǎn)E，平分交邊于點(diǎn)F，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴；
綜上所述：的長(zhǎng)為3或5，
故選：D．
5．（23-24八年級(jí)下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，P是內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接、、、，得到、、、，設(shè)它們的面積分別是、、、，給出如下結(jié)論：①，②若，則，③若，則的面積為10；④．其中正確的（ ）
A．①③B．②③C．①②D．②④
【答案】A
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到，，設(shè)點(diǎn)到、、、的距離分別為，然后利用三角形的面積公式列式整理判斷即可得到答案．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
設(shè)點(diǎn)到、、、的距離分別為分別為平行四邊形的邊和邊的高
則
，
又，
，故①正確；
根據(jù)只能判斷，不能判斷，即不能得出，故②錯(cuò)誤；
根據(jù)，能得出的面積為，故③正確；
由題意只能得到無(wú)法得到，故④錯(cuò)誤；
故選：A．
二、填空題
6．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和題意，可以計(jì)算出和的度數(shù)，然后即可計(jì)算出的度數(shù)．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，
，，
，，
，
故答案為：．
7．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形中以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交、于、，分別以點(diǎn)、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】
本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．利用基本作圖得到平分，則，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，接著證明得到，所以，然后利用勾股定理的逆證明證明為直角三角形，，則，最后利用勾股定理可計(jì)算出的長(zhǎng)．
【詳解】
解：由作法得平分，
，
四邊形為平行四邊形，
∴，，，
，
，
，
，
在中，
，，，
，
為直角三角形，，
∵，
，
在中，．
故答案為：．
8．（23-24八年級(jí)下·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交和于點(diǎn)，且，那么圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，證明，進(jìn)而可得陰影部分面積等于平行四邊形面積的一半，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∵平行四邊形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴
同理：
∴陰影部分面積面積,
故答案為：．
9．（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，已知，，將沿翻折至，使點(diǎn)落在平行四邊形所在的平面內(nèi)，連接．若是直角三角形，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】或
【分析】根據(jù)平行四邊形中，，要使是直角三角形，則，，畫出圖形，分類討論，即可．
【詳解】當(dāng)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵沿翻折至，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
設(shè)，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，設(shè)交于點(diǎn)，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵沿翻折至，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
設(shè)，
∴，
∴，
∴
解得：，
∴．
綜上所述，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為或時(shí)，是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形、直角三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形中，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，即可．
10．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，E是的中點(diǎn)，已知，，，，點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為 時(shí)，以點(diǎn)P，A，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
【答案】1或9
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的判定，根據(jù)四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出，，，，根據(jù)平行四邊形的判定得出當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況進(jìn)行討論即可得出答案．
【詳解】解：∵，，，，
∴，，，，
∴，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，；
綜上所述，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為1或9時(shí)，以點(diǎn)P，A，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
故答案為：1或9．
三、解答題
11．（23-24八年級(jí)下·重慶巴南·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線和交于O點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線上，，平分．
(1)若，，求的度數(shù)；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，然后可得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出，最后利用平行線的性質(zhì)得出答案；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，證明，可得，求出，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知是中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)是平面上一點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺畫出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)．
(1)如圖1，點(diǎn)E在的邊上；
(2)如圖2，點(diǎn)E在外．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】本題考查中心對(duì)稱圖形、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握中心對(duì)稱圖形、平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）連接，交于點(diǎn)，再連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；
（2）連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，再連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．
【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)即為所求；
（2）解：如圖2，點(diǎn)即為所求．
13．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，且，F(xiàn)為線段上一點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)若，，，求．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)及等角的補(bǔ)角相等即可證明；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，由（1）所證及，即可證明；
（3）由（2）及已知得，，進(jìn)而得；即可得；證明，則；過(guò)E作于G，分別在中由勾股定理即可求解．
【詳解】（1）證明： ∵四邊形是平行四邊形，
∴；
∵，，
∴；
（2）證明：∵四邊形是平行四邊形
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四邊形是平行四邊形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如圖，過(guò)E作于G，
則，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，題目不難，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是關(guān)鍵．
14．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)連接，證明；
(3)過(guò)點(diǎn)作，垂足為．若的周長(zhǎng)為，求的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)84
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得，由角平分線的性質(zhì)得出，由平行線的性質(zhì)得出，由即可證明；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，從而得出，推出四邊形是平行四邊形，即可得證；
（3）作，由題意得出，再由角平分線的性質(zhì)得出，最后根據(jù)計(jì)算即可得出答案．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
分別平分，
，
，
，
，
在和中，
，
（2）解：，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
；
（3）解：作，
，
的周長(zhǎng)為56
平分，
，
．
15．（23-24八年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以速度沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
(1)用含t的代數(shù)式表示 ；
(2)當(dāng)時(shí)， 求t的值；
(3)請(qǐng)問(wèn)是否存在t的值，使得A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？ 若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)或
(2)
(3)存在，或4
【分析】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
（1）先算出，再結(jié)合點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)方向、速度以及起點(diǎn)，進(jìn)行分類討論，即可作答．
（2）先證四邊形是平行四邊形，可得，列出方程可求解；
（3）分兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可得，列出方程可求解；
【詳解】（1）解：∵，，
∴
點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以速度沿射線運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)在線段上時(shí)，
∴
∵動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，，
∴，
當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，；
（2）解：過(guò)點(diǎn)作于，
四邊形是平行四邊形，，，
，，，
，，
，，
，，
，，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
，
；
（3）解：存在，
當(dāng)為邊時(shí)，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
綜上所述：的值為或4.
16．（23-24九年級(jí)上·北京石景山·期中）如圖1，在中，于E，E恰為BC的中點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)如圖2，點(diǎn)在上，作于點(diǎn)，連結(jié)．求證：；
(3)請(qǐng)你在圖3中畫圖探究：當(dāng)為射線上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)時(shí)，作于點(diǎn)，連結(jié)，線段與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)，
【分析】（1）首先根據(jù)知：，而E是BC的中點(diǎn)，結(jié)合平行四邊形的對(duì)邊相等即可得證．
（2）此題要通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)求解；作，交于，通過(guò)證，來(lái)得到是等腰直角三角形且，由此得證．
（3）輔助線作法和解法同（2），只不過(guò)結(jié)論有所不同而已．
【詳解】（1）證明： ∵，
∴；
∵是中點(diǎn)，
∴，
即；
又∵四邊形是平行四邊形，則；
故．
（2）證明：作，交于；(如圖2)

∵，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，且，
∴，且，
故；
（3）解：如圖3，

①當(dāng)在線段上時(shí)，有，
證明方法類似（2）．
②如圖中，點(diǎn)在上，．

理由：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到
∴，
同（1）可得∶
，
則．
③如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，

證明方法類似（2）．
綜上所述，與之間的數(shù)量關(guān)系為：、
【點(diǎn)睛】此題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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