2.理解增根的概念，會檢驗分式方程的根；
3.會用分式方程解決相關(guān)問題，并進行簡單的應(yīng)用.
知識點01 分式方程的概念
分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據(jù)．
知識點02 分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．
（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．
注意：解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．
知識點03 分式方程的增根
增根：在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．
知識點04 分式方程的應(yīng)用
（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．
每個問題中涉及到三個量的關(guān)系，如：工作時間＝，時間＝等．
（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答．
題型01 分式方程的定義
【例題】（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）下列方程不是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查分式的定義，解答的關(guān)鍵是熟知分式的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
【詳解】解：A、方程分母中含未知數(shù)x，故A是分式方程，不符合題意；
B、方程分母中含未知數(shù)x，故B是分式方程，不符合題意；
C、方程分母中不含未知數(shù)，故C不是分式方程，符合題意；
D、方程分母中含未知數(shù)x，故D是分式方程，不符合題意；
故選：C．
【變式訓(xùn)練】
1．已知方程：
，，，
這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，即可．
【詳解】解：是分式方程；
，是分式方程；
，是分式方程；
，不是分式方程；
∴上述分式方程的個數(shù)是：個．
故選：B．
【點睛】本題考查分式方程的知識，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的定義，學(xué)會判斷分式方程．
2．（2023下·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知方程：①，②，③，④．這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義判斷即可．
【詳解】解：①，是分式方程；
②，是整式方程；
③，是分式方程；
④，是整式方程，
則分式方程的個數(shù)是2．
故選：C．
【點睛】此題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解本題的關(guān)鍵．
題型02 解分式方程
【例題】（2023上·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)無解
【分析】本題考查了解分式方程：
（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】（1）解：，
去分母得：，
解得：，
經(jīng)檢驗是分式方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
即，
解得：，
當時，，
經(jīng)檢驗是增根，分式方程無解．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·黑龍江佳木斯·八年級統(tǒng)考期末）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的步驟是解本題的關(guān)鍵；
（1）先去分母，化為整式方程，再解整式方程并檢驗即可；
（2）先去分母，化為整式方程，再解整式方程并檢驗即可；
【詳解】（1）解：，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
檢驗：當時，，
∴是原方程的根；
（2），
∴，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
檢驗：當時，，
∴是方程的增根，原方程無解．
2．（2023上·山東聊城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)無解
【分析】本題主要考查了解分式方程，對于（1），根據(jù)去分母，移項，合并同類項，求出解，并檢驗；
對于（2），根據(jù)去分母，去括號，移項合并同類項，求出解，并檢驗．
【詳解】（1）去分母得：，
移項，合并同類項，得，
解得：，
經(jīng)檢驗：是分式方程的解；
（2）去分母得：，
去括號得：，
移項合并得：，
解得，.
經(jīng)檢驗：是增根，分式方程無解.
題型03 已知分式方程的增根求參數(shù)
【例題】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，則增根是_______．
【答案】
【分析】根據(jù)使分式的分母為零的未知數(shù)的值，是方程的增根，計算即可．
【詳解】∵關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，
∴，
解得，
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式方程的解法，增根的理解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程有增根，則m的值是_____．
【答案】
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程計算即可求出m的值．
【詳解】解：去分母得：，
解得，
由分式方程有增根，得到，即，
∴，
解得：．
故答案為：．
【點睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程有增根，則的值為___________．
【答案】或
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，整理后根據(jù)一元一次方程無解條件求出m的值；由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【詳解】解：
，
當，即或時，分式方程有增根，
當時，，解得；
當時，，解得；
故m的值是或，
故答案為：或．
【點睛】此題考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的條件是解本題的關(guān)鍵．
題型04 已知分式方程的無解求參數(shù)
【例題】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如果關(guān)于x的方程無解，則a的值為___．
【答案】1或2
【分析】根據(jù)方程無解得出其對應(yīng)的整式方程的解是或整式方程無解，即可求出．
【詳解】解：將方程兩邊同時乘以，
得：，
整理得：，
∵該分式方程無解，
∴或，
∴或，
故答案為：1或2．
【點睛】本題考查了分式方程無解的問題，解題關(guān)鍵是掌握分式方程無解說明了其對應(yīng)的整式方程無解或整式方程的解使分母為零．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·安徽蚌埠·七年級蚌埠第三十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）①若關(guān)于的方程有增根，則增根是______．
②若關(guān)于的方程無解，則的值為______．
【答案】 4 2或3
【分析】根據(jù)分式方程有增根，即分母為0進行求解即可；
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根確定出a的值即可．
【詳解】解：①∵分式方程有增根，
∴，
∴，
故答案為：4；
②
去分母得：，
移項得：，
合并同類項得：，
當，即時，無解，分式方程無解；
當時，系數(shù)化為1得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴，
解得，
經(jīng)檢驗，是的解，
∴，
綜上可知，或，
故答案為：2或3；
【點睛】本題主要考查了分式方程有增根的情況，熟知分式方程有增根的情況是分式方程分母為0．
2．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為______．
【答案】或或
【分析】直接解方程再利用一元一次方程無解和分式方程無解分別分析得出答案．
【詳解】解：
去分母得：，
可得：，
當時，一元一次方程無解，
此時；
當，時，分式方程無解，
解得：或；
故答案為：或或．
【點睛】本題主要考查了分式方程的解，正確分類討論不要漏解是解題關(guān)鍵．
題型05 根據(jù)分式方程解的情況求值
【例題】（2023春·福建泉州·八年級校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)．則m的取值范圍是________．
【答案】且
【分析】將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有正數(shù)解，即可確定出m的范圍．
【詳解】解：去分母得：，
解得：，
∵分式方程解為正數(shù)，
∴，且，
解得：且，
故答案為：且．
【點睛】此題考查了分式方程的解，始終注意分母不為0這個條件．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的方程的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是____________．
【答案】且
【分析】解分式方程，可用表示，再根據(jù)題意得到關(guān)于的一元一次不等式即可解答．
【詳解】解：解，可得，
的方程的解為非負數(shù)，
，
解得，
，
，
即，
的取值范圍是且，
故答案為：且．
【點睛】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求值，注意分式方程無解的情況是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程的解為正整數(shù)，則正數(shù)m的值是 _____．
【答案】6或9
【分析】先按照解分式方程的步驟求出，再根據(jù)結(jié)合分式方程的解為正整數(shù)進行求解即可．
【詳解】解：
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：，
∵，即，
∴，
∴，
∵分式方程有正整數(shù)解，
∴正數(shù)m的值是6或9．
故答案為：6或9．
【點睛】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，正確求出方程的解為是解題的關(guān)鍵．
題型06 列分式方程
【例題】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考三模）已知甲廠燒100噸煤與乙廠燒120噸煤所用的天數(shù)相同，已知甲、乙兩廠每天一共燒煤33噸，求甲、乙兩廠每天分別燒煤多少噸？若設(shè)甲廠每天燒噸煤，則根據(jù)題意列方程為___________．
【答案】
【分析】設(shè)甲廠每天燒噸煤，則乙廠每天燒噸煤，根據(jù)甲廠燒100噸煤與乙廠燒120噸煤所用的天數(shù)相同列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)甲廠每天燒噸煤，則乙廠每天燒噸煤，根據(jù)題意得：
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了列分式方程，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系式，并用未知數(shù)表示出等量關(guān)系式．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）某地開展建設(shè)綠色家園活動，活動期間，計劃每天種植相同數(shù)量的樹木，該活動開始后，實際每天比原計劃每天多植樹40棵，實際植樹400棵所需時間與原計劃植樹320棵所需時間相同．設(shè)實際每天植樹x棵，則可列方程為______．
【答案】
【分析】設(shè)實際每天植樹棵，則原計劃每天植樹棵，根據(jù)“實際植樹400棵所需時間與原計劃植樹320棵所需時間相同”列出分式方程即可．
【詳解】解：設(shè)實際每天植樹棵，則原計劃每天植樹棵，
根據(jù)題意，得．
故答案為：．
【點睛】此題考查了由實際問題列分式方程，關(guān)鍵在尋找相等關(guān)系，列出方程．
2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢馬送，需要的時間比規(guī)定的時間多1天；如果用快馬送，需要的時間比規(guī)定的時間少3天．已知快馬的速度是慢馬速度的2倍，求規(guī)定的時間．設(shè)規(guī)定的時間為天，則可列方程為______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，先得到慢馬和快馬送的時間，再根據(jù)快馬的速度是慢馬速度的2倍列方程即可．
【詳解】解：設(shè)規(guī)定的時間為天，則慢馬送的時間為天，快馬送的時間為天，
根據(jù)題意，得，
故答案為：．
【點睛】本題考查列分式方程，理解題意，找到等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．
題型07 分式方程的實際應(yīng)用
【例題】（2023·吉林白山·校聯(lián)考三模）第5代移動通信技術(shù)簡稱5G，某地已開通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測試5G下載速度是4G下載速度的16倍，小明和小強分別用5G與4G下載一部960兆的公益片，小明比小強所用的時間快150秒，求該地4G與5G的下載速度分別是每秒多少兆？
【答案】該地4G的下載速度是每秒6兆，則該地5G的下載速度是每秒96兆
【分析】首先設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒兆，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：4G下載960兆所用時間-5G下載960兆所用時間秒．然后根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，再解即可．
【詳解】解：設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒兆，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原分式方程的解，且符合題意，
則，
答：該地4G的下載速度是每秒6兆，則該地5G的下載速度是每秒96兆．
【點睛】本題主要考查的是分式方程的應(yīng)用；解答此題，首先確定5G與4G下載的速度關(guān)系，再根據(jù)題意找出下載960兆的公益片所用時間的等量關(guān)系．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）水碧萬物生，岳陽龍蝦好．小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是，今年龍蝦的總產(chǎn)量是，且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．
【答案】今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．
【分析】設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是x，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是，根據(jù)去年與今年的養(yǎng)殖面積相同列出分式方程，解方程并檢驗即可．
【詳解】解：設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是x，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是，
由題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解且符合題意，
答：今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．
【點睛】此題考查了分式方程的實際應(yīng)用，讀懂題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習(xí)）2023年5月，江西省突發(fā)港澇災(zāi)?，為響應(yīng)政府救援號召，甲、乙兩公司組織全體員工參與“眾志成城，人間大愛”捐款活動，甲公司共?款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對話：

(1)甲、乙兩公司各有多少人？
(2)現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買、兩種防疫物資，種防疫物資每箱15000元，種防疫物資每箱12000元．若購買種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？（注：、兩種防疫物資均需購買，并按整箱配送）．
【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人
(2)有2種購買方案：購買8箱種防疫物資、10箱種防疫物資，或購買4箱種防疫物資、15箱種防疫物資
【分析】（1）設(shè)乙公司有x人，則甲公司有人，根據(jù)對話，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
（2）（2）設(shè)購買種防疫物資箱，購買種防疫物資箱，根據(jù)甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根據(jù)整數(shù)解，約束出m、n的值，即可得出方案．
【詳解】（1）解：設(shè)乙公司有人，則甲公司有人，
由題意得
，
解得．
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
∴．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）解：設(shè)購買種防疫物資箱，購買種防疫物資箱，由題意得
，整理得．
又因為，且、為正整數(shù)，
所以，．
答：有2種購買方案：購買8箱種防疫物資、10箱種防疫物資，或購買4箱種防疫物資、15箱種防疫物資．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，方案問題，二元一次方程整數(shù)解問題，找準等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
一、單選題
1．（23-24八年級上·天津紅橋·期末）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原方程去分母得：，
去括號得：，
移項，合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：，
檢驗：將代入得，
故原方程的解為，
故選：C．
2．（23-24八年級上·山東聊城·階段練習(xí)）下列關(guān)于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】A
【分析】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解題的關(guān)鍵；
根據(jù)分式方程的定義逐個分析判斷即可．
【詳解】分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；
分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；
關(guān)于x的方程分母b是常數(shù)，分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；
關(guān)于x的方程分母a是常數(shù)，分母中不含有未知數(shù)，不是分式方程；
分母中是常數(shù)，不含有未知數(shù)，故不是分式方程；
綜上所述：是分式方程的有1個；
故選：A．
3．（22-23八年級上·山東威?！て谀┙夥质椒匠虝r，去分母后得到的整式方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了分式方程的知識，理解并掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵．等式兩邊同時乘以，即可獲得答案．
【詳解】解：解分式方程時，
去分母后得到的整式方程是．
故選：A．
4．（23-24九年級上·山東淄博·期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）
A．B．C．D．無法確定
【答案】A
【分析】本題考查了分式方程的增根，解題的關(guān)鍵是令最簡公分母為0，求出增根．
首先分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)分式方程有增根，確定x的值，把x的值代入整式方程計算即可．
【詳解】
整理得：，
去分母，得：，
即，
原分式方程有增根，
，即，
當時，，
，
故選：A
5．（23-24九年級下·福建福州·開學(xué)考試）學(xué)校舉辦以“強體質(zhì)，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報名參加3千米比賽項目，經(jīng)過一段時間訓(xùn)練后，比賽時小亮的平均速度提高到原來的1.2倍，少用3分鐘跑完全程，設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x千米／時，那么滿足的分式方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程．根據(jù)比賽時小亮的平均速度提高到原來的1.2倍，可得比賽時小亮平均速度為千米/時，根據(jù)比賽時所用時間比訓(xùn)練前少用3分鐘即小時，列出方程即可．
【詳解】解：∵比賽時小亮的平均速度提高到原來的1.2倍，小亮訓(xùn)練前的平均速度為x千米/時，
∴比賽時小亮平均速度為千米/時，
根據(jù)題意可得，
故選：A．
二、填空題
6．（23-24九年級下·北京·階段練習(xí)）方程的解是 ．
【答案】
【分析】
本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
解分式方程的步驟：①去分母；②解整式方程；③檢驗．
【詳解】解：
，
，
經(jīng)檢驗：是原方程的解，
∴原方程的解為．
故答案為：．
7．（2023·山東菏澤·二模）若關(guān)于的分式方程無解，則的值是 ．
【答案】1或/或1
【分析】
本題考查了分式方程無解問題，正確求解分式方程是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：方程兩邊同時乘以得：
，
解得：
∵分式方程無解，
∴或或
解得：1或
故答案為：1或
8．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）關(guān)于x的分式方程的解是非負數(shù)，則m的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題考查了解分式方程以及解一元一次不等式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先算分式方程得出且，結(jié)合解是非負數(shù)，列式，即可作答．
【詳解】解：原方程去分母得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵關(guān)于x的分式方程的解是非負數(shù)，
∴，即，
解得：，
又∵，
∴m的取值范圍是且
故答案為：且
9．（2023·四川內(nèi)江·二模）對于實數(shù)，，定義運算“”如下：，例如．若，則的值為 ．
【答案】
【分析】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．
已知等式利用題中的新定義化簡，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】解：已知等式變形得：，即，
解得：，
經(jīng)檢驗是分式方程的解，
則的值為．
故答案為：．
10．（23-24九年級下·重慶渝北·階段練習(xí)）若關(guān)于的一元一次不等式組有且僅有個奇數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解是整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)的值之和為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元一次不等式組的解，分式方程的解，先求出一元一次不等式組的解，得到，根據(jù)一元一次不等式組有且僅有個奇數(shù)解，得到，即可得到，又根據(jù)分式方程的解是整數(shù)，可得到整數(shù)的值，相加即可求解，由分式方程的解確定出的值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：解不等式組得，，
∵一元一次不等式組有且僅有個奇數(shù)解，
∴這個奇數(shù)解為和，
∴，
解得，
由分式方程得，，
∵分式方程的解是整數(shù)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴滿足條件的所有整數(shù)的值之和為，
故答案為：．
三、解答題
11．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)無解
【分析】
本題考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母，化為整式方程求解，求出未知數(shù)的值后不要忘記檢驗．
（1）兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗根即可．
（2）兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗根即可．
【詳解】（1）
方程兩邊乘，
得，
解得．
檢驗：當時，，
所以原分式方程的解為．
（2），
方程兩邊乘，
得，
解得．
檢驗：當時，．
因此不是原分式方程的解，
所以原分式方程無解．
12．（22-23八年級上·甘肅平?jīng)觥て谀┙庀铝蟹质椒匠?br>(1)
(2)
【答案】(1)
(2)無解
【分析】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
（1）方程兩邊同乘，然后可求解方程；
（2）方程兩邊同乘，然后可求解方程．
【詳解】（1）
解得
檢驗：將代入
∴原方程的解為；
（2）
解得
檢驗：將代入
∴是原方程的增根
∴原方程無解．
13．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）已知關(guān)于x的分式方程無解，求a的值．
【答案】3或或
【分析】
本題考查了根據(jù)分式方程的無解求參數(shù)的值，分兩種情況求解是解答本題的關(guān)鍵．①去分母后所得整式方程無解；②解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．將原方程化為整式方程，求出未知數(shù)的值代入該整式即可的到k的值．
【詳解】
解：方程兩邊都乘，得，
整理，得．①
當，，
即時，方程①無解，則原方程無解；
當，即時，
∵原分式方程無解，
∴，即或．
把代入①，得，
把代入①，得．
綜上，a的值為或3或．
14．（23-24八年級·全國·隨堂練習(xí)）閱讀下列材料：
方程的解為，
方程的解為x=2，
方程的解為，
……
(1)根據(jù)上述規(guī)律，可知解為的方程為_________；
(2)通過解分式方程說明你寫的方程是正確的．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查根據(jù)分式方程的特點與解的規(guī)律來寫分式方程，觀察所給的材料信息時，要注意從特殊形式到一般形式的規(guī)律與特征．
（1）由具體的分式方程發(fā)現(xiàn)左右兩邊分母之差為1，再結(jié)合方程的解構(gòu)建方程即可；
（2）先把方程的左右兩邊通分計算減法運算，再去分母解方程并檢驗即可．
【詳解】（1）解：∵方程的解為，
方程的解為，
方程的解為，
∴解為的方程為：
（2）
方程可變形為，
∴，
∴，
∴，
解得．
檢驗：當時，，
∴是原分式方程的解．
15．（2023·云南紅河·一模）“母親節(jié)”來臨之際，某花店打算使用不超過元的進貨資金購進百合與康乃馨兩種鮮花共束進行銷售．百合與康乃馨的進貨價格分別為每束元、元，百合每束的售價是康乃馨每束售價的倍，若消費者用元購買百合的數(shù)量比用元購買康乃馨的數(shù)量少束．
(1)求百合與康乃馨兩種鮮花的售價分別為每束多少元；
(2)花店為了讓利給消費者，決定把百合的售價每束降低元，康乃馨的售價每束降低元．求花店應(yīng)如何進貨才能獲得最大利潤．（假設(shè)購進的兩種鮮花全部銷售完）
【答案】(1)康乃馨的售價為每束元，百合的售價為每束元；
(2)購進百合束，購進康乃馨束．
【分析】本題考查了分式方程，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和函數(shù)關(guān)系式．
（）設(shè)康乃馨的售價為每束元，根據(jù)消費者用元購買百合的數(shù)量比用元購買康乃馨的數(shù)量少束得：，解方程并檢驗可得答案；
（）設(shè)購進百合束，根據(jù)使用不超過元的進貨資金購進百合與康乃馨兩種鮮花，有，，設(shè)花店獲得利潤為元，可得：，再根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得答案；
【詳解】（1）設(shè)康乃馨的售價為每束元，則百合的售價為每束元；
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
∴，
答：康乃馨的售價為每束元，百合的售價為每束元；
（2）設(shè)購進百合束，則購進康乃馨束，
∵使用不超過30000元的進貨資金購進百合與康乃馨兩種鮮花，
∴，
解得，
設(shè)花店獲得利潤為元，
根據(jù)題意得：，
∵，
∴隨的增大而增大，
∴當時，取最大值（元），
此時，
答：購進百合束，購進康乃馨束．
16．（23-24八年級下·湖南長沙·階段練習(xí)）如果分式M與分式N的差為常數(shù)k，且k為正整數(shù)，則稱M為N的“差整分式”，常數(shù)k稱為“差整值”．如分式，，，故M為N的“差整分式”，“差整值”．
(1)以下各組分式中，A為B的“差整分式”的是__________（填序號）；
①，， ②，， ③，；
(2)已知分式，，C為D的“差整分式”，且“差整值”，
①求G所代表的代數(shù)式；
②若x為正整數(shù)，且分式D的值為負整數(shù)，求x的值；
(3)已知分式，（其中m為常數(shù)），是否存在m使得P為Q的“差整分式”？若存在，請求出m的值及其“差整值”；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)②
(2)①；②
(3)不存在，理由見解析
【分析】
本題考查的是新定義運算的理解，分式的加減運算，理解題意是解本題的關(guān)鍵．
（1）分別計算出，然后根據(jù)“差整分式”定義判斷即可；
（2）①根據(jù)“差整分式”定義列出關(guān)于G的方程，然后求解即可；
②由，x為正整數(shù)，且分式D的值為負整數(shù)，得出，從而可得答案；
（3）先求出，然后假設(shè)P為Q的“差整分式”求出m的值，再把m的值代入，求出“差整值”，最后根據(jù)“差整值”定義判斷即可．
【詳解】（1）解：①，
∴A不是B的“差整分式”；
②
，
∴A為B的“差整分式”；
③
，
∴A不是B的“差整分式”，
故答案為：②；
（2）解：∵分式，，C為D的“差整分式”，且“差整值”，
∴，
∴；
②
，
∵x為正整數(shù)，且分式D的值為負整數(shù)，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴
，
若P為Q的“差整分式”
則，
解得，經(jīng)檢驗m是分式方程的解，
∴，
∵不是正整數(shù)，
∴不存在m使得P為Q的“差整分式”．

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