初中北師大版（2024）2 平行四邊形的判定課時(shí)訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．掌握平行四邊形的判定定理；(重點(diǎn))
2．綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)與判定定理1、2解決問題．(難點(diǎn))
知識點(diǎn)01 平行四邊形的判定定理
【知識點(diǎn)】
平行四邊形的判定：主要根據(jù)平行四邊形的定義、性質(zhì)進(jìn)行，如下圖，有四邊形ABCD：
（1）判定方法1（定義）：兩組對邊平行的四邊形，即AD∥BC，AB∥DC.
（2）判定方法2（邊的性質(zhì)）：兩組對邊相等的四邊形，即AD=BC，AB=DC.
（3）判定方法3（邊的性質(zhì)）：一組對邊相等且平行的四邊形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC.
（4）判定方法4（角的性質(zhì)）：兩組對角相等的四邊形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.
（5）判定方法5（對角線的性質(zhì)）：兩組對角線相互平分的四邊形，即AO=CO且BO=DO.
注： = 1 \* GB3 ①平行四邊形的判定，需要邊、角、對角線相關(guān)的2個(gè)條件（相等、平行）；
= 2 \* GB3 ②判定方法3中，必須要求是同一對邊平行且相等判定為平行四邊形.若四邊形中，一對邊平行，另一對邊相等，是無法判定為平行四邊形的.
題型01 判斷能否構(gòu)成平行四邊形
【例題】（23-24八年級下·廣東珠?！るA段練習(xí)）如圖，四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】本題考查平行四邊形的判定．解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定方法：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，據(jù)此依次對各選項(xiàng)逐一分析即可作出判斷．
【詳解】解：A．，，根據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”可以判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．，，不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；
C．，，根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可以判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．，，根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形” 可以判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級下·江蘇泰州·期中）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點(diǎn)，下列四個(gè)選項(xiàng)中不能判定四邊形是平行四邊形的是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】本題考查了平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判定定理，結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)分析，即可求解．
【詳解】解：A. ∵，，
∴
∴，
∴四邊形是平行四邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；
B. 根據(jù)，，不能判斷四邊形是平行四邊形，故該選項(xiàng)符合題意；
C. ∵，
∴四邊形是平行四邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；
D. ∵，
∴，
又
∴
∴
∴四邊形是平行四邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
2．（2024·河北石家莊·一模）如圖，已知線段和射線，且，在射線上找一點(diǎn)C，使得四邊形是平行四邊形，下列作法不一定可行的是（）
A．過點(diǎn)D作與交于點(diǎn)C
B．在下方作與交于點(diǎn)C，使
C．在上截取，使，連接
D．以點(diǎn)D為圓心，長為半徑畫弧，與交于點(diǎn)C，連接
【答案】D
【分析】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了平行四邊形的判定．根據(jù)基本作圖和平行四邊形的判定方法對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A．由作法得，而，則四邊形是平行四邊形，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B．由作法得，由得，則，所以，則四邊形是平行四邊形，所以B選項(xiàng)不符合題意；
C．由作法得，而，則四邊形是平行四邊形，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D．由作法得，而，則四邊形不一定是平行四邊形，所以D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
題型02 添一個(gè)條件成為平行四邊形
【例題】（23-24八年級下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，請?zhí)砑右粋€(gè)條件：，使四邊形成為平行四邊形．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】本題考查了平行四邊形的判定，熟記平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】添加條件為：，理由如下：
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
故答案為：（答案不唯一）．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23八年級下·黑龍江齊齊哈爾·期中）在四邊形中，，請?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形是平行四邊形．添加的條件是．
【答案】
【分析】本題主要考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)對角線互相平分的四邊形為平行四邊形解題即可．
【詳解】解：由于對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，
，
故添加條件為：．
故答案為：．
2．（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，在四邊形中，是邊上一點(diǎn)，連接并延長，與的延長線相交于點(diǎn)．請你再添加一個(gè)條件：，使四邊形是平行四邊形（寫出一種情況即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】略
題型03 證明四邊形是平行四邊形
【例題】（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在中，E、F為對角線上兩點(diǎn)，．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】見解析
【分析】本題考查了平行四邊形的判定，結(jié)合條件活用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．連接，交于點(diǎn)，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明．
【詳解】如圖，連接，交于點(diǎn)，

∵四邊形是平行四邊形，
，，
∵，
，
，
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級下·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，四邊形對角線交于點(diǎn)O，且O為中點(diǎn)，，，求證：四邊形是平行四邊形．

【答案】見詳解
【分析】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等得出對應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵．
由已知條件和平行線的性質(zhì)得出，，由證明，得出對應(yīng)邊相等，即可證出四邊形是平行四邊形．
【詳解】證明：為中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形．
2．（2024·湖南岳陽·二模）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，上，，分別交，于點(diǎn)，．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】證明見解析．
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，先利用平行四邊形的性質(zhì)得，，又然后，從而可得，由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵
∴四邊形是平行四邊形．
題型04 利用平行四邊形的判定和性質(zhì)求解
【例題】（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在上，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，平分，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、角直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識，證明四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
（1）首先根據(jù)得到，然后結(jié)合即可證明出四邊形是平行四邊形；
（2）利用角直角三角形的性質(zhì)求得的長，再利用角直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
由勾股定理得，即，
解得，
∵四邊形是平行四邊形，
∴．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·吉林·期末）如圖，在中，，于點(diǎn)D，延長到點(diǎn)E，使，過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)F，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，直接寫出的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）證，得，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，再由等腰三角形的性質(zhì)得，則，進(jìn)而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的長即可．
【詳解】（1）證明：，
，
在與中，
，
，
,
又，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：由（1）可知四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．（22-23八年級下·江西宜春·階段練習(xí)）如圖所示，將的邊延長至點(diǎn)，使，連接，是邊的中點(diǎn)，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用已知得出，，進(jìn)而得出答案；
（2）首先過點(diǎn)作于點(diǎn)，再利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出的長，進(jìn)而得出答案．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，是邊的中點(diǎn)，
，，
四邊形是平行四邊形
（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由（1）得：四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是平行四邊形，，
，，，
，
，
在中，，
，
又是邊的中點(diǎn)，
，
，
在中，，
．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等、直角三角形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．
題型05 利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明
【例題】（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知：如圖，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)E，A，C，F(xiàn)在同一直線上，．
(1)求證：；
(2)連接、，求證：四邊形為平行四邊形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)四邊形為平行四邊形，得到，繼而得到，結(jié)合得到，證明即可．
（2）根據(jù)，得到，繼而得到即可證明四邊形為平行四邊形．本題考查了三角形全等的判定，平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形．
．
【變式訓(xùn)練】
1．（2024·廣東江門·一模）如圖，，E、F分別是邊上一點(diǎn)，且，直線分別交延長線、延長線于O、H、G．
(1)求證：．
(2)分別連接，試判斷與的關(guān)系，并證明．
【答案】(1)見解析
(2)，，理由見解析
【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)．
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，利用即可證明；
（2）由（1）知，得到，根據(jù)，即可得到四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
；
（2）證明：如圖，連接，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，．
2．（2024·貴州·一模）如圖，中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)在上，且．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；
(2)若，求四邊形的周長；
(3)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，判斷和的大小關(guān)系并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形的周長為
(3)，理由見解析
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)．
（1）根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分即可求解；
（2）根據(jù)平行四邊形的對邊分別相等，結(jié)合，，即可求解；
（3）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余和等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）證明：，，
四邊形是平行四邊形；
（2）四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
平行四邊形的周長為：；
（3），
，
即，
中，，
，
，
，
．
題型06 平行四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用
【例題】（22-23八年級下·陜西渭南·期末）問題背景：如圖，在等邊中，、兩點(diǎn)分別在邊、上，，以為邊作等邊，連接，，．

問題探究：
(1)求證：為等邊三角形；
(2)求證：四邊形為平行四邊形；
(3)若，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)．
【分析】（）證，得，，再證，即可得出結(jié)論；
（）由等邊三角形的性質(zhì)得，，再證，然后證，即可得出結(jié)論；
（）過作于，由（）可知，再由等邊三角形的性質(zhì)得，然后用面積公式即可求解．
【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等邊三角形；
（2）證明：由（）可知，是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（3）解：如圖，過作于，則，

由（）可知，，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定定理、平行四邊形的判定定理、解直角三角形、含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23八年級下·福建漳州·期末）如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)（），過點(diǎn)，分別作射線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，．點(diǎn)在的延長線上，且．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；
(2)若，的周長為24，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行線的判定可得，，根據(jù)平行四邊形的判定即可求證；
（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，推得，設(shè)，則，根據(jù)的周長列式求得，根據(jù)勾股定理求解．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形．
（2）解：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴．
設(shè)，則，
∴，．
∵的周長為，
∴，
在中，，
∴．
解得：，（不合題意，舍去）
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（22-23八年級下·山西太原·階段練習(xí)）已知：在中，于點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：作線段，使交于點(diǎn)；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，連接，，求證：四邊形是平行四邊形；
(3)連接，若，，，則______．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；
（2）由，，可得，再證明，可得，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證；
（3）由直角三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理求得，由（2）可知，則，進(jìn)而求得，再利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求作，

（2）證明：如圖，

，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形．
（3）解：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
在中，，
由（2）知，，
，
，
在中，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
3．（23-24八年級上·吉林白城·期末）如圖：是邊長為6的等邊三角形，P是邊上一動點(diǎn)．由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動（P與點(diǎn)不重合），點(diǎn)Q同時(shí)以點(diǎn)P相同的速度，由點(diǎn)B向延長線方向運(yùn)動（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)D．
(1)若設(shè)的長為x，則，．
(2)當(dāng)時(shí)，求的長；
(3)過點(diǎn)Q作交延長線于點(diǎn)F，則有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由．
(4)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，線段的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段的長；如果變化，請說明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)3
【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練全等三角形判定是解答此題的關(guān)鍵．
（1）由線段和差關(guān)系可求解；
（2）由直角三角形的性質(zhì)可列方程，即可求的長；
（3）由""可證，可得；
（4）連接，由全等三角形的性質(zhì)可證，由題意可證四邊形是平行四邊形，可得．
【詳解】（1）解：是邊長為6的等邊三角形，
設(shè)，則，
故答案為∶；
（2）當(dāng)時(shí)，
是等邊三角形，
，
解得∶，
；
（3），理由如下∶
，
，
又，
，
；
（4）的長度不變．
連接，如圖：
，
，且
四邊形是平行四邊形
一、單選題
1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在中，，分別以點(diǎn)A，C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧在直線上方交于點(diǎn)D，連接，則的度數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】解：由題意得：，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
故選：D．
2．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，四邊形中，，，E、F是對角線上的兩點(diǎn)，如果再添加一個(gè)條件，使，則添加的條件不能是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)所給條件，結(jié)合平行四邊形的各種判定方法逐一判斷即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
；
又，
，
，
；
；
∴四邊形是平行四邊形，故B正確；
∵四邊形是平行四邊形，
；
又，
，
，
，
；
；
；
∴四邊形是平行四邊形，故C正確；
∵四邊形是平行四邊形，
；
又∵，
，
；
；
；
∴四邊形是平行四邊形，故D正確；
添加后，不能得出，進(jìn)而得不出四邊形平行四邊形，
故選：A．
3．（23-24八年級下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線、分別平行于、，與的邊分別交于、、、．則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（）
A．10個(gè)B．9個(gè)C．8個(gè)D．7個(gè)
【答案】B
【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，，
∵過點(diǎn)作直線、分別平行于、，
∴，，
∴四邊形均為平行四邊形，
∴加上共9個(gè)．
故選B．
4．（2023·貴州銅仁·三模）如圖，平行四邊形中以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于，分別以點(diǎn)為圓心大于長為半作弧，兩弧交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，若，則的長為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查基本作圖-作角平分線，掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識是解題的關(guān)鍵．
如圖，過點(diǎn)作交于．證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理證明，推出，利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交于．
四邊形是平行四邊形，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：D．
5．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在四邊形中是的中點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿向點(diǎn)B運(yùn)動．點(diǎn)P停止運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間t為（）秒時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
A．1B．C．1或D．或2
【答案】C
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．
分別從當(dāng)運(yùn)動到和之間、當(dāng)運(yùn)動到和之間去分析求解即可求得答案．
【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，
由題意可知：，則，
①當(dāng)運(yùn)動到和之間，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，
∴，
解得：；
②當(dāng)運(yùn)動到和之間，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，
解得：，
∴當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為1秒或3.5秒時(shí)，以點(diǎn)，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
故選：C．
二、填空題
6．（22-23八年級下·山東青島·期末）如圖所示，在中，A、C分別為邊、上的點(diǎn)，請?jiān)谀壳皥D形中添加一個(gè)條件，使四邊形是平行四邊形．

【答案】
【分析】在中可得,即，添加，滿足一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
【詳解】解：添加條件，
四邊形是平行四邊形，
，
即，
，
四邊形是平行四邊形．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．
7．（23-24八年級下·四川成都·階段練習(xí)）已知一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在ED的延長線上，，，，，若，則DC的長為．

【答案】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．過點(diǎn)C作于F，過點(diǎn)A作于H，可得四邊形是平行四邊形，從而得到，，再由是等腰直角三角形，可得，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)C作于F，過點(diǎn)A作于H，

∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
8．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，．則四邊形的面積是．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可作答．
【詳解】
又，
四邊形是平行四邊形
四邊形的面積：
故答案為：．
9．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，在中，，連接，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)F，若，則．
【答案】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
先根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，由此即可得．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，
∴，，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2．
10．（23-24八年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖，在中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，將三角形沿折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)以E，F(xiàn)，，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，線段的長為．
【答案】2或
【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，分如圖1，四邊形是平行四邊形，如圖2，四邊形是平行四邊形，兩種情況利用折疊的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：如圖1，四邊形是平行四邊形，
∵，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，
∴，
由折疊得，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴ ；
如圖2，四邊形是平行四邊形，作于點(diǎn)G，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，
∴，
綜上所述，線段的長為2或，
故答案為：2或．
三、解答題
11．（2024八年級下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若的面積為，直接寫出四邊形的面積．
【答案】(1)見解析；
(2)．
【分析】（）由平行四邊形的性質(zhì)得，，再證，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（）由平行四邊形的性質(zhì)得，再由三角形面積關(guān)系得，然后由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，分別是，的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵的面積為，
∴，
∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，
∴，
∴，
由（1）可知，四邊形是平行四邊形，
∴．
12．（23-24八年級下·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖：，和均為直線同側(cè)的等邊三角形，點(diǎn)P在內(nèi)．
(1)求證：四邊形為平行四邊形；
(2)若中，，，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）證明，即可；
（2）過作垂直的延長線于，依據(jù)，，即可得出四邊形是平行四邊形，由勾股定理的逆命定理證得，求出，再由的直角三角形性質(zhì)求出的長，最后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明：，是等邊三角形，
，，，
，
，
，
，
，
同理，
四邊形是平行四邊形．
（2）解：如圖所示，過作垂直的延長線于，
，，，
，
又，
，
，而
，
又
．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的特征，解決問題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會作輔助線構(gòu)造平行四邊形的高線解決問題．
13．（23-24八年級下·山東濱州·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，上，，分別交，于點(diǎn)，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)已知，連接，若平分，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（）由平行線四邊形的性質(zhì)可以得出，，再利用線段和差證明，即可得出結(jié)論；
（）由（）得：，，再由平行線的性質(zhì)得，然后證，則可由求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵平分，
∴，
由（）得：四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
14．（23-24八年級下·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，延長相交于點(diǎn)，連結(jié)．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)連結(jié)，若，求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練其性質(zhì)與判定定理通過條件作出輔助線逐步推理是解題關(guān)鍵．
（1）通過證明，即可推出平行且相等于，即得證；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)求得，得到是等腰三角形，推出，再利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）證明：由題意得，，
，
又點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
又，
四邊形為平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；
（2）解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∵在中，，
∴，，
∴，即是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴．
15．（23-24八年級下·山東臨沂·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，F(xiàn)為上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)E，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，從而可證，可得，再根據(jù)平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由題意求得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，從而求得，再利用勾股定理求得，再根據(jù)求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）解：∵，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的長是．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2024九年級下·浙江·專題練習(xí)）在中，，是斜邊上的一點(diǎn)，作，垂足為，延長到，連接，使．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)連接，若平分，，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)96
【分析】（1）由，，推出，得出，再證，則，即可得出結(jié)論；
（2）先由證得，得出，由平行四邊形的性質(zhì)得，，設(shè)，則，再由勾股定理求出，，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，四邊形是平行四邊形，
∴，，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，證明四邊形是平行四邊形是解題關(guān)鍵．
17．（23-24八年級下·湖南邵陽·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，E為中點(diǎn)，延長到點(diǎn)F，使．

(1)求證：；
(2)求證：四邊形為平行四邊形；
(3)若，，，求四邊形的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】
（1）由證明，即可得出；
（2）先證明四邊形是平行四邊形，得出，，證出，即可得出四邊形為平行四邊形；
（3）由平行四邊形的性質(zhì)得出，，，證出，得出，證出，由勾股定理求出，從而可得答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵E為中點(diǎn)，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形；
（3）∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖所示，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接、，且和分別平分和．
(1)如圖1，求的度數(shù)；
(2)如圖2，如果，求的周長．
(3)如圖3，點(diǎn)E、F在線段上，連接、，若，求的長度．
【答案】(1)
(2)24
(3)28
【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系，再根據(jù)角平分線的意義求解即可；
（2）根據(jù)角平分線的意義和平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)而得出，，再由勾股定理得出長度，進(jìn)而求解即可；
（3）在上截取，連接，在上截取，連接，連接，過點(diǎn)M作，交延長線于點(diǎn)Q，先證明四邊形是平行四邊形，繼而得出，再證明，繼而得出，再利用含30度的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求出長度，再由平行四邊形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵和分別平分和，
∴，
∴，
∴
（2）∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∵和分別平分和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周長為；
（3）如圖，在上截取，連接，在上截取，連接，連接，過點(diǎn)M作，交延長線于點(diǎn)Q，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵和分別平分和，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，等邊對等角，角平分線的意義等，熟練掌握知識點(diǎn)并作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

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