1、什么是平行四邊形？2、平行四邊形怎樣表示？
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。其不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫它的對(duì)角線。
平行四邊形ABCD, 記為“□ABCD”, 讀作“平行四邊形ABCD”, 其中線段AC, BD稱為對(duì)角線。
3、平行四邊形的性質(zhì)是什么？
∠A＝∠C ∠B＝∠D
∠A+∠B=1800∠A+∠D=1800
AD // BC，AB // CD AD =BC，AB = CD
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平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，再轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)OA和OC線段、OB與OD長(zhǎng)度有何關(guān)系？
定理：平行四邊形的對(duì)角線互相平分
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD，AB=CD
∴OA＝OC，OB＝OD
已知：如圖： □ ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：OA=OC，OB=OD.
在△AOB 和△COD中
平行四邊形的性質(zhì)定理3：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.
例2： ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線與AD,BC分別相交于點(diǎn)E,F.求證：OE=OF.
A E D O B F C
證明： ∵四邊形ABCD是平行四邊形∴DO=BO（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）AD∥BC （平行四邊形的定義）∴ ∠ODE= ∠OBF∵ ∠DOE= ∠BOF∴△ DOE ≌△ BOF∴ OE=OF
做一做：如圖6-6, 平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O, ∠ADB=900,OA=6,0B=3.求AD和AC的長(zhǎng)度.
解: ∵ 四邊形ABCD是平行四邊形 ∴ OA=OC=6 OB=OD=3 ∴ AC=12 又∵ ∠ADB=900 ∴ 在Rt△ADO中，根據(jù)勾股定理得:OA2=0D2+AD2 ∴ AD=3
變式1：如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（　　）. 　　A．7　　　　 B．9　　　　　 C．10　　　　　 D．11 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
變式2：如圖，在 ABCD中， BC=9cm, AC=10cm, BD=18cm, （1）△ BOC的周長(zhǎng)是多少？ 說明理由？（ 2） △ ABC與△ DBC的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)， 長(zhǎng)多少？
變式3：如圖，在周長(zhǎng)為20cm的平行四邊形ABCD中，AB≠AD，AC、BD 相交于點(diǎn)O，OE⊥BD交AD于E，則△ABE的周長(zhǎng)為___. 　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如圖：平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為60cm，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△?AOB的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)少8cm,求AB，BC的長(zhǎng)．
解：? ∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB = CD，AD = BC(平行四邊形的對(duì)邊平行). AO = CO，BO = DO(平行四邊形的對(duì)角線互相平分).∵AB + BC + CD + DA = 60，（BC + BO + CO）－（AB + AO + BO）= 8， ∴AB + BC =30，BC－AB = 8， 解得BC =19cm，AB =11cm．
　2. 如圖所示，已知△ABC是等邊三角形，D、F兩點(diǎn)分別在線段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　?。?）求證：四邊形EFCD是平行四邊形； 　　（2）若BF＝EF，求證：AE＝AD．
證明：（1）∵ △ABC是等邊三角形，∴ ∠ABC＝60°． 　　　 　又∵ ∠EFB＝60°，∴ EF∥BC，即EF∥DC． 　　　　 又∵ DC＝EF，∴ 四邊形EFCD是平行四邊形． 　　　?。?）如圖，連接BE． 　　　 　∵ BF＝EF，∠EFB＝60°，∴ △EFB是等邊三角形， 　　　 　∴ BE＝BF＝EF，∠EBF＝60°，∴ DC＝EF＝BE． 　　　　 ∵ △ABC是等邊三角形，∴ AC＝AB，∠ACD＝60°． 　　　　 在△ABE和△ACD中，∵ AB＝AC，∠ABE＝∠ACD， BE＝CD， 　　　　 ∴ △ABE≌△ACD，∴ AE＝AD． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1、邊：對(duì)邊平行且相等2、角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)3、對(duì)角線：對(duì)角線互相平分

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1 平行四邊形的性質(zhì)

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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