1．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于_________．
2．（2022春·全國·高一期末）如圖是一個正方體的表面展開圖，A、B、D均為棱的中點，C為頂點，在該正方體中，異面直線AB和CD所成角的余弦值為______．
3．（2022·天津）如圖，已知邊長為2的正方體，點為線段的中點，則直線與平面所成角的正切值為___________.
4．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，長方體，，，，是棱上的一個動點，若點運動到棱靠近的一個三等分點時，恰有，求此時與平面所成的角 ．
5．（2022云南）如圖，長方體中，，，，則
（1）點到平面的距離為________；
（2）直線到平面的距離為________；
（3）平面與平面之間的距離為________.
6．（2022甘肅）在長方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，，則平面ABCD與平面EFGH的距離為________.
7．（2022遼寧）在長方體中，，，，則直線BC到面的距離為________；直線到面的距離為________；面與面的距離為________.
8．（2022河南安陽·高一安陽一中?？计谀┤鐖D，已知，四邊形ABCD為長方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3．
(1)證明：BC⊥PD；
(2)證明：求點C到平面PDA的距離．
9．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1C1與B1C所成角的大?。?br>(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小.
10．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，若EF＝，求異面直線AD，BC所成角的大小.
11．（2022河北唐山）如圖，在正三棱柱（側(cè)棱垂直底面，底面為正三角形）中，各棱長均相等，D是BC的中點，
(1)求證：
(2)求證：平面AC1D
(3)求異面直線與所成角余弦值．
12．（2022春·黑龍江·高一哈九中?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，將沿折起，使得點到達點的位置，.
(1)證明：平面平面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
13．（2022·江蘇）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點，AB＝AD＝2，AA1＝3.
(1)證明：EF∥平面A1ADD1；
(2)求直線AC1與平面A1ADD1所成角的正弦值．
14．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2．
(1)求直線和平面ABCD所成角的大小；
(2)求直線和平面ABCD所成角的正切值．
15．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，已知長方體的對角線與側(cè)棱所成的角為45°，且，求與側(cè)面所成角的大小．
16．（2022春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀┤鐖D所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，.
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)中點為，求直線與底面所成角的余弦值.
17．（2022春·新疆·高一兵團第一師高級中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方體中，分別是， 的中點，
(1)求證∥平面；
(2)求與平面所成角的正弦值．
18．（2021秋·甘肅臨夏·高一臨夏中學(xué)?？计谀┤鐖D，在三棱柱中，平面，E，F(xiàn)分別為，的中點，D為上的點，且．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)若三棱柱所有棱長都為a，求二面角的平面角的正切值．
19．（2022春·天津·高一校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，作交PB于點.
(1)求三棱錐的體積；
(2)求證：平面；
(3)求平面與平面的夾角的大小.
20．（2022·高一單元測試）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，E為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積；
(3)求二面角的余弦值．
1．（2022春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┱襟w的棱長為2，則直線與平面的距離是__．
2．（2022秋·山東青島·高一校考階段練習(xí)）如圖，正四棱柱的底面邊長為2，，E為的中點，則到平面EAC的距離為________．
3．（2022·高一單元測試）如圖，正三棱柱中，，，N為AB的中點.
(1)求證：平面；
(2)求A到平面的距離.
4．（2021·高一課時練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面之間的距離.
5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
(2)求證：AD⊥PB；
(3)求二面角A﹣BC﹣P的大?。?br>(4)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找一點F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．
6．（2022秋·山東青島·高一校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A為直二面角．
(1)若E為線段PC的中點，求證：DE⊥PB；
(2)若PC＝，求PC與平面PAB所成角的正弦值．
7．（2022·高一單元測試）如圖①，在梯形中，，，如圖②，將沿邊翻折至，使得平面平面，過點作一平面與垂直，分別交于點.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
8．（2022春·湖北十堰·高一鄖陽中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點為棱的中點.
(1)證明：平面平面；
(2)當(dāng)二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角.
9．（2022春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中校考期末）如圖，四棱錐中，平面，，．過點作直線的平行線交于為線段上一點．
(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成二面角的余弦值．
8.6.2 空間角與空間距離（精練）
1．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于_________．
【答案】
【解析】
如圖，連接，，，
因為，，，分別為，，，的中點，所以∥，∥，為異面直線與所成角或其補角，
因為為正方體，所以三角形為正三角形，所以.
故答案為：.
2．（2022春·全國·高一期末）如圖是一個正方體的表面展開圖，A、B、D均為棱的中點，C為頂點，在該正方體中，異面直線AB和CD所成角的余弦值為______．
【答案】
【解析】將正方體的表面展開圖還原成正方體，如圖：
連接、，因為A、B均為棱的中點，所以
所以是異面直線AB和CD所成角（或補角），
設(shè)正方體的棱長為，在中，，,
故答案為：.
3．（2022·天津）如圖，已知邊長為2的正方體，點為線段的中點，則直線與平面所成角的正切值為___________.
【答案】
【解析】
連接，交與，所以，連接，
因為平面，平面，
所以，又，所以，且，
平面，所以平面，
所以為與平面所成角，
在直角三角形中，，，
所以.
故答案為：.
4．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，長方體，，，，是棱上的一個動點，若點運動到棱靠近的一個三等分點時，恰有，求此時與平面所成的角 ．
【答案】
【解析】長方體中，，，
，，，，
由條件，，，
又與平面所成的角為，因此，
，與平面所成的角為.
5．（2022云南）如圖，長方體中，，，，則
（1）點到平面的距離為________；
（2）直線到平面的距離為________；
（3）平面與平面之間的距離為________.
【答案】
【解析】（1）因為在長方體中，，，
又，平面，平面，
所以平面，因此點到平面的距離為；
（2）因為在長方體中，，，
又，平面，平面，
所以平面，又，
所以為直線與平面的公垂線，
因此直線到平面的距離為；
（3）因為在長方體中，側(cè)棱和底面垂直，
即平面，平面，
所以平面與平面之間的距離為；
故答案為：；；.
6．（2022甘肅）在長方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，，則平面ABCD與平面EFGH的距離為________.
【答案】2
【解析】如圖
平面A BCD平面EFGH又平面.
平面ABCD與平面EFGH的距離為.故答案為：2
7．（2022遼寧）在長方體中，，，，則直線BC到面的距離為________；直線到面的距離為________；面與面的距離為________.
【答案】 5 4 3
【解析】如圖
直線BC到面的距離為；
直線到面的距離為；
面到面的距離為.
故答案為：5； 4； 3.
8．（2022河南安陽·高一安陽一中校考期末）如圖，已知，四邊形ABCD為長方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3．
(1)證明：BC⊥PD；
(2)證明：求點C到平面PDA的距離．
【答案】(1)證明見解析；(2)．
【解析】（1）∵四邊形ABCD是長方形，∴BC⊥CD，
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，
∴BC⊥平面PDC，
∵平面PDC，
∴BC⊥PD；
（2）取CD的中點E，連接AE和PE，
∵PD＝PC，∴PE⊥CD，
在Rt△PED中，．
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，
∴PE⊥平面ABCD，
由(1)知：BC⊥平面PDC，
∵四邊形ABCD是長方形，∴BC∥AD，
∴AD⊥平面PDC，
∵平面PDC，∴AD⊥PD，
設(shè)點C到平面PDA的距離為h．
連接AC，由得，，
∴點C到平面PDA的距離是．
9．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1C1與B1C所成角的大??；
(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小.
【答案】(1)60°(2)90°
【解析】（1）如圖所示，連接AC，AB1.
由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，
∴ACA1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成的角為60°.
（2）如圖所示，連接BD.由（1）知ACA1C1，
∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位線，∴EFBD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，
∴EF⊥A1C1，即A1C1與EF所成的角為90°.
10．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，若EF＝，求異面直線AD，BC所成角的大小.
【答案】60°
【解析】
如圖，取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G.
因為E，F(xiàn)，G分別是AB，CD，AC的中點，
所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC，
則∠EGF或其補角就是異面直線AD，BC所成的角.
因為AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1.
單獨看△GEF的平面圖，可得
在等腰△GEF中，過點G作GH⊥EF于點H，
在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，則sin∠EGH＝，
所以∠EGH＝60°，則∠EGF＝2∠EGH＝120°.
所以異面直線AD，BC所成的角為∠EGF的補角，即異面直線AD，BC所成的角為60°.
11．（2022河北唐山）如圖，在正三棱柱（側(cè)棱垂直底面，底面為正三角形）中，各棱長均相等，D是BC的中點，
(1)求證：
(2)求證：平面AC1D
(3)求異面直線與所成角余弦值．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)
【解析】（1），D是BC的中點，，
又因為正三棱柱中
平面ABC，平面ABC
，平面，
平面，
又平面，
（2）
連接交于，連接則O為中點，
，又平面，
平面，所以平面.
（3）由（2）知，
（或其補角）為異面直線與所成角，
設(shè)，
中，，，
則由余弦定理得，
所以異面直線與所成角余弦值為．
12．（2022春·黑龍江·高一哈九中?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，將沿折起，使得點到達點的位置，.
(1)證明：平面平面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】（1）證明：因為，
所以，
所以，
因為平面，
所以平面
因為平面，
所以平面平面.
（2）由（1）得平面，
因為在中，,即
所以，
根據(jù)題意可做長方體如圖
因為由圖知，
所以異面直線與所成角等于直線與所成角，連接,
因為,
所以，
設(shè)直線與所成角為，
所以在中，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
13．（2022·江蘇）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點，AB＝AD＝2，AA1＝3.
(1)證明：EF∥平面A1ADD1；
(2)求直線AC1與平面A1ADD1所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】（1）如圖，連接BC1，AD1，由E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點，可得EF∥BC1，
在長方體ABCD－A1B1C1D1中，
AB∥C1D1，AB＝C1D1，
因此四邊形ABC1D1為平行四邊形，
所以BC1∥AD1，
所以EF∥AD1，
又EF?平面A1ADD1，AD1?平面A1ADD1，
所以EF∥平面A1ADD1；
（2）
在長方體ABCD－A1B1C1D1中，
因為C1D1⊥平面A1ADD1，
所以AC1在平面A1ADD1中的射影為AD1，
所以∠C1AD1為直線AC1與平面A1ADD1所成的角，
由題意知AC1＝，
在Rt△AD1C1中，sin∠C1AD1＝＝＝，
即直線AC1與平面A1ADD1所成角的正弦值為.
14．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2．
(1)求直線和平面ABCD所成角的大??；
(2)求直線和平面ABCD所成角的正切值．
【答案】(1)．(2)．
【解析】（1）因為平面ABCD，∴直線在平面ABCD上的射影為直線AB，
∴就是直線和平面ABCD所成的角．
∵，∴直線和平面ABCD所成角的大小為．
（2）因為平面ABCD，∴直線在平面ABCD上的射影為直線DB，
∴就是直線和平面ABCD所成的角．
15．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，已知長方體的對角線與側(cè)棱所成的角為45°，且，求與側(cè)面所成角的大?。?br>【答案】30°．
【解析】連接AC，，
∵長方體的對角線與側(cè)棱所成的角為45°，且，，所以是對角線與側(cè)棱所成的角（或其補角），
平面，平面，則，同理，
∴，
∴．∵平面，
∴是直線與平面所成的角．
∵，，
∴，∴．
∴與側(cè)面所成角的大小為30°．
16．（2022春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中校考期末）如圖所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，.
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)中點為，求直線與底面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)證：平面平面
平面面
因為四邊形為菱形,平面， 平面
平面 平面面
(2)因為平面平面，平面面；
四邊形是矩形，所以底面
在中，
，
即為直線與平面所成角，在中,
17．（2022春·新疆·高一兵團第一師高級中學(xué)校考期末）如圖，在正方體中，分別是， 的中點，
(1)求證∥平面；
(2)求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）
取中點，連接如圖，則由中位線的性質(zhì)可得，且平面，平面，故平面.
又，，故四邊形為平行四邊形，故，同理可得平面.
又，平面，故平面平面.
又平面，故平面.
（2）
取中點，中點，連接如圖.
易得互相平行，又，故四邊形為平行四邊形，故.又平面，故平面，故與平面所成角即與平面所成角.
設(shè)，，即與平面所成角的正弦值為
18．（2021秋·甘肅臨夏·高一臨夏中學(xué)校考期末）如圖，在三棱柱中，平面，E，F(xiàn)分別為，的中點，D為上的點，且．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)若三棱柱所有棱長都為a，求二面角的平面角的正切值．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)
【解析】（1）證明：因為E，F(xiàn)分別為，的中點，
所以，
又平面ABC，平面ABC，
故平面ABC；
（2）證明：∵平面，平面，
∴，
∵，，∴平面，
又平面，
∴平面平面；
（3）如圖所示：過點D作垂線，垂足為H，連接，D為的中點，
∵，，，
∴平面，，
則是二面角的平面角，
∴，，，
故二面角的平面角的正切值為．
19．（2022春·天津·高一校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，作交PB于點.
(1)求三棱錐的體積；
(2)求證：平面；
(3)求平面與平面的夾角的大小.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)
【解析】（1）取中點，連接，
在中，分別為中點，∴為的中位線，∴，且，
又∵，∴
∵底面，∴底面，∴；
（2）∵底面，且面∴，
∵底面是正方形，∴，
又,面,∴面,
又面∴
∵，且，∴是等腰直角三角形，又是斜邊的中線，∴，
又,面,∴面，
∵面∴,
∵,又,面∴平面；
（3）由（2）可知，故是平面與平面的夾角，
∵∴，在中，，，，
又面，∵面∴,
在中，，∴，故平面CPB與平面PBD的夾角的大小.
20．（2022·高一單元測試）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，E為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析(2)(3)．
【解析】（1）證明：如圖，連接，交于于O點，連接，易知O為中點．
∵E為的中點，∴．∵平面平面，
∴平面．
（2）因為E是的中點，所以．
∵，知為等邊三角形，
又因為知，，
∴，
又，即，
故．
∵底面是菱形，∴，
又O為等邊三角形的邊的中點，故，
而平面，
∴平面．
∴．
（3）如圖，過點A作，垂足為M，連接．
∵，O為中點，∴．
又，∴．
∴，故為二面角的平面角．
∵，
由，得．
∵，
在中，，
∴二面角的余弦值為．
1．（2022春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┱襟w的棱長為2，則直線與平面的距離是__．
【答案】
【解析】因為，平面，平面，
所以平面，
故點到平面的距離即為直線與平面的距離，
連接交于點，
因為四邊形為正方形，所以⊥BD，
又因為⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以⊥BD，
因為，平面，
所以BD⊥平面，故BO即為直線與平面的距離，
因為正方體的棱長為2，
所以，
故直線與平面的距離為.
故答案為：
2．（2022秋·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，正四棱柱的底面邊長為2，，E為的中點，則到平面EAC的距離為________．
【答案】
【解析】連接，
因為∥，平面，平面，
所以∥平面EAC，
所以到平面EAC的距離等于到平面EAC的距離，設(shè)到平面EAC的距離為，
因為正四棱柱的底面邊長為2，，
所以，
因為E為的中點，所以，
所以，
所以，
,
因為，
所以,
所以，解得，
故答案為：.
3．（2022·高一單元測試）如圖，正三棱柱中，，，N為AB的中點.
(1)求證：平面；
(2)求A到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）連接交于點O,連接,
在正三棱柱中四邊形為平行四邊形，
故O為的中點，又N為AB的中點，則,
又平面，平面，
所以平面；
（2）設(shè)點A到平面的距離為d,
在正三棱柱中平面,
則為三棱錐的高，則，
因為平面,所以，則，
又平面,平面,故 ,
又平面，
所以平面, 平面，所以,
正三棱柱中，，則 ,
故，
故由，可得，解得，
故A到平面的距離為.
4．（2021·高一課時練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面之間的距離.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）證明：∵正方體中E，F(xiàn)分別為，的中點，
∴∥，=
∴四邊形是平行四邊形.
∴.
又平面，平，
∴平面.
∵∥，=
∴四邊形是平行四邊形.
∴.
又平向，平面，
∴AE∥平面.
又∵，
∴平面平面.
（2）平面與平面之間的距離也就是點B到面的距離，設(shè)為h，
∵正方體的棱長為2，
∴，，
∴的面積
∴三棱錐的體積，.
又三棱錐的體積.
由可得，
解得.
∴平面與平面之間的距離為.
5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
(2)求證：AD⊥PB；
(3)求二面角A﹣BC﹣P的大?。?br>(4)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找一點F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)45°(4)能，證明見解析
【解析】(1)在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD邊的中點，所以BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．
(2)連接PG，因為△PAD為正三角形，G為AD邊的中點，得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，
PG?平面PGB，BG?平面PGB，PG∩BG＝G，
所以AD⊥平面PGB，因為PB?平面PGB．所以AD⊥PB．
(3)由（2）可得PB⊥AD，BG⊥AD，
∵AD∥BC，所以PB⊥BC，BG⊥BC，所以∠PBG為二面角A﹣BC﹣P的平面角
因為PG＝BG＝，所以∠PBG＝45°；
(4)當(dāng)F為PC邊的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：
取PC 的中點F，連接DE、EF、DF，
在△PBC中，F(xiàn)E∥PB，F(xiàn)E平面PGB，PB平面PGB
∴FE∥平面PGB
在菱形ABCD中，DG∥BE且DGBE
BEDG為平行四邊形，則DE∥BG，DE平面PGB，BG平面PGB
∴DE∥平面PGB
EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，
因為BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，
又因為PG⊥AD，AD∩BG＝G，
∴PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．
6．（2022秋·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A為直二面角．
(1)若E為線段PC的中點，求證：DE⊥PB；
(2)若PC＝，求PC與平面PAB所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析(2).
【解析】（1）證明：因為PD＝DC＝1，且E為PC的中點，
所以DE⊥PC，
又因為二面角P－CD－A為直二面角，
所以平面PCD⊥平面ABCD，
因為BC⊥CD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，平面ABCD，
所以BC⊥平面PCD，
因為平面PCD，
所以BC⊥DE.
因為BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC＝C，
所以DE⊥平面PBC，
又因為PB?平面PBC，
所以DE⊥PB.
（2）解：在中，，，
由余弦定理可得，
因為
所以∠PDC＝120°，
過點P作PH⊥CD的延長線于H，如圖，
因為二面角P－CD－A為直二面角，平面平面，平面，
所以平面，
在中，，
過H點作HG∥DA，且HG與BA的延長線交于G點．
因為
所以，
因為平面，平面，
所以，
因為，平面，
所以平面，
因為平面，
所以
在中，，
所以，
設(shè)點C到平面PAB的距離為h，則
，
解得，
設(shè)PC與平面PAB所成的角為θ，
，
即PC與平面PAB所成角的正弦值為.
7．（2022·高一單元測試）如圖①，在梯形中，，，如圖②，將沿邊翻折至，使得平面平面，過點作一平面與垂直，分別交于點.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）如圖②，因為平面，且平面，
所以
又因為平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面，
又因為平面，
所以，
又因為，且平面，
所以平面
（2）由（1）知平面平面，
所以，
在直角三角形中，，
由等面積代換得，，
即，
又因為平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面
又因為平面，
所以
在直角三角形中，，
由等面積代換得，，
即，
又在直角三角形中，，
設(shè)點到平面的距離為，
在三棱錐中，由等體積代換得，，
即，
也即，
即所求直線BE與平面所成角的正弦值為
8．（2022春·湖北十堰·高一鄖陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點為棱的中點.
(1)證明：平面平面；
(2)當(dāng)二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角.
【答案】(1)證明見解析(2).
【解析】（1）因為平面平面，且，即，
且平面，平面平面，所以平面
又因為平面，所以
因為為菱形，所以，且，平面，
所以平面，又因為平面，所以平面平面
（2）
設(shè).
平面平面，平面平面平面.
連接，則就是直線與平面所成的角.
由題意得，為等邊三角形.
過作于，則為的中點，
平面，又平面.
過作于，連接，則就是二面角的平面角.
易得.
，解得，
，
，即直線與平面所成的角為.
9．（2022春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┤鐖D，四棱錐中，平面，，．過點作直線的平行線交于為線段上一點．
(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)證明過程見解析(2)
【解析】（1）因為平面，AB平面ABCD，
所以PA⊥AB，
因為，
所以⊥AD，
因為PAAD=A，平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因為CFAB，所以CF⊥平面PAD，
因為CF平面CFG，
所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）平面，AD，AC平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因為，，
由勾股定理得：，則∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD為等邊三角形，，
故，，，
過點B作BE⊥PC于點E，連接DE，
在△BCP中，由余弦定理得：，
則，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因為，所以DE⊥PC，
所以∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：，

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

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