第8章 立體幾何初步 章末測試（提升） 考試時間：120分鐘 滿分：150分 單選題(每題只有一個選擇為正確答案，每題5分，8題共40分) 1．（2022秋·四川）水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，軸，則中邊上的中線的長度為（????） A． B． C． D． 2．（2023吉林長春）在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球半徑為（????） A．3 B． C． D．6 3．（2023上海浦東新·）用一個平面截正方體，截面圖形可能是（????） A．鈍角三角形 B．直角梯形 C．有兩個內(nèi)角相等的五邊形 D．正七邊形 4．（2023山東煙臺）米斗是古代官倉、米行等用來稱量糧食的器具，鑒于其儲物功能以及吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用.如圖為一個正四棱臺形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長分別為、，側(cè)棱長為，若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重千克，則該米斗盛裝大米約（????） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 5．（2022秋·廣西）在中，，，現(xiàn)以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)得到一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為（????） A． B． C． D． 6．（江西省吉安市2023屆）已知是圓錐的一條母線，是底面圓的一條直徑，為正三角形，，則與所成角的余弦值為（????） A． B． C． D． 7．（2022秋·黑龍江大興安嶺地）如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點，有下列四個結(jié)論： ①與是異面直線； ②，，相交于一點； ③； ④平面． 其中所有正確結(jié)論的編號是（????） A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④ 8．（2021秋·吉林長春）如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點，則下列選項中錯誤的是（????） A．EF平面 B． C．EF與AD1所成角為60° D．EF與平面所成角的正弦值為 二．多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分） 9．（2022秋·云南）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征(如圖1甲)，圖乙是一個圓臺的側(cè)面展開圖(扇形的一部分)，若兩個圓弧所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的（????） A．高為 B．體積為 C．表面積為 D．內(nèi)切球的半徑為 10．（2022·云南）如圖，在三棱柱中，已知點G，H分別在，上，且GH經(jīng)過的重心，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，且B、C、G、H四點共面，則下列結(jié)論正確的是（????） A． B．平面 C． D．平面平面 11．（2022秋·江西宜春）長方體的長、寬、高分別為3，2，1，則（????） A．長方體的表面積為20 B．長方體的體積為6 C．沿長方體的表面從A到的最短距離為 D．沿長方體的表面從A到的最短距離為 12．（2022秋·江西撫州）如圖，在長方體中，，M，N分別為棱的中點，則下列說法正確的是（????） A．M，N，A，B四點共面 B．直線與平面相交 C．直線和所成的角為 D．平面和平面的夾角的正切值為2 三、填空題(每題5分，4題共20分) 13．（2022秋·上海黃浦）如圖，在三棱柱中，， ，，側(cè)棱的長為1，則該三棱柱的高等于________ 14．（2022秋·安徽六安）正三棱錐的側(cè)棱長為，為的中點，且，則三梭錐外接球的表面積為______． 15．（2022·四川雅安）如圖，在長方體中，底面為正方形，E，F(xiàn)分別為，CD的中點，點G是棱上靠近的三等分點，直線BE與平面所成角為.給出以下4個結(jié)論： ①平面；????②； ③平面平面；????④B，E，F(xiàn)，G四點共面. 其中，所有正確結(jié)論的序號為______. 16．（2022秋·遼寧）正方體的棱長為1，點P是內(nèi)不包括邊界的動點，若，則線段AP長度的最小值為___________. 四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分） 17．（2022春·上海浦東新）已知在直角三角形中，，（如圖所示） (1)若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積. (2)一只螞蟻在問題（1）形成的幾何體上從點繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點，求螞蟻爬行的最短距離. 18．（2023·云南）如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面為正三角形，為線段上一點，為的中點. (1)當(dāng)為的中點時，求證：平面. (2)當(dāng)平面，求出點的位置，說明理由. 19．（2022秋·廣西玉林）如圖，已知正三棱柱的底面邊長是2，D是側(cè)棱的中點，直線AD與側(cè)面所成的角為45°． (1)求此正三棱柱的側(cè)棱長； (2)求二面角A－BD－C的正切值； (3)求點C到平面ABD的距離． 20．（2022天津）如圖，在四棱錐中，，為棱的中點，平面. (1)證明：平面 (2)求證：平面平面 (3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正切值. 21．（2022春·新疆·高一兵團(tuán)第一師高級中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面是菱形，，，，底面，，點在棱上，且． (1)證明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． (3)求四面體的體積． 22．（2022春·安徽安慶·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，． (1)證明：平面； (2)當(dāng)?shù)拈L為何值時，二面角的大小為？ 第8章 立體幾何初步 章末測試（提升） 考試時間：120分鐘 滿分：150分 單選題(每題只有一個選擇為正確答案，每題5分，8題共40分) 1．（2022秋·四川）水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，軸，則中邊上的中線的長度為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用斜二測畫法將直觀圖還原如圖，易知此時，， 又由軸得軸，故， 不妨設(shè)是的中點，則， 所以在中，，即中邊上的中線的長度為. 故選：A. . 2．（2023吉林長春）在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球半徑為（????） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【解析】由正弦定理得,△外接圓直徑為，得r=3. 設(shè)球心到平面的距離為，則. ∴三棱錐的外接球半徑為. 故選：C 3．（2023上海浦東新·）用一個平面截正方體，截面圖形可能是（????） A．鈍角三角形 B．直角梯形 C．有兩個內(nèi)角相等的五邊形 D．正七邊形 【答案】C 【解析】用一個平面截正方體，截面圖形可能是三角形，四邊形，五邊形，六邊形. 對于A：截面圖形如果是三角形，只能是銳角三角形，不可能是直角三角形和鈍角三角形. 如圖所示的截面三角形. 設(shè)，所以，，. 所以由余弦定理得：所以為銳角. 同理可求：為銳角，為銳角. 所以為銳角三角形.故A錯誤； 對于B：截面圖形如果是四邊形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形. 故B錯誤； 對于C：如圖示的截面圖為五邊形，并且有兩個角相等. 故C正確； 對于D：因為正方體有六個面，所以一個平面截正方體，邊數(shù)最多為6.所以D錯誤. 故選：C 4．（2023山東煙臺）米斗是古代官倉、米行等用來稱量糧食的器具，鑒于其儲物功能以及吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用.如圖為一個正四棱臺形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長分別為、，側(cè)棱長為，若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重千克，則該米斗盛裝大米約（????） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【解析】設(shè)該正棱臺為，其中上底面為正方形，取截面，如下圖所示： 易知四邊形為等腰梯形，且，，， 分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點、， 由等腰梯形的幾何性質(zhì)可得，又因為，， 所以，，所以，， 因為，易知， 故四邊形為矩形，則，， 所以，，故該正四棱臺的高為， 所以，該米斗的體積為， 所以， 該米斗所盛大米的質(zhì)量為. 故選：C. 5．（2022秋·廣西）在中，，，現(xiàn)以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)得到一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取中點為，則可看作兩個直角三角形和，將以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體相當(dāng)于將和，分別以直角邊和為軸旋轉(zhuǎn)，可得到兩個同底等高的圓錐構(gòu)成的組合體. ∵，， ∴，，， 圓錐的底面圓面積，高為， 體積， 故所求旋轉(zhuǎn)體體積為． 故選：D. 6．（江西省吉安市2023屆）已知是圓錐的一條母線，是底面圓的一條直徑，為正三角形，，則與所成角的余弦值為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如圖，延長交圓于，連接，取的中點，連接，則， 則為與所成的角， 不妨設(shè)圓的半徑為，則，， 因為為、的中點，則四邊形為平行四邊形， ，，則， 在中，， 由余弦定理可得， 所以，． 故選：A． 7．（2022秋·黑龍江大興安嶺地）如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點，有下列四個結(jié)論： ①與是異面直線； ②，，相交于一點； ③； ④平面． 其中所有正確結(jié)論的編號是（????） A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】對于①，因為，，所以，又，所以與是相交直線，則①不正確； 對于②，設(shè)，面面，面面，所以平面，平面，又面面， 所以，，相交于一點，②正確； 對于③，令，連接， 因為，分別是，的中點， 所以，，則為平行四邊形， 所以，而，所以③不正確； 對于④，因為平面，平面， 所以平面，④正確． 綜上所述，②④正確， 故選：B． 8．（2021秋·吉林長春）如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點，則下列選項中錯誤的是（????） A．EF平面 B． C．EF與AD1所成角為60° D．EF與平面所成角的正弦值為 【答案】C 【解析】對于A，連接BD1，在中，E、F分別為D1D、DB的中點，則EFD1B， 又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ，∴EF平面ABC1D1，故A正確； 對于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB， 又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1， 又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正確； 對于C，由，得EF與AD1所成角為. 在中，，所以， 所以EF與AD1所成角不為60°，故C錯誤； 對于D，由，且平面，所以為EF與平面BB1C1C所成的角， 在中，，所以，故D正確． 故選：C． 多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分） 9．（2022秋·云南）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征(如圖1甲)，圖乙是一個圓臺的側(cè)面展開圖(扇形的一部分)，若兩個圓弧所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的（????） A．高為 B．體積為 C．表面積為 D．內(nèi)切球的半徑為 【答案】ACD 【解析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為， 則，即；，即； 圓臺的母線長，所以圓臺的高，故A正確； 圓臺的體積，故B錯誤； 圓臺的表面積，所以C正確； 由于圓臺的母線長等于上下底面半徑和，所以圓臺的高即為內(nèi)切球的直徑，所以內(nèi)切球的半徑為，即D正確. 故選：ACD. 10．（2022·云南）如圖，在三棱柱中，已知點G，H分別在，上，且GH經(jīng)過的重心，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，且B、C、G、H四點共面，則下列結(jié)論正確的是（????） A． B．平面 C． D．平面平面 【答案】ABC 【解析】對于A，因為平面∥平面ABC，平面平面，平面平面，所以∥，因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以∥，，所以∥，所以A正確， 對于B，由選項A可知∥，因為平面，平面，所以∥平面，所以B正確， 對于C，因為∥，∥，所以∥，因為GH經(jīng)過的重心，所以，因為，所以，因為，所以，所以C正確， 對于D，因為，，所以，因為∥，所以四邊形為梯形，且與為腰，所以與必相交，因為平面，平面，所以平面與平面相交，所以D錯誤， 故選：ABC 11．（2022秋·江西宜春）長方體的長、寬、高分別為3，2，1，則（????） A．長方體的表面積為20 B．長方體的體積為6 C．沿長方體的表面從A到的最短距離為 D．沿長方體的表面從A到的最短距離為 【答案】BC 【解析】長方體的表面積為，A錯誤.長方體的體積為，B正確.如圖（1）所示，長方體中，，，.求表面上最短（長）距離可把幾何體展開成平面圖形，如圖（2）所示，將側(cè)面和側(cè)面展開， ?? 則有，即經(jīng)過側(cè)面和側(cè)面時的最短距離是；如圖（3）所示，將側(cè)面和底面展開，則有，即經(jīng)過側(cè)面和底面時的最短距離是；如圖（4）所示，將側(cè)面和底面展開， ?? 則有，即經(jīng)過側(cè)面和底面時的最短距離是.因為，所以沿長方體表面由A到的最短距離是，C正確，D不正確. 故選：BC. 12．（2022秋·江西撫州）如圖，在長方體中，，M，N分別為棱的中點，則下列說法正確的是（????） A．M，N，A，B四點共面 B．直線與平面相交 C．直線和所成的角為 D．平面和平面的夾角的正切值為2 【答案】BCD 【解析】A：連接，如下圖面，而面，面， 所以M，N，A，B四點不共面，錯誤； B：若為中點，連接，N為棱的中點， 由長方體性質(zhì)知：，顯然面， 若面，而面，顯然有矛盾， 所以直線與平面相交，正確； C：若分別是中點，連接， 由長方體性質(zhì)易知：， 而，故，即直線和所成的角為， 由題設(shè)，易知，即△為等邊三角形， 所以為，正確； D：若分別是中點，顯然，易知共面， 所以平面和平面的夾角，即為面和面的夾角， 而面面，長方體中，， 如下圖，為和面夾角的平面角，，正確. 故選：BCD 三、填空題(每題5分，4題共20分) 13．（2022秋·上海黃浦）如圖，在三棱柱中，， ，，側(cè)棱的長為1，則該三棱柱的高等于________ 【答案】 【解析】過作平面、直線的垂線，交點分別為O，D，E，連接OD、OC、OE，則即為三棱柱的高， 由平面，平面，可得， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可得，又， 所以四邊形為矩形， 在直角三角形和中，，，側(cè)棱的長為1， 則，， 所以， 所以， 即三棱柱的高等于. 故答案為：. 14．（2022秋·安徽六安）正三棱錐的側(cè)棱長為，為的中點，且，則三梭錐外接球的表面積為______． 【答案】 【解析】為中點，，，，， 又，平面，平面， 平面，，又，，平面， 平面，又三棱錐為正三棱錐，側(cè)面為全等的等腰直角三角形， 三棱錐為如圖所示的棱長為的正方體的一角， 該正方體的外接球即為三棱錐的外接球， 正方體外接球半徑，所求外接球表面積. 故答案為：. 15．（2022·四川雅安）如圖，在長方體中，底面為正方形，E，F(xiàn)分別為，CD的中點，點G是棱上靠近的三等分點，直線BE與平面所成角為.給出以下4個結(jié)論： ①平面；????②； ③平面平面；????④B，E，F(xiàn)，G四點共面. 其中，所有正確結(jié)論的序號為______. 【答案】①②③ 【解析】設(shè)，連接，則， 又， 所以， 所以四邊形為平行四邊形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故①正確； 連接，因為底面為正方形， 所以， 所以，又，， 所以，故②正確； 由題可知平面， 所以為直線BE與平面所成角，即， 則，， 所以，又平面，平面， 所以，又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，故③正確； 延長交的延長線于，連接交于，連接，則B，E，F(xiàn)確定平面， 由，可得，又點是棱上靠近的三等分點， 所以平面，故④錯誤， 所以所有正確結(jié)論的序號為①②③. 故答案為：①②③. 16．（2022秋·遼寧）正方體的棱長為1，點P是內(nèi)不包括邊界的動點，若，則線段AP長度的最小值為___________. 【答案】 【解析】與相交于，連接，，， ，，，故平面，， 故平面，P是內(nèi)不包括邊界的動點，故在上， 當(dāng)時，最小 中，，， 根據(jù)等面積法：. 故答案為： 四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分） 17．（2022春·上海浦東新）已知在直角三角形中，，（如圖所示） (1)若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積. (2)一只螞蟻在問題（1）形成的幾何體上從點繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點，求螞蟻爬行的最短距離. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）在直角三角形中，由 即，得，若以為軸旋轉(zhuǎn)一周， 形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐， 則，其表面積為. （2）由問題（1）的圓錐，要使螞蟻爬行的最短距離， 則沿點的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形， 最短距離就是點到點的距離，， 在中，由余弦定理得. 18．（2023·云南）如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面為正三角形，為線段上一點，為的中點. (1)當(dāng)為的中點時，求證：平面. (2)當(dāng)平面，求出點的位置，說明理由. 【答案】(1)證明見解析； (2)存在點M，點M為PD上靠近P點的三等分點，理由見解析. 【解析】（1）取中點為，連接， 在中，為的中點，為中點， ， 在平行四邊形中，為的中點， ， ， 四邊形為平行四邊形， 面面， 平面； （2）連接，相交于，連接， 面，面面面， ，， 即存在點M，M為PD上靠近P點的三等分點. 19．（2022秋·廣西玉林）如圖，已知正三棱柱的底面邊長是2，D是側(cè)棱的中點，直線AD與側(cè)面所成的角為45°． (1)求此正三棱柱的側(cè)棱長； (2)求二面角A－BD－C的正切值； (3)求點C到平面ABD的距離． 【答案】(1) (2)3 (3) 【解析】（1）設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為x，取BC中點E，連接AE， ∵是正三角形，∴， 又底面?zhèn)让?，且兩平面交線為BC，∴側(cè)面． 連接ED，則∠ADE為直線AD與側(cè)面所成的角，∴∠ADE＝45°， 在中，，解得，∴此正三棱柱的側(cè)棱長為． （2）過E作于F，連接AF， ∵側(cè)面，∴，可知，∴∠AFE為二面角A－BD－C的平面角． 在中，，又BE＝1，，∴． 又，∴在中，． （3）由（2）可知，平面AEF，∴平面平面ABD，且交線為AF． 過E作于G，則平面ABD．∴EG的長為點E到平面ABD的距離． 在中，． ∵E為BC中點，∴點C到平面ABD的距離為． 20．（2022天津）如圖，在四棱錐中，，為棱的中點，平面. (1)證明：平面 (2)求證：平面平面 (3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正切值. 【答案】(1)證明見解析 (2)證明見解析 (3) 【解析】（1）∵且，∴四邊形為平行四邊形， ∴，又平面，平面， 所以平面. （2）∵平面，平面，∴， 連接，∵且，∴四邊形為平行四邊形， ∵，，∴平行四邊形為正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3）∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因為平面，∴ ∴為二面角的平面角，從而，所以， 作于，連接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以為直線與平面所成角， 在直角中，，，，∴， 因為面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 則直線與平面所成角的正切值為. 21．（2022春·新疆·高一兵團(tuán)第一師高級中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面是菱形，，，，底面，，點在棱上，且． (1)證明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． (3)求四面體的體積． 【答案】(1)證明見解析； (2)； (3)﹒ 【解析】（1）∵平面，平面ABCD，∴， ∵在菱形中，，且，BD、PO平面PBD， ∴平面，∵AC平面ACE，∴平面平面； （2）連接，則平面平面=OE， 由(1)知平面，則，OC⊥PD， 故是二面角的平面角． ∵，CE∩OE＝E，CE、OE平面OCE， ∴PD⊥平面OCE，∴⊥OE． 在菱形中，，，則△ABC是等邊三角形， 則易知， 又，∴， 故， ∴， 即二面角的余弦值為． （3）由(2)可知，PE=，ED＝PD－PE＝， ∵PO⊥底面ABCD，∴點到底面的距離為E到直線BD的距離，為， 而， ． 22．（2022春·安徽安慶·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，． (1)證明：平面； (2)當(dāng)?shù)拈L為何值時，二面角的大小為？ 【答案】(1)證明見解析 (2) 【解析】（1） 解：過點E作交于點G，連接， ，， 四邊形為矩形，則 ∵四邊形為矩形， ∴， ∴四邊形為平行四邊形， ∴． ∵平面，平面， ∴平面． （2） 解：過點B作交的延長線于點H，連接． 平面平面，交線為 又，平面 平面， ，又，平面 平面 ， ∴為二面角的平面角． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴，∴， ∴． ∵， ∴當(dāng)為時，二面角的大小為．

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