向量在平面幾何中的應用主要有以下幾個方面：
（1）證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義．
（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運用向量平行（共線）的條件：（或x1y2－x2y1=0）．
（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運用向量垂直的條件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式．
（5）向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．
要點詮釋：
用向量知識證明平面幾何問題是向量應用的一個方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運算法則運算就可以達到解決幾何問題的目的了
例1（1）用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角．
已知：如下圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上任一點（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°．
（2）．如圖，直角梯形ABCD，，，．
(1)設線段BC的中點為M且，求和的值；
(2)若點P在線段BC上且，求滿足的實數(shù)t的值．
舉一反三
1．已知是邊長為4的正六邊形內(nèi)的一點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面上有及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
3．半徑為4的圓上有三點，滿足，點是圓內(nèi)一點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4在平面直角坐標系xOy中，已知點A（―1，―2），B（2，3），C（―2，―1）．
（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；
（2）設實數(shù)t滿足，求t的值．
5．如圖所示，四邊形ADCB是正方形，P是對角線DB上一點，PFCE是矩形，證明：.
二：向量在物理中的應用
（1）利用向量知識來確定物理問題，應注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，即將物理問題抽象成數(shù)學模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象．
（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數(shù)乘向量；④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積．
（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論．
題型一：向量在物理學中“功”的應用
例2．一個物體受到同一平面內(nèi)三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8 m，其中|F1|=2 N，方向為北偏東30°；|F2|=4 N，方向為北偏東60°；|F3|=6 N，方向為北偏西30°，求合力F所做的功．
舉一反三：
已知一物體在共點力的作用下產(chǎn)生位移，則共點力對物體所做的功為（ ）
A、4 B、3 C、7 D、2
類型二：向量在力學中的應用
例3．如圖，用兩條同樣長的繩子拉一物體，物體受到重力為G．兩繩受到的拉力分別為F1、F2，夾角為．
（1）求其中一根繩子受的拉力|F1|與G的關(guān)系式，用數(shù)學觀點分析F1的大小與夾角的關(guān)系；
（2）求F1的最小值；
（3）如果每根繩子的最大承受拉力為|G|，求的取值范圍．
．
舉一反三：
兩個大小相等的共點力，當它們間夾角為時，合力的大小為20N，則當它們的夾角為時，合力的大小為（ ）
A、40N B、 C、 D、
類型五：向量在速度中的應用
例4．在風速為km / h的西風中，飛機以150 km / h的航速向西北方向飛行，求沒有風時飛機的航速和航向．
舉一反三：
一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水流速為，求船實際航行的速度的大小與方向.
鞏固提升
一、單選題
1．設點是正三角形的中心，則向量，，是（ ）．A．相同的向量B．模相等的向量
C．共線向量D．共起點的向量
2．物體受到一個水平向右的力及與它成60°角的另一個力的作用.已知的大小為2N，它們的合力F與水平方向成30°角，則的大小為（ ）
A．3NB．C．2ND．
3．長江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發(fā)航行到北岸.假設游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設和的夾角為，北岸的點在的正北方向，則游船正好到達處時，（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，下列點D的坐標中不能使點A、B、C、D構(gòu)成四邊形的是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．點P是所在平面內(nèi)一點,滿足,則的形狀不可能是
A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形
6．在△ABC中，D為BC邊上的中點，P0是邊AB上的一個定點，，且對于AB上任一點P，恒有·≥·，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．·＝－；
B．存在點P，使||＜||；
C．·＝0；
D．AC＝BC.
三、填空題
7．如圖，墻上三角架的一端處懸掛一個重為的物體，則邊上點處的受力情況是___________.
8．如圖，在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D．若的模為2，的模為3，的模為1，則的模為____.
四、解答題
9．如圖所示，一個物體受到同一平面內(nèi)三個力，，的作用，沿北偏東的方向移動了，其中，方向為北偏東 ；，方向為北偏東；，方向為北偏西，求合力所做的功.
10．兩個力，作用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從點移動到點（其中、分別是x軸正方向、y軸正方向上的單位向量，力的單位：N，位移的單位：m）.求：
(1)，分別對該質(zhì)點做的功；
(2)，的合力對該質(zhì)點做的功.
6.4.1平面幾何中的向量方法及-6.4.2向量在物理中的應用舉例
一：向量在平面幾何中的應用
向量在平面幾何中的應用主要有以下幾個方面：
（1）證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義．
（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運用向量平行（共線）的條件：（或x1y2－x2y1=0）．
（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運用向量垂直的條件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式．
（5）向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．
要點詮釋：
用向量知識證明平面幾何問題是向量應用的一個方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運算法則運算就可以達到解決幾何問題的目的了
例1（1）用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角．
已知：如下圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上任一點（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°．
證明：聯(lián)結(jié)OP，設向量，則且，
，即∠APB＝90°．
【總結(jié)升華】解決垂直問題，一般的思路是將目標線段的垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零，而在此過程中，則需運用向量運算，將目標向量用基底表示，通過基底的數(shù)量積運算式使問題獲解，如本題便是將向量，由基底，線性表示．當然基底的選取應以方便運算為準，即它們的夾角是明確的，且長度易知．
（2）．如圖，直角梯形ABCD，，，．
(1)設線段BC的中點為M且，求和的值；
(2)若點P在線段BC上且，求滿足的實數(shù)t的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
利用向量坐標或者向量的基本定理即可.
(1)
（法一）如下圖所示，以A為原點，，方向為x，y軸正方向建立平面直角坐標系，
則，，，，
，即
所以，
（法二）因為M為BC中點，所以
又因為且，
所以
因為，不共線，根據(jù)平面向量基本定理可知，
(2)（法一）如下圖所示，，則
則
因為，所以
解得（舍）或，所以t值為.
（法二）如下圖所示，以A為原點，，方向為x，y軸正方向建立平面直角坐標系
則，，，，設，則，
因為，則①
，，又，與共線
所以②
由①②解得或，
若則（舍），若則．
舉一反三
1．已知是邊長為4的正六邊形內(nèi)的一點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立坐標系，用坐標表達數(shù)量積，求出答案.
【詳解】
連接AE，則正六邊形中，如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AE所在直線為y軸建立直角坐標系，則，，設，則，
.
故選：A
2．在平面上有及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等。
【詳解】
記點O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內(nèi)心.
故選：B
3．半徑為4的圓上有三點，滿足，點是圓內(nèi)一點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的線性運算及基底法求向量數(shù)量積.
【詳解】
如圖所示，
設與交于點，
由，
得四邊形是菱形，且，則，，
由圖知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因為點是圓內(nèi)一點，則，
所以，
即的取值范圍為，
故選：A.
4在平面直角坐標系xOy中，已知點A（―1，―2），B（2，3），C（―2，―1）．
（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；
（2）設實數(shù)t滿足，求t的值．
【答案】（1），（2）
【解析】 （1）由題設知，，則，．
所以，．
故所求的兩條對角線長分別為，．
（2）由題設知，．
由，得(3+2t，5+t)·(―2，―1)=0，
從而5t=―11，所以．
5．如圖所示，四邊形ADCB是正方形，P是對角線DB上一點，PFCE是矩形，證明：.
【思路點撥】如果我們能用坐標表示與，則要證明結(jié)論，只要用兩向量垂直的充要條件進行驗證即可.因此只要建立適當?shù)淖鴺讼?，得到點A、B、E、F的坐標后，就可進行論證.
【解析】以點D為坐標原點，DC所在直線為軸建立如圖所示坐標系，設正方形的邊長為1，
，則，，，，
于是，，
∵
∴.
二：向量在物理中的應用
（1）利用向量知識來確定物理問題，應注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，即將物理問題抽象成數(shù)學模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象．
（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數(shù)乘向量；④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積．
（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論．
題型一：向量在物理學中“功”的應用
例2．一個物體受到同一平面內(nèi)三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8 m，其中|F1|=2 N，方向為北偏東30°；|F2|=4 N，方向為北偏東60°；|F3|=6 N，方向為北偏西30°，求合力F所做的功．
【答案】
【解析】 以物體的重心O為原點，正東方向為x軸的正半軸建立直角坐標系．
如圖，則，，，
則．
又位移，
合力F所做的功為（J）．
∴合力F所做的功為J．
【總結(jié)升華】用向量的方法解決相關(guān)的物理問題，要將相關(guān)物理量用幾何圖形表示出來，再根據(jù)它的物理意義建立數(shù)學模型，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解，最后將數(shù)學問題還原為物理問題．
舉一反三：
已知一物體在共點力的作用下產(chǎn)生位移，則共點力對物體所做的功為（ ）
A、4 B、3 C、7 D、2
【答案】C
【解析】對于合力，其所做的功為.因此選C.
類型二：向量在力學中的應用
例3．如圖，用兩條同樣長的繩子拉一物體，物體受到重力為G．兩繩受到的拉力分別為F1、F2，夾角為．
（1）求其中一根繩子受的拉力|F1|與G的關(guān)系式，用數(shù)學觀點分析F1的大小與夾角的關(guān)系；
（2）求F1的最小值；
（3）如果每根繩子的最大承受拉力為|G|，求的取值范圍．
【答案】（1）增大時，|F1|也增大（2）（3）[0°，120°]
【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，設F1，F(xiàn)2的合力為F，
則F=―G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，
∴，∈[0°，180°]，由于函數(shù)y=cs在∈[0°，180°]上為減函數(shù)，∴逐漸增大時，逐漸減小，即逐漸增大，∴增大時，|F1|也增大．
（2）由上述可知，當=0°時，|F1|有最小值為．
（3）由題意，，
∴，即．
由于y=cs在[0°，180°]上為減函數(shù)，∴，
∴∈[0°，120°]為所求．
【總結(jié)升華】生活中“兩人共提一桶水，夾角越大越費力”，“在單杠上做引體向上，兩臂的夾角越小就越省力”等物理現(xiàn)象，通過數(shù)學推理與分析得到了詮釋．
舉一反三：
兩個大小相等的共點力，當它們間夾角為時，合力的大小為20N，則當它們的夾角為時，合力的大小為（ ）
A、40N B、 C、 D、
【思路點撥】力的合成關(guān)鍵是依平行四邊形法則，求出力的大小，然后再結(jié)合平行四邊形法則求出新的合力.
【解析】對于兩個大小相等的共點力，當它們間夾角為時，合力的大小為20N時，這二個力的大小都是N，對于它們的夾角為時，由三角形法則，可知力的合成構(gòu)成一個等邊三角形，因此合力的大小為N. 正確答案為B.
【總結(jié)升華】力的合成可用平行四邊形法則，也可用三角形法則，各有優(yōu)點，但實質(zhì)是相通的，關(guān)鍵是要靈活掌握；對于第一個平行四邊形法則的應用易造成的錯解是，這樣就會錯選答案D.
類型五：向量在速度中的應用
例4．在風速為km / h的西風中，飛機以150 km / h的航速向西北方向飛行，求沒有風時飛機的航速和航向．
【思路點撥】這是航行中的速度問題，速度的合成與分解相當于向量的加法與減法，處理的方法和原則是三角形法則或平行四邊形法則.
【答案】，北偏西60°
【解析】設風速為ω，飛機向西北方向飛行的速度為va，無風時飛機的速度為vb，則如圖，vb=va－ω，設，，，過A點作AD∥BC，過C作CD⊥AD于D，過B作BE⊥AD于E，則∠BAD=45°，，．
所以，．
從而，∠CAD=30°．
所以沒有風時飛機的航速為km / h，航向為北偏西60°．
【總結(jié)升華】本題主要考查向量在物理學中的應用．此類問題一般采用向量加法、減法的平行四邊形法則和三角形法則來解決，注意畫圖輔助思考．
舉一反三：
一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水流速為，求船實際航行的速度的大小與方向.
【解析】如圖所示，由向量的三角形法則知，對于2，，得，方向為逆水流與水流成夾角.
【總結(jié)升華】對于船的航行問題關(guān)鍵是要注意運用向量的合成法則進行，當然要特別注意“船的實際航速和航向”和“船在靜水中的航速和航向
鞏固提升
一、單選題
1．設點是正三角形的中心，則向量，，是（ ）．A．相同的向量B．模相等的向量
C．共線向量D．共起點的向量
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)正三角形的中心到三個頂點的距離相等，得到這三個向量的模長相等，而這三個向量的方向不同，起點不同，所以它們只有模長相等的一個條件成立.
【詳解】
是正的中心，
向量，，分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的，
是正三角形的中心，
到三個頂點的距離相等，
即，
故選：B.
2．物體受到一個水平向右的力及與它成60°角的另一個力的作用.已知的大小為2N，它們的合力F與水平方向成30°角，則的大小為（ ）
A．3NB．C．2ND．
【答案】C
【解析】
【分析】
如圖所示，，即得解.
【詳解】
由題得,
所以,所以,
所以,
所以和大小相等，都為2.
故選：C
3．長江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發(fā)航行到北岸.假設游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設和的夾角為，北岸的點在的正北方向，則游船正好到達處時，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設船的實際速度為，根據(jù)題意作圖，設與南岸上游的夾角為，由題意可得的值，再計算的值即可.
【詳解】
設船的實際速度為，與南岸上游的夾角為，如圖所示，
要使得游船正好到達處，則，即，
又因為，所以，
故選：D.
4．已知，，，下列點D的坐標中不能使點A、B、C、D構(gòu)成四邊形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由題可知點A、B、C、D構(gòu)成四邊形即不存在三點共線就可構(gòu)成四邊形，利用坐標系及共線向量坐標表示即得.
【詳解】
因為，，，顯然三點不共線，
如圖在坐標系中可得選項ABC能構(gòu)成四邊形，
當時，，即此時A、C、D共線，不能使點A、B、C、D構(gòu)成四邊形.
故選：D
二、多選題
5．點P是所在平面內(nèi)一點,滿足,則的形狀不可能是
A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形
【答案】AD
【解析】
由條件可得，再兩邊平方即可得答案.
【詳解】
∵P是所在平面內(nèi)一點，且，
∴，
即，
∴，
兩邊平方并化簡得，
∴，
∴，則一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是鈍角三角形，等邊三角形，
故選：AD.
【點睛】
本題考查向量在幾何中的應用，考查計算能力，是基礎題.
6．在△ABC中，D為BC邊上的中點，P0是邊AB上的一個定點，，且對于AB上任一點P，恒有·≥·，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．·＝－；
B．存在點P，使||＜||；
C．·＝0；
D．AC＝BC.
【答案】AD
【解析】
【分析】
由題意畫出圖形，利用平面向量的加減運算及數(shù)量積運算逐一分析四個命題得答案.
【詳解】
A, 因為，故A正確.
B：由A知，，又·≥·恒成立，
，即恒成立，B不正確.
C：由恒成立，是點D與直線AB上各點距離的最小值，，，故C錯誤.
D：取AB的中點為，，為OB中點,，
，△ABC等三形，,故D正確.
故選：AD.

三、填空題
7．如圖，墻上三角架的一端處懸掛一個重為的物體，則邊上點處的受力情況是___________.
【答案】大小為，方向與相同
【解析】
【分析】
從點處進行受力分析，進而畫出受力圖，即可得出結(jié)果.
【詳解】
解：如圖，在點處進行受力分析，由已知條件有，
根據(jù)平衡條件有，，
則，方向水平向右.
則邊上點處的受力情況是大小為，方向與相同.
故答案為：大小為，方向與相同.
8．如圖，在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D．若的模為2，的模為3，的模為1，則的模為____.
【答案】##1.5
【解析】
【分析】
作出輔助線，證得△ADE∽△BDC，進而根據(jù)相似比即可求出結(jié)果.
【詳解】
如圖，延長CD，過點A作BC的平行線交CD的延長線于點E.
因為∠ACD=∠BCD=∠AED，
所以||=||.
因為△ADE∽△BDC，
所以，
故||=.
故答案為：.
四、解答題
9．如圖所示，一個物體受到同一平面內(nèi)三個力，，的作用，沿北偏東的方向移動了，其中，方向為北偏東 ；，方向為北偏東；，方向為北偏西，求合力所做的功.
【答案】
【解析】
【分析】
如圖建立平面直角坐標系，求出，，以及位移的坐標，進而可得合力的坐標，再由向量數(shù)量積的坐標運算計算即可求解.
【詳解】
如圖建立平面直角坐標系，
由題意可得，，，位移，
所以，
所以合力所做的功為，
10．兩個力，作用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從點移動到點（其中、分別是x軸正方向、y軸正方向上的單位向量，力的單位：N，位移的單位：m）.求：
(1)，分別對該質(zhì)點做的功；
(2)，的合力對該質(zhì)點做的功.
【答案】(1)對該質(zhì)點做的功為（），對該質(zhì)點做的功（）；
(2)（）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，求出位移，結(jié)合功的計算公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，求出合力，結(jié)合功的計算公式，即可求解.
(1)
根據(jù)題意，，，，
故對該質(zhì)點做的功（）；
對該質(zhì)點做的功（）.
(2)
根據(jù)題意，，的合力，
故，的合力對該質(zhì)點做的功（）.

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高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.4 平面向量的應用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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