用幾何法證明立體幾何綜合問(wèn)題 一、 課堂目標(biāo) 1．掌握空間中直線與平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理并會(huì)熟練運(yùn)用． 2．掌握利用定義法和點(diǎn)面距法求線面角的大小、利用定義法求二面角的大?。? 3．掌握異面直線的夾角與距離的求法． 4．掌握空間幾何體體積的求法． 二、 知識(shí)講解 1. 空間中的平行與垂直 知識(shí)精講 （1）空間中平行的相關(guān)定理 定理 文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 線面平行 判定定理 平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行（線線平行 線面平行）  ，  ， 線面平行 性質(zhì)定理 一條直線與一個(gè)平面平行，且經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就與兩平面的交線平行（線面平行 線線平行）  ，  ， 面面平行 判定定理 面面平行 性質(zhì)定理 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行（線面平行 面面平行） 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè) 平面相交，那么它們的交線平行  ① （2）空間中垂直的相關(guān)定理 定理  文字語(yǔ)言  符號(hào)語(yǔ)言 線面垂直 判定定理 線面垂直 性質(zhì)定理 面面垂直 判定定理 面面垂直 性質(zhì)定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直①，則該直線與此平面垂直 如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平 行 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線 ②，則這兩個(gè)平面垂直 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直 知識(shí)點(diǎn)睛 其他常用性質(zhì)和結(jié)論 ①兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行與另一個(gè)平面. ②夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等. ③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行. ④一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直. ⑤如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么它與這個(gè)平面的平行線垂直. 經(jīng)典例題 1. 對(duì)于不重合的兩個(gè)平面 與 ，給定下列條件： ①存在平面 ，使得 ， 都垂直于 ；②存在平面 ，使得 ， 都平行于 ；③ 內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到 的距離相等； ④存在異面直線 ， ，使得 ， ， ， ． 其中，可以判定 與 平行的條件有 （ ） A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè) 鞏固練習(xí) 2. 設(shè) ， 為兩條不同直線， ， 為兩個(gè)不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：①若 ， ， ， ，則 ；②若 ， ，則 ；③若 ， ，則 ；④若 ， ，則 ．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）． A. B. C. D. 經(jīng)典例題 3. 如圖 ，在 中， ， 分別為 ， 的中點(diǎn)， 為 的中點(diǎn)， ， ．將 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ， 為 的中點(diǎn)，如圖 ． 圖 圖 （ 1 ）求證： 平面 ． （ 2 ）求證：平面 平面 ． （ 3 ）線段 上是否存在點(diǎn) ，使得 平面 ？說(shuō)明理由． 鞏固練習(xí) 4. 如圖，在五面體 中，四邊形 是邊長(zhǎng)為 的正方形，平面 平面 ， ， ． （ 1 ）求證： 平面 ． （ 2 ）求證：平面 平面 ． （ 3 ）在線段 上是否存在點(diǎn) ，使得 平面 ？說(shuō)明理由． 2. 空間中的角度問(wèn)題 知識(shí)精講 （1）求異面直線的夾角 平移法求異面直線所成角： ①恰當(dāng)選點(diǎn)，作兩條異面直線的平行線，構(gòu)成平面角 ，則 （或其補(bǔ)角）就是異面直線所成角； ②然后利用銳角三角函數(shù)或解三角形中的余弦定理，求出所構(gòu)造角 的度數(shù)，異面直線所成角的范圍 ． 特別地，若能判斷這兩條異面直線互相垂直，則無(wú)需平移即可知道它們所成角為 ． 經(jīng)典例題 5. 如圖所示，在長(zhǎng)方體 中， 和 與底面所成的角分別為 和 ，則異面 直線 和 所成角的余弦值為（ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 6. 如圖，在正四棱柱 中， ，則異面直線 與 所成角的余弦值 為（ ）． A. B. C. D. 知識(shí)精講 （2）求線面角 利用定義法求線面角，求斜線和平面所成的角，一般步驟是： ①在斜線上取一點(diǎn)（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足得到直線在平面上的射影，則直線和 射影的夾角（取銳角）就是所求角. ②由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形中求解. 經(jīng)典例題 7. 如圖四棱錐 ， ， ， 平面 ，且 ， . （ 1 ）求證: （ 2 ）求 與面  面  . 所成角的正弦值. 鞏固練習(xí) 8. 如圖，在四棱錐 中， 平面 ， ， ， ， ， ， （ 1 ）求證： ． 平面  ． （ 2 ）求直線 與平面 所成角的正弦值． 知識(shí)精講 （3）求二面角 用定義法求二面角 定義法求二面角大小的一般步驟是： ①找出或作出平面角； ②證明它符合二面角的平面角的定義； ③通過(guò)解三角形(斜三角形或直角三角形)計(jì)算求解． 經(jīng)典例題 9. 已知四棱錐 的底面為直角梯形， ， ， 底面 ，且 （ 1 ）求證：平面  平面 ， 是 的中點(diǎn)，如圖所示． ． （ 2 ）求面 與面 所成的二面角的余弦值． 鞏固練習(xí) 10. 如圖，在四棱錐 中，底面 是邊長(zhǎng)為 的正方形， 是正三角形，且 ， ， ， 分別是 ， ， 的中點(diǎn)． （ 1 ）求證：平面（ 2 ）求平面 平面 與平面 ． 所成銳二面角的大?。? 3. 空間中的距離問(wèn)題 知識(shí)精講 （1）求點(diǎn)面距離 利用等體積法求點(diǎn)面距離 ①如果點(diǎn)到平面的垂線段容易作出，我們可以直接求出點(diǎn)面距離． ②當(dāng)垂線段不易作出，我們可以通過(guò)等體積法來(lái)求出點(diǎn)面距離． 例如，求下圖中點(diǎn) 到面 的距離 ： 先分別求出 的面積、面 上的高 的長(zhǎng)度及 的面積； 然后利用等體積法 ，得 ，求得 ． （2）求異面直線的距離 ①直接找公垂線段 如果方便找出（作出）公垂線， 則直接計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度即 可． ②轉(zhuǎn)化為線線距離 若兩條異面直線在某一平面上的射影互相平行（或?yàn)橐稽c(diǎn)和一直線），則可以求平行線的距離 （或點(diǎn)到直線的距離），該距離 異面直線 距離的求法  就是異面直線的距離． ③轉(zhuǎn)化為線面距離 過(guò)其中一條直線 上的任一點(diǎn)作另一條直線 的平行線 ， 和 所決定的平面 與 之間的距離就是異面直線 ， 間的距離． ④轉(zhuǎn)化為面面距離 過(guò)兩條異面直線作兩個(gè)互相平行的平面，這兩個(gè)平面間的距離就是異面直線的距離． 經(jīng)典例題 11. 如圖，在正三棱錐 中，側(cè)棱長(zhǎng)為 ，底面邊長(zhǎng)為 ， 為 的中點(diǎn)， 于 ． （ 1 ）求證： 為異面直線 與 的公垂線． （ 2 ）求異面直線 與 的距離． 12. 如圖，四邊形 為矩形，四邊形 為梯形，平面 平面 ， ， ， ，若 為 的中點(diǎn)， 與 交 于點(diǎn) ． （ 1 ）求證：  面  ． （ 2 ）求證： ． （ 3 ）求點(diǎn) 到平面 的距離． 鞏固練習(xí) 13. 如圖， 中， ， ，四邊形 是正方形，平面 底面 ， 是 的中點(diǎn)． （ 1 ）求證：（ 2 ）若  平面 ． ，求點(diǎn) 到平面  的距離． 4. 空間中的表面積與體積問(wèn)題 知識(shí)精講 空間幾何體的表面積與體積 空間幾何體 表面積 體積 棱柱 表 側(cè) 底 底 多面體 棱錐 表 側(cè) 底 底 棱臺(tái)圓柱圓錐  表  側(cè)  上底  下底  上 底 底  上 下 下 旋轉(zhuǎn)體 圓臺(tái) 球  上  上 下 下 知識(shí)點(diǎn)睛 常見(jiàn)求體積的方法： ①直接法：運(yùn)用體積公式進(jìn)行求解． ②割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，當(dāng)規(guī)則幾何體的體積用公式不易求出時(shí)，再將其分割，轉(zhuǎn)化成比較好求體積的幾何體；或把不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)則幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算． 常見(jiàn)的補(bǔ)形有：將正四面體補(bǔ)成正方體；將等腰四面體（對(duì)棱相等）補(bǔ)成長(zhǎng)方體；將三條棱兩兩相互垂 直且相等的三棱錐補(bǔ)成正方體；將臺(tái)體補(bǔ)成錐體等等． ③轉(zhuǎn)化底面法：選擇合適的底面來(lái)求多面體的體積． 經(jīng)典例題 14. 如圖，四棱錐 中，側(cè)面 為等邊三角形且垂直于底面 ， ， ， 是 的中點(diǎn)． （ 1 ）證明：直線 平面 ． （ 2 ）若 的面積為 ，求四棱錐 的體積 ． 鞏固練習(xí) 15. 如圖，在四棱錐 中，底面 是菱形， ， 為等邊三角形， 是 線段 上的一點(diǎn)，且 平面 ． （ 1 ）求證： 為 的中點(diǎn)． （ 2 ）若 為 的中點(diǎn)，連接 ， ， ， ，平面  平面  ，  ，求三棱錐 的體積． 三、 思維導(dǎo)圖 你學(xué)會(huì)了嗎？畫(huà)出思維導(dǎo)圖總結(jié)本節(jié)課所學(xué)吧！ 四、 出門測(cè) 16. 如圖所示，在長(zhǎng)方體 ，若 ， ， 分別是 ， 的中點(diǎn)，則下 列結(jié)論中不成立的是（ ）． A. B. C. 與 平面 與 垂直 所成的角為 D. 平面 17. 已知六棱錐 的底面是正六邊形， 平面 ， ，則下列命題中正確 的有（ ）． A. B. 平面 平面 C. D. 平面 直線 與平面  所成的角為 11

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本章綜合與測(cè)試

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