8.5.2　直線與平面平行 在生活中，注意到門扇的兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動時，另一邊始終與門框所在的平面沒有公共點(diǎn)，此時門扇轉(zhuǎn)動的一邊與門框所在的平面給人以平行的印象． 問題：(1)上述問題中存在著不變的位置關(guān)系是指什么？ (2)若判斷直線與平面平行，由上述問題你能得出一種方法嗎？ 知識點(diǎn)1　直線與平面平行的判定定理 如果直線a與平面α內(nèi)的一條直線b平行，直線a與平面α一定平行嗎？ [提示]　不一定，直線a可能在平面α內(nèi)． 1．下列條件中能確定直線a與平面α平行的是(　　) A．a(chǎn)?α，b?α，a∥b B．b?α，a∥b C．b?α，c?α，a∥b，a∥c D．b?α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD A　[由直線與平面平行的判定定理知選A．] 知識點(diǎn)2　直線與平面平行的性質(zhì)定理 2．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”) (1)若直線l∥平面α，直線a?平面α，則l∥a． (　　) (2)若直線m∥平面α，n∥平面α，則m∥n． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 3．如圖，在三棱錐S -ABC中，E，F(xiàn)分別是SB，SC上的點(diǎn)，且EF∥平面ABC，則(　　) A．EF與BC相交 B．EF∥BC C．EF與BC異面 D．以上均有可能 B　[∵平面SBC∩平面ABC＝BC，又∵EF∥平面ABC，∴EF∥BC．] 4．已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點(diǎn)P且平行于l的直線有________條． 1　[如圖所示， ∵l∥平面α，P∈α， ∴直線l與點(diǎn)P確定一個平面β，α∩β＝m， ∴P∈m，∴l(xiāng)∥m且m是唯一的．] 類型1　直線與平面平行的判定 【例1】　(對接教材P138練習(xí)2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN．求證：MN∥平面AA1B1B． [證明]　法一：如圖①，作ME∥BC，交BB1于點(diǎn)E，作NF∥AD，交AB于點(diǎn)F，連接EF， ① 則EF?平面AA1B1B， 且eq \f(ME,BC)＝eq \f(B1M,B1C)，eq \f(NF,AD)＝eq \f(BN,BD)． ∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，CM＝DN，B1C＝BD，∴B1M＝NB． ∴eq \f(ME,BC)＝eq \f(BN,BD)＝eq \f(NF,AD)．又AD＝BC， ∴ME＝NF．又ME∥BC∥AD∥NF， ∴四邊形MEFN為平行四邊形．∴MN∥EF． ∵M(jìn)N?平面AA1B1B，EF?平面AA1B1B， ∴MN∥平面AA1B1B． 法二：如圖②，連接CN并延長交BA所在直線于點(diǎn)P，連接B1P，則B1P?平面AA1B1B． ② ∵△NDC∽△NBP， ∴eq \f(DN,NB)＝eq \f(CN,NP)． 又CM＝DN，B1C＝BD， ∴eq \f(CM,MB1)＝eq \f(DN,NB)＝eq \f(CN,NP)． ∴MN∥B1P． ∵M(jìn)N?平面AA1B1B，B1P?平面AA1B1B， ∴MN∥平面AA1B1B． 證明直線與平面平行的步驟是什么？ [提示]　證明直線與平面平行，可以用定義，也可以用判定定理，但說明直線與平面沒有公共點(diǎn)不是很容易(當(dāng)然也可用反證法)，所以更多的是用判定定理，用判定定理證明直線與平面平行的步驟如下： eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．如圖，P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn)，求證：AF∥平面PEC． [證明]　設(shè)PC的中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G． ∵F為PD的中點(diǎn)， ∴GF∥CD，且GF＝eq \f(1,2)CD． ∵AB∥CD，AB＝CD，E為AB的中點(diǎn)， ∴GF∥AE，GF＝AE， ∴四邊形AEGF為平行四邊形， ∴EG∥AF． 又∵AF?平面PEC，EG?平面PEC， ∴AF∥平面PEC． 類型2　直線與平面平行的性質(zhì) 【例2】　如圖，用平行于四面體ABCD的一組對棱AB，CD的平面截此四面體．求證：截面MNPQ是平行四邊形． [證明]　因?yàn)锳B∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC， 所以由線面平行的性質(zhì)定理，知AB∥MN． 同理，AB∥PQ， 所以MN∥PQ．同理可得MQ∥NP． 所以截面MNPQ是平行四邊形． 1．若本例條件不變，求證：eq \f(BP,PD)＝eq \f(AM,MC)． [證明]　由例1知PQ∥AB，∴eq \f(BP,PD)＝eq \f(AQ,QD)． ∵QM∥DC，∴eq \f(AQ,QD)＝eq \f(AM,MC)． ∴eq \f(BP,PD)＝eq \f(AM,MC)． 2．若本例中添加條件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四邊形MNPQ的面積． [解]　由例2知，四邊形MNPQ是平行四邊形， ∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四邊形MNPQ是矩形． ∵BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝eq \f(1,2)AB，QM＝eq \f(1,2)CD． ∴PQ＝5，QM＝4， ∴四邊形MNPQ的面積為5×4＝20． 運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與這個平面相交的交線，然后確定線線平行. eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，P，Q分別為棱AA1，AC的中點(diǎn)．在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)A作AM∥平面PQB1交BC于點(diǎn)M，并寫出作圖步驟，但不要求證明． [解]　取BB1中點(diǎn)E，連接AE，則AE∥PB1， 連接CE，取CE中點(diǎn)N，連接QN，則QN∥AE，所以QN∥PB1，即Q，N，P，B1四點(diǎn)共面，連接B1N并延長交BC于H，連接QH，則Q，H，B1，P四點(diǎn)共面， 過A作AM∥QH交BC于M，即為所求． 類型3　直線與平面平行的判定與性質(zhì) 【例3】　求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行． 1．若直線l∥平面α，則l平行于平面α內(nèi)的所有直線嗎？ [提示]　不是． 2．若a∥α，過a與α相交的平面有多少個？這些平面與α的交線與直線a有什么關(guān)系？ [提示]　若a∥α，則過a且與α相交的平面有無數(shù)個．這些平面與α的交線與直線a相互平行． [解]　已知直線a，l，平面α，β滿足α∩β＝l，a∥α，a∥β．求證：a∥l． 證明：如圖所示，過a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b． 同樣過a作平面δ交平面β于c， ∵a∥β，∴a∥c．則b∥c．又∵b?β，c?β，∴b∥β． 又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l．又∵a∥b，∴a∥l． 線面平行的性質(zhì)和判定經(jīng)常交替使用，也就是通過線線平行得到線面平行，再通過線面平行得線線平行.利用線面平行的性質(zhì)定理解題的具體步驟：?1?確定?或?qū)ふ?一條直線平行于一個平面；?2?確定?或?qū)ふ?過這條直線且與這個平行平面相交的平面；?3?確定交線；?4?由性質(zhì)定理得出線線平行的結(jié)論. eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 3．若兩個相交平面分別過兩條平行直線，則它們的交線和這兩條平行直線平行． [解]　已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l．求證：a∥b∥l． 證明：如圖所示，∵a∥b，b?β，a?β， ∴a∥β， 又a?α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b， ∴a∥b∥l． 1．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的(　　) A．一條直線不相交 B．兩條直線不相交 C．無數(shù)條直線不相交 D．任意一條直線不相交 D　[直線a∥平面α，則a與α無公共點(diǎn)，與α內(nèi)的直線當(dāng)然均無公共點(diǎn)．] 2．若a，b是兩條異面直線，且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是________． 平行或相交或b在α內(nèi)　[如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)平面ABCD為α，A1B1為a，則a∥α，當(dāng)分別取EF，BC1，BC為b時，均滿足a與b異面，于是b∥α，b∩α＝B，b?α(其中E，F(xiàn)為棱的中點(diǎn))．] 3．過正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1．求證：BB1∥EE1． [證明]　如圖所示，∵CC1∥BB1，CC1?平面BEE1B1， ∴CC1∥平面BEE1B1． 又∵平面CEE1C1過CC1且交平面BEE1B1于EE1， ∴CC1∥EE1． 由于CC1∥BB1， ∴BB1∥EE1． 回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題： (1)直線與平面平行的判定定理的內(nèi)容是什么？應(yīng)用此定理應(yīng)注意什么問題？ (2)判定直線與平面平行的方法有哪些？ (3)直線與平面平行的性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？ (4)線線平行與線面平行之間是如何轉(zhuǎn)化的？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能利用這兩個定理解決空間中的平行關(guān)系問題．(重點(diǎn)) 2．利用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明空間平行問題．(難點(diǎn))借助直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)．文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行圖形語言符號語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α作用證明直線與平面平行文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行圖形語言符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b作用證明兩條直線平行

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