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人教A版（2019）必修第二冊《第八章 立體幾何初步》單元測試

一 、單選題（本大題共8小題，共40分）
1.（5分）已知兩平面α，β，兩直線m，n，下列命題中正確的是(????)
A. 若m//α，n?α，則m//n
B. 若m?α，n?α，且m//β，n//β，則α//β
C. 若m⊥α，m//n，n?β，則α⊥β
D. 若m//α，α∩β=n，則m//n
2.（5分）將等腰直角三角形ABC沿斜邊上的高線AD折成60o的二面角，則折后的直線BC與平面ABD所成角的正弦值(?)

A. ?12 B. ?33 C. ?22 D. ?32
3.（5分）如果一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖恰是一個(gè)半圓，那么這個(gè)圓錐軸截面三角形的頂角為(????)
A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
4.（5分）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為(????)

A. 15 B. 35 C. 25 D. 45
5.（5分）已知三棱錐A-BCD中，ΔABC為等邊三角形，AB=23，∠BDC=90°，二面角A-BC-D的大小為150°，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為(?)
A. 7π B. 12π C. 16π D. 28π
6.（5分）已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且∠ABC=∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是(?)
A. AB//CD B. AB與CD異面
C. AB與CD相交 D. AB//CD或AB與CD異面或AB與CD相交
7.（5分）在空間中，α，β表示平面，m表示直線，已知α∩β=l，則下列命題正確的是(????)
A. 若m//l，則m與α，β都平行
B. 若m與α，β都平行，則m//l
C. 若m與l異面，則m與α，β都相交
D. 若m與α，β都相交，則m與l異面
8.（5分）設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E為DD1的中點(diǎn)，M為直線BD1上一點(diǎn)，N為平面AEC內(nèi)一點(diǎn)，則M,N兩點(diǎn)間距離的最小值為(?)
A. 63 B. 66 C. 34 D. 36
二 、多選題（本大題共5小題，共25分）
9.（5分）在正三棱錐P-ABC中，PB=2AC=26，D，E分別是棱AC，PB的中點(diǎn)，M是棱PC上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()
A. PB⊥AC B. 異面直線DE和AB所成角的余弦值是33
C. AM+MB的最小值是43 D. 三棱錐P-ABC內(nèi)切球的半徑是21-1
10.（5分）正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP=23BD1，則下面結(jié)論正確的是(?).
A. MN?//平面APC
B. C1Q?//平面APC
C. A，P，M三點(diǎn)共線
D. 平面MNQ?//平面APC
11.（5分）四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，O為正方形ABCD的中心，A1A=A1C=AB，M，N分別為線段A1A，A1B?的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是(?)
A. C1C//平面OMN B. 平面A1CD//平面OMN
C. 直線A1C與直線MN所成的角為90° D. OM⊥D1D
12.（5分）已知，四棱錐P-ABCD中，PA=PB=PC=PD，則底面四邊形不可能是(?)
A. 平行四邊形(非矩形)???? B. 等腰梯形
C. 直角梯形 D. 矩形
13.（5分）已知α，β是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是(?)
A. 若α//β，a?α，b?β，則a//b
B. 若b//α，b?β，α∩β=a，則a//b
C. 若a?α，b?β，a⊥b，則α⊥β
D. 若a//α，b⊥β，a//b，則α⊥β
三 、填空題（本大題共5小題，共25分）
14.（5分）如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，若其中有一個(gè)底面半徑為1cm的內(nèi)接圓柱．則圓柱的側(cè)面積為_______cm2.?

15.（5分）已知四面體A-BCD中，AB=CD=5，AC=BD=10，BC=AD=13，則其外接球的體積為________.
16.（5分）點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球的球面上，AB=BC=2,AC=22，若四面體ABCD體積的最大值為43，則該球的表面積為 ______ ．
17.（5分）下列五個(gè)正方體圖形中，l是正方形的一條對角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是______(寫出所有符合要求的圖形序號)．?

18.（5分）在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=CD=CB=1，將△ACD沿AC折起，連接BD，得到三棱錐D-ABC，則三棱錐D-ABC體積的最大值為__________，此時(shí)該三棱錐的外接球的表面積為__________.
四 、解答題（本大題共5小題，共60分）
19.（12分）已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，且PA=PC，PB=PD.若O是AC與BD的交點(diǎn)，求證：PO⊥平面ABCD.?

20.（12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)D1為棱PD的中點(diǎn)，過D1作與平面ABCD平行的平面與棱PA，PB，PC相交于A1，B1，C1，∠BAD=60°．?
(1)證明：B1為PB的中點(diǎn)； ?
(2)已知棱錐的高為3，且AB=2，AC、BD的交點(diǎn)為O，連接B1O.求三棱錐B1-ABO外接球的體積．

21.（12分）《九章算術(shù)》中記錄形似“楔體”的所謂“羨除”，就是三個(gè)側(cè)面都是梯形或平行四邊形(其中最多只有一個(gè)平行四邊形)、兩個(gè)不平行對面是三角形的五面體．如圖，羨除ABCDEF中，ABCD是邊長為6的正方形，且△EAD，△FBC均為正三角形，棱EF平行于平面ABCD，EF=2AB.?
(1)求證：AE⊥CF；?
(2)求三棱錐A-BDF的體積．

22.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD//BC，AD=2BC=2，PC=2，ΔABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E是PD的中點(diǎn)．?
(I)求證：平面EAC⊥平面PCD；?
(II)求直線PA與平面EAC所成角的余弦值．

23.（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AC，CC1的中點(diǎn)．?
(1)求證：DE//平面AB1C1；?
(2)若BC=BA，A1E⊥平面BDE，求證：平面AA1C1C⊥平面ABC.


答案和解析
1.【答案】C;
【解析】?
該題考查命題真假的判斷，考查空間線面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．?
在A中，m與n平行或異面；在B中，α與β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m與n平行或異面．?
?
解：由兩平面α，β，兩直線m，n，知：?
在A中：若m//α，n?α，則m與n平行或異面，故A錯(cuò)誤；?
在B中：若m?α，n?α，且m//β，n//β，則α與β相交或平行，故B錯(cuò)誤；?
在C中：若m⊥α，m//n，n?β，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；?
在D中：若m//α，α∩β=n，則m與n平行或異面，故D錯(cuò)誤．?
故選：C．?
?


2.【答案】D;
【解析】?
此題主要考查了直線和平面所成的角，是基礎(chǔ)題.?
把直線和平面所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，根據(jù)解三角形可以得出答案.?
?
解：將等腰直角三角形ABC沿底邊上的高線AD折成60o的二面角，如圖所示：?
?????????
在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，易知直線BC與平面ABD所成角為∠DBC，?
又BD=DC，∠BDC=60o，所以ΔDBC為正三角形，故∠DBC=60o，?
所以直線BC與平面ABD所成角的正弦值為32.?


3.【答案】C;
【解析】?
該題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖，考查計(jì)算能力，空間想象能力，是基礎(chǔ)題．?
圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，半圓的弧長就是圓錐的底面圓的周長，設(shè)出母線，求出圓錐的底面直徑，可求圓錐的頂角．?
?
解：設(shè)圓錐的母線長為R，則圓錐的底面周長為πR，?
則圓錐的底面直徑為R，所以圓錐的頂角為π3．?
故選：C．?


4.【答案】C;
【解析】解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．?
不妨設(shè)AB=2.則A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(xiàn)(2,1,0)，設(shè)M(0,t,2)，0?t?2．?
∴FA→=(-2,-1,0)，EM→=(-1,t,2)，?
∴cosθ=FA→.EM→|FA→|.|EM→|=2-t5.5+t2，?
令f(t)=(2-t)2t2+5，t∈[0,2]．?
f'(t)=2(2t2+t-10)(t2+5)2

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本章綜合與測試

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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