第2課時(shí)　線(xiàn)面垂直的性質(zhì)與空間距離 知識(shí)點(diǎn)1　直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理 在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直線(xiàn)與平面ABCD位置關(guān)系如何？這兩條直線(xiàn)又有什么樣的位置關(guān)系？ [提示]　棱AA′，BB′所在直線(xiàn)都與平面ABCD垂直；這兩條直線(xiàn)互相平行． 1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若直線(xiàn)l(與直線(xiàn)BB1不重合)⊥平面A1C1，則(　　) A．B1B⊥l B．B1B∥l C．B1B與l異面但不垂直 D．B1B與l相交但不垂直 B　[因?yàn)锽1B⊥平面A1C1，又因?yàn)閘⊥平面A1C1，所以l∥B1B．] 知識(shí)點(diǎn)2　空間距離 1．過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線(xiàn)，則該點(diǎn)與垂足間的線(xiàn)段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線(xiàn)段，垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離． 2．一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線(xiàn)到這個(gè)平面的距離． 3．如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離． 2．已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，則點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為(　　) A．1　　　　B．eq \r(2)　　　　C．2eq \r(2)　　　　D．2eq \r(3) B　[如圖，連接AC，DB交于點(diǎn)O，在正方體ABCD-A1B1C1D1中， ∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B， ∴AC⊥平面BDD1B1． ∴點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為CO． ∵AB＝2，∴AC＝2eq \r(2)， ∴CO＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2)．] 類(lèi)型1　線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用 【例1】　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC．求證：MN∥AD1． [解]　因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1為正方形， 所以AD1⊥A1D． 又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1， 所以CD⊥AD1． 因?yàn)锳1D∩CD＝D， 所以AD1⊥平面A1DC． 又因?yàn)镸N⊥平面A1DC，所以MN∥AD1． 證明線(xiàn)線(xiàn)平行常用的方法 (1)利用線(xiàn)線(xiàn)平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)． (2)利用三線(xiàn)平行公理：證兩線(xiàn)同時(shí)平行于第三條直線(xiàn)． (3)利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：把證線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面平行． (4)利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：把證線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面垂直． (5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為證面面平行． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，直線(xiàn)a?β，a⊥AB．求證：a∥l． [證明]　因?yàn)镋A⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA． 同理l⊥EB．又EA∩EB＝E， 所以l⊥平面EAB． 因?yàn)镋B⊥β，a?β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB． 由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l． 類(lèi)型2　空間中的距離問(wèn)題 【例2】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝2eq \r(5)，∠BAD＝60°，點(diǎn)Q在棱AB上． (1)證明：PD⊥平面ABCD； (2)若三棱錐P-ADQ的體積為2eq \r(3)，求點(diǎn)B到平面PDQ的距離． [解]　(1)證明：因?yàn)锳D＝2PD＝4，PA＝2eq \r(5)，所以PA2＝PD2＋AD2，即PD⊥AD，因?yàn)镃D⊥平面PAD， 所以CD⊥PD，且AD∩CD＝D． 所以PD⊥平面ABCD． (2)因?yàn)槿忮FP-ADQ的體積為2eq \r(3)， 所以eq \f(1,3)S△ADQ·PD＝2eq \r(3)， 所以S△ADQ＝3eq \r(3)． 所以eq \f(1,2)AD·AQ·sin 60°＝3eq \r(3)， 所以AQ＝3． 所以Q為AB中點(diǎn)，即點(diǎn)A到平面PDQ的距離等于點(diǎn)B到平面PDQ的距離． 在△ADQ中，由余弦定理可得DQ＝ eq \r(AD2＋AQ2－2AD·AQcos 60°)＝eq \r(13)． 所以S△PDQ＝eq \f(1,2)×PD×DQ＝eq \r(13)． 由VP-ADQ＝VA-PDQ?2eq \r(3)＝eq \f(1,3)×eq \r(13)×d，所以d＝eq \f(6\r(39),13)． 所以點(diǎn)B到平面PDQ的距離為eq \f(6\r(39),13)． 空間中距離的轉(zhuǎn)化 (1)利用線(xiàn)面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線(xiàn)面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)或平面上的另一點(diǎn)到平面的距離． (2)利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點(diǎn)條件，將一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，借助中點(diǎn)(等分點(diǎn))，轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面的距離． (3)通過(guò)換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴(kuò)展(分割)，以方便求底面積和高． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．在如圖所示的幾何體中，ABC-A1B1C1為三棱柱，且AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD＝2CD，∠ADC＝60°． (1)求證：AC1⊥平面A1B1CD； (2)若CD＝2，求C1到平面A1B1CD的距離． [解]　(1)因?yàn)锳BC-A1B1C1為三棱柱，且AA1⊥平面ABC，又AA1＝AC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD＝2CD，∠ADC＝60°， 所以四邊形AA1C1C是正方形， 所以AC1⊥A1C． 設(shè)CD＝a，則AD＝2a， AC＝eq \r(a2＋4a2－2×a×2a×cos 60°) ＝eq \r(3)a，所以CD2＋AC2＝AD2， 所以AC⊥DC，所以AC⊥AB， 因?yàn)锳A1⊥AB，AC∩AA1＝A， 所以AB⊥平面ACC1A1，又AB∥A1B1，AC1?平面ACC1A1，所以A1B1⊥AC1． 因?yàn)锳1B1∩A1C＝A1， 所以AC1⊥平面A1B1CD． (2)因?yàn)镃D＝2，所以AD＝4，AC＝AA1＝eq \r(16－4)＝2eq \r(3)，所以AC1＝2eq \r(6)． 所以點(diǎn)C1到平面A1B1CD的距離為eq \f(1,2)AC1＝eq \r(6)． 類(lèi)型3　直線(xiàn)與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 【例3】　如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求證：PB⊥EF． [證明]　因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC． 又AB是圓O的直徑，所以AC⊥BC． 又AC，PA在平面PAC中交于A， 所以BC⊥平面PAC．又AF?平面PAC， 所以BC⊥AF． 因?yàn)锳F⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC．又PB?平面PBC，所以AF⊥PB． 又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF． 關(guān)于線(xiàn)面垂直判定、性質(zhì)的應(yīng)用 (1)分析已知的垂直關(guān)系，得出能夠推出的線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面垂直，即挖掘已知條件，以方便后續(xù)證明． (2)證明垂直關(guān)系時(shí)往往需要逆向思維，如要證明直線(xiàn)a垂直于平面α內(nèi)直線(xiàn)b，可以考慮證明直線(xiàn)b垂直于直線(xiàn)a所在的平面β． (3)掌握線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面垂直的相互轉(zhuǎn)化． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2． (1)求證：CD⊥平面PAC； (2)在棱PC上是否存在點(diǎn)H，使得AH⊥平面PCD？若存在，確定點(diǎn)H的位置；若不存在，說(shuō)明理由． [解]　(1)由題意，可得DC＝AC＝eq \r(2)，又AD＝2， 所以AC2＋DC2＝AD2，即AC⊥DC， 又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD， 又因?yàn)镻A∩AC＝A，所以DC⊥平面PAC． (2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PC，垂足為H， 由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C， 所以AH⊥平面PCD，因?yàn)樵赗t△PAC中，PA＝2，AC＝eq \r(2)，eq \f(PH,PA)＝eq \f(PA,PC)，解得PH＝eq \f(2\r(6),3)，所以PH＝eq \f(2,3)PC，即在棱PC上存在點(diǎn)H，且PH＝eq \f(2,3)PC，使得AH⊥平面PCD． 1．如圖，P為△ABC所在平面α外一點(diǎn)，PB⊥α，PC⊥AC，則△ABC的形狀為(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 B　[由PB⊥α，AC?α，得PB⊥AC， 又AC⊥PC，PC∩PB＝P， 所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC為直角三角形．] 2．如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方形，則以下結(jié)論：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 D　[由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1，所以結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，所以①正確． 由正方體的性質(zhì)得AC⊥BD，因?yàn)锳C是AC1在底面ABCD內(nèi)的射影，所以由三垂線(xiàn)定理可得：AC1⊥BD，所以②正確． 由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥CB1，進(jìn)而結(jié)論線(xiàn)面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1，所以③正確． 故選：D．] 3．已知四邊形ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，當(dāng)平行四邊形ABCD滿(mǎn)足條件________時(shí)，有PC⊥BD(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可)． [答案]　四邊形ABCD為菱形(答案不唯一) 4．在矩形ABCD中，AB＝2eq \r(2)，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足PQ⊥DQ，則a的最小值為_(kāi)_______． 4eq \r(2)　[假設(shè)在BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥DQ，連接AQ，因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AB＝2eq \r(2)，BC＝a，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ，因?yàn)镻Q⊥DQ，PA∩PQ＝P，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以∠AQD＝90°， 由題意得△ABQ∽△QCD，所以eq \f(AB,QC)＝eq \f(BQ,CD)， 設(shè)BQ＝x，所以x(a－x)＝8， 即x2－ax＋8＝0(*)， 當(dāng)Δ＝a2－32≥0時(shí)，(*)方程有解， 所以當(dāng)a≥4eq \r(2)時(shí)，在BC上存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足PQ⊥DQ，故a的最小值為4eq \r(2)．] 回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題： (1)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？ (2)空間中的距離包括哪幾類(lèi)？它們之間是如何轉(zhuǎn)化的？ (3)如何求空間中點(diǎn)到平面的距離？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．理解直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理．(重點(diǎn)) 2．能利用直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明．(難點(diǎn)) 3．理解空間距離相關(guān)定義并會(huì)求相應(yīng)的距離．通過(guò)學(xué)習(xí)直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行符號(hào)語(yǔ)言eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語(yǔ)言作　用證明兩條直線(xiàn)平行

英語(yǔ)朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

本章綜合與測(cè)試

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部