第八章 立體幾何初步單元測試（強(qiáng)化卷） 一、單選題1．如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原圖的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：還原原圖形，再求出面積；方法二：先求出直觀圖的面積，再根據(jù)直觀圖和原圖形的面積比進(jìn)行求解【詳解】方法一：如圖所示：根據(jù)斜二測畫法，可知原圖形為平行四邊形，其中，，故面積為.方法二：直觀圖的面積為，原圖的面積與直觀圖的面積之比為，故原圖的面積為.故選：A2．在正方體中，是正方形的中心，則直線與直線所成角大小為（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】如圖，連接，，，利用余弦定理可求的值，從而可得直線與直線所成角大小.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，連接，，，因為，故或其補角為直線與直線所成角.而，，，故，所以，所以，因為為銳角，故，故選：A.3．如圖，是水平放置的的斜二測直觀圖，為等腰直角三角形，其中與重合，，則的面積是（      ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理可求得，可還原，由此可求得結(jié)果.【詳解】，，，，則如圖所示，其中，，，.故選：B.4．在正方體中，為線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，得到，把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與所成角，取的中點，在直角中，即可求解.【詳解】在正方體中，連接，，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，即為異面直線與所成角，不妨設(shè)，則，，取的中點，因為，所以，在直角中，可得.故選：B.5．如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A，B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角應(yīng)為（    ）A．75° B．60° C．50° D．45°【答案】C【分析】作出遮陽棚ABC與地面所成二面的平面角，再借助正弦定理推理、計算作答.【詳解】過C作平面于E，連DE并延長交AB于O，連CO，如圖，依題意，，而，，則平面，又平面，有，因此，是遮陽棚ABC與地面所成二面的平面角，令，而，由于AB長一定，要使遮陰影面ABD面積最大，當(dāng)且僅當(dāng)最長，在中，長是定值，由正弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即取“=”，所以遮陽棚ABC與地面所成的角應(yīng)為.故選：C6．如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（    ）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯誤，選項A正確.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.7．如圖所示，平行四邊形中，，且.將其沿折成直二面角，所得的四面體的外接球表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，求出的外接圓半徑，利用公式可求得外接球的半徑，然后利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】翻折前且，，則，翻折后，平面平面，平面平面，平面，平面，的外接圓直徑為，，所以，四面體的外接球半徑為，因此，外接球的表面積為.故選：D.【點睛】本題考查外接球表面積的計算，解題時要弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.8．如圖，從一個正方體中挖掉一個四棱錐，然后從任意面剖開此幾何體，下面哪個選項不是該幾何體的截面？A． B． C． D．【答案】A【分析】可通過確定截面的不同位置去剖開正方體，想象相對應(yīng)的截面形狀，即可確定答案.【詳解】對于A，由于截面中間是矩形，如果可能的話，一定是用和正方體底面平行的截面去剖開正方體并且是從挖去四棱錐的那部分剖開，但此時剖面中間應(yīng)該是一個正方形，因此A圖形不可能是截面；對于B，當(dāng)從正方體底面的一組相對棱的中點處剖開時，截面正好通過四棱錐頂點，如圖：此時截面形狀如B圖形，故B可能是該幾何體的截面；對于C,當(dāng)截面不經(jīng)過底面一組相對棱的中點處，并和另一組棱平行去剖開正方體時，如圖中截面PDGH位置：截面就會如C圖形，故C可能是該幾何體的截面；對于D，如圖示，按圖中截面 的位置去剖開正方體，截面就會如D圖形，故D可能是該幾何體的截面；故答案為：A 二、多選題9．設(shè)，為不同的直線，，為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】BD【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，逐一分析各選項即可得答案.【詳解】解：對A：若，，則或與相交或與異面，故選項A錯誤；對B：若，，則，故選項B正確；對C：若，，則或與相交，故選項C正確；對D：若，，，則，故選項D正確.故選：BD.10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，底面ABCD，M為PA的中點，則下列敘述中正確的是（    ）A．PC//平面MBDB．平面PACC．異面直線BC與PD所成的角是D．直線PC與底面ABCD所成的角的正切值是【答案】CD【分析】利用反證法，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合題意，可判斷A的正誤；利用反證法，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可判斷B的正誤；根據(jù)異面直線成角的幾何求法，即可判斷C的正誤；根據(jù)線面角的幾何求法，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】設(shè)，則E不是中點，假設(shè)平面因為平面，平面平面，所以，因為M為中點，所以E是中點，與題意矛盾，所以A錯；假設(shè)平面，則，因為直角梯形ABCD所，，所以知與不垂直，與假設(shè)矛盾，故B錯；因為，所以異面直線與所成的角就是直線與所成的角，為，因為是等腰直角三角形，所以，故異面直線與所成的角是，所以C對．因為底面，所以直線與底面所成的角為，又因為，，所以，所以D對．故選：CD．11．如圖，將正方形沿對角線折成直二面角，則下列四個結(jié)論中正確的是（    ）A．B．是等邊三角形C．與所成的角為D．與平面所成的角為【答案】ABC【分析】對于A，根據(jù)等腰三角形的三線合一及線面垂直的判定定理，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可求解；對于B，根據(jù)直角三角形斜邊的中線定理及面面垂直的性質(zhì)定理，再利用線面垂直的性質(zhì)定理及勾股定理即可求；對于C,根據(jù)直角三角形斜邊的中線定理及三角形的中位線定理，再結(jié)合異面直線所成角的定義即可求解；對于D，根據(jù)B選項及線面角的定義，結(jié)合等腰直線三角形即可求解.【詳解】如圖所示對于A，取的中點，連接，折疊后是等腰直角三角形，，，又,所以平面，平面，所以，故A項正確；對于B，設(shè)折疊前正方形的邊長為，則，，由平面平面，因為是的中點，是等腰直角三角形，所以，又平面平面，平面，所以平面,平面，所以,所以，所以是等邊三角形，故B項正確；對于C，設(shè)折疊前正方形的邊長為，則取的中點的中點，連接，，所以所以是直線與所成的角（或補角），在中，，所以是等邊三角形，所以，所以與所成的角為，故C項正確；對于D，由B 選項知，平面,是直線在平面內(nèi)的射影，所以是直線與平面所成的角，因為是的中點，是等腰直角三角形，所以，，所以是等腰直角三角形；即，所以與平面所成的角為，故項錯誤.故選：ABC.12．如圖所示，在三棱錐中，，且，為線段的中點.則（ ）A．與垂直B．與平行C．點到點，，，的距離相等D．與平面，與平面所成的角可能相等【答案】AC【解析】由題設(shè)可證底面，作中點，由中位線定理可證，易證，再由為外心得到三點距離相等，為外心，可證點到點，，，的距離相等；結(jié)合正切定義可證與平面，與平面所成的角不相等【詳解】過點作，垂足為，連接，可得為的中點.因為，所以，所以平面，所以，從而A正確；由條件可知，而與有交點，因而與不平行，B錯誤；點是的外心，所以到，，的距離相等，根據(jù)條件可知平面，從而平面，又因為是的外心，所以點到，，的距離相等，所以點到，，，四點的距離都相等，C正確；與平面所成的角即，與平面所成的角即，，，所以兩個角不可能相等，D錯誤.故選：AC【點睛】方法點睛：本題考查錐體基本性質(zhì)的應(yīng)用，線線垂直的證明，兩直線平行的判斷，錐體外接球球心的判斷，線面角大小的判斷，綜合性強(qiáng)，需掌握以下方法：（1）能利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理證明線線垂直；（2）要證兩直線不平行只需證明兩直線或?qū)?yīng)的平行直線相交即可；（3）尋找錐體外接球球心關(guān)鍵在于先尋找底面三角形外接圓圓心，在垂直于底面外接圓圓心的線段上，再尋找跟頂點與底面任意一頂點相等的點. 三、填空題13．如圖，是在斜二測畫法下的直觀圖，其中，且，則的面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系即可求解.【詳解】解：，且，故，∴.故 答 案 為：.14．如果三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長度都是2，則它的外接球的體積是___________.【答案】【分析】將此三棱錐放入正方體中，即轉(zhuǎn)化為正方體的外接球的問題，而正方體的體對角線即為相應(yīng)的外接球的球直徑，進(jìn)而可以求得體積.【詳解】因為三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且側(cè)棱均為，所以它的外接球就是它擴(kuò)展為正方體的外接球，求出正方體的對角線的長為，所以球的直徑是，半徑為，所以球的體積為.故答案為：.15．已知三棱錐的一條棱長為，其余棱長均為．當(dāng)三棱錐的體積最大時，它的外接球的表面積為______．【答案】【分析】首先分析線面間的關(guān)系，得到平面平面時，三棱錐的體積最大，得到此時，接著確定球心的位置，根據(jù)勾股定理及線面間的關(guān)系，最后獲得外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】解：由題意畫出三棱錐的圖形，其中，.取，的中點分別為，，可知，，且，∴平面，∴平面平面時，三棱錐的體積最大，此時.設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，由球體的對稱性知，球心在線段上，∴，又，設(shè)，在三角形中：，在三角形中：∴，解得.∴球的半徑滿足，∴三棱錐外接球的表面積為.故答案為：. 16．已知菱形的邊長為2，.將沿折起，使得點至點的位置，得到四面體.當(dāng)二面角的大小為120°時，四面體的體積為___________；當(dāng)四面體的體積為1時，以為球心，的長為半徑的球面被平面所截得的曲線在內(nèi)部的長為_______________.【答案】     ##     【分析】畫出圖形，求出四面體的高，從而求出四面體的體積；通過分析得到，，即O，F兩點重合，畫出圖形，得到落在內(nèi)部的長為半徑為1的圓周長的一半，從而求出答案.【詳解】如圖1，過點P作PF⊥CO交CO的延長線于點F，則∠POF=60°，因為菱形的邊長為2，，所以，，故四面體的體積為；當(dāng)四面體的體積為1時，此時，解得：，，即O，F兩點重合，即PO⊥底面BCD，如圖2，以為球心，的長為半徑的球面被平面所截得的曲線為以O為圓心，半徑為的圓，落在內(nèi)部的長為圓周長的一半，所以長度為.故答案為：， 四、解答題17．如圖，在三棱錐中，分別為的中點，，且，．求證：平面．【答案】證明見解析.【分析】由題可得，利用線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而可得，然后利用線面垂直的判定定理即得.【詳解】∵在中，D是AB的中點，，∴,∵E是PB的中點，D是AB的中點，∴，∴，又，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，平面，∴平面．18．為了方便向窄口容器中注入液體，某單位設(shè)計一種圓錐形的漏斗，設(shè)計要求如下：該圓錐形漏斗的高為10cm，且當(dāng)窄口容器的容器口是半徑為1cm的圓時，漏斗頂點處伸入容器部分的高為2cm，求制造該漏斗所需材料的面積．（假設(shè)材料沒有浪費）【答案】【分析】由條件計算圓錐的母線長和底面半徑，再由圓錐側(cè)面積公式求其側(cè)面積，由此可得制造該漏斗所需材料的面積．【詳解】解：如圖，由題意知，，，因為，所以，即，解得，所以，可得圓錐母線，所以側(cè)面積． 19．如圖，、是圓錐SO的兩條母線，是底面圓的圓心，底面圓半徑為10，是的中點，，與底面所成角為，求此圓錐的側(cè)面積．【答案】．【分析】先求出，再求出，從而得到，最后根據(jù)側(cè)面積公式計算即可.【詳解】如圖，作于，連接．根據(jù)題意，得為與底面所成角，．在中，易知是正三角形，且有，，，．因此在等腰Rt中，，所以，．則．20．如圖所示，已知斜三棱柱，側(cè)面為菱形，點在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，，.(1)求證：平面；(2)求四面體外接球的表面積.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）證明和，原題即得證；（2）如圖所示，設(shè)是中點，連接,設(shè)四面體外接球的球心為,連接,過作連接.求出四面體外接球的半徑即得解.(1)證明：由于側(cè)面為菱形，所以.因為點在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，所以平面，而BC在平面ABC內(nèi)，所以.因為.又因為平面，所以平面，而AC1在平面ACC1A1中，所以.又因為平面，所以平面.(2)解：如圖所示，設(shè)是中點，連接,設(shè)四面體外接球的球心為,連接,過作連接.因為因為所以四面體是一個正三棱錐，所以在底面上的射影是的重心，所以.由題得四邊形是矩形，所以,所以.所以四面體外接球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.21．如圖所示，在四棱錐中，平面PAD，，E是PD的中點．（1）求證：；（2）線段AD上是否存在點N，使平面平面PAB，若不存在請說明理由：若存在給出證明．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，當(dāng)點是的中點時滿足題意. 證明見解析解.【分析】（1）由線面平行性質(zhì)定理可以得證；（2）存在，且當(dāng)點是的中點時，平面平面. 分別證得平面和平面，由面面平行判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）因為平面，平面，平面平面，所以；（2）存在，且當(dāng)點是的中點時，平面平面. 下面給出證明：因為、分別是、的中點，所以，又平面，平面，所以平面.由（1）知，，又是的中點，，所以，所以四邊形是平行四邊形，從而，又平面，平面，所以平面.又因為，所以，平面平面【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（2）問的關(guān)鍵點是證明平面.22．如圖，在三棱錐中，已知平面ABC，， D為PC上一點，且．(1)若E為AC的中點，求三棱錐與三棱錐的體積之比；(2)若，，證明：平面ABD．【答案】(1)3：1(2)證明見解析 【分析】（1）依題意可得，由，可得點到平面的距離為，則，再由，即可得到面積比；（2）依題意可得平面，即可得到，再由三角形相似證明，即可得證；（1）解：由題意有．∵為的中點，∴．又，∴點到平面的距離為．∴．∴．∴三棱錐與三棱錐的體積之比為．（2）證明：∵平面，平面，∴．∵，∴．∵，，平面，∴平面．又平面，∴．在中，由，，得．又，得．∴．∵，∴．又，∴．∴，即．又， 平面ABD，∴平面．

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