8.6.3　平面與平面垂直 第1課時(shí)　二面角及平面與平面垂直的判定定理 在生產(chǎn)實(shí)踐中，有許多問(wèn)題也涉及到兩個(gè)平面所成的角．如：修筑水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐久，必須使水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌龋话l(fā)射人造地球衛(wèi)星時(shí)，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的軌道平面和地球的赤道平面成一定的角度． 問(wèn)題：我們常說(shuō)“把門(mén)開(kāi)大些”，是指哪個(gè)角開(kāi)大一些，我們應(yīng)該怎么刻畫(huà)二面角的大?。?知識(shí)點(diǎn)1　二面角 1．定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形． 2．相關(guān)概念：(1)這條直線叫做二面角的棱，(2)兩個(gè)半平面叫做二面角的面． 3．畫(huà)法： 4．記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q． 5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA?α，OB?β； (3)OA⊥l，OB⊥l，則二面角α-l-β的平面角是∠AOB． 6．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°． 1．二面角的平面角的大小，是否與角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)？ [提示]　無(wú)關(guān)．如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，只與二面角的大小有關(guān)． 1．如圖所示的二面角可記為(　　) A．α-β-l　　B．M-l-N　　C．l-M-N　　D．l-β-α B　[根據(jù)二面角的記法規(guī)則可知B正確．] 2．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小等于________． 90°　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，∴所求二面角的大小為90°．] 知識(shí)點(diǎn)2　平面與平面垂直 1．定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直． 2．畫(huà)法： 3．記作：α⊥β． 4．判定定理： 2．兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直于另一個(gè)平面嗎？ [提示]　不一定，只有在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線才垂直于另一個(gè)平面． 3．已知直線a，b與平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的條件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ　　　　 B．α∩β＝a，b⊥a，b?β C．a(chǎn)∥β，a∥α D．a(chǎn)∥α，a⊥β D　[由a∥α，知α內(nèi)必有直線l與a平行 又a⊥β，∴l(xiāng)⊥β，∴α⊥β．] 4．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有(　　) A．1對(duì)　　　 B．2對(duì) C．3對(duì) D．5對(duì) D　[∵四邊形ABCD是矩形，∴DA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA．又AB∩PA＝A， ∴DA⊥平面PAB．同理BC⊥平面PAB．又易證AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5對(duì)．] 類(lèi)型1　二面角的計(jì)算問(wèn)題 【例1】　如圖，已知三棱錐A-BCD的各棱長(zhǎng)均為2，求二面角A-CD-B的余弦值． [解]　如圖，取CD的中點(diǎn)M，連接AM，BM，則AM⊥CD，BM⊥CD． 由二面角的定義可知∠AMB為二面角A-CD-B的平面角． 設(shè)點(diǎn)H是△BCD的重心， 則AH⊥平面BCD，且點(diǎn)H在BM上． 在Rt△AMH中，AM＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)， HM＝eq \f(\r(3),2)×2×eq \f(1,3)＝eq \f(\r(3),3)， 則cos∠AMB＝eq \f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq \f(1,3)， 即二面角的余弦值為eq \f(1,3)． 求二面角大小的方法和步驟是什么？ [提示]　1．確定二面角的平面角的方法 (1)定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作垂直于棱的射線． (2)垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角． 2．求二面角大小的步驟 (1)找出這個(gè)平面角； (2)證明這個(gè)角是二面角的平面角； (3)作出這個(gè)角所在的三角形，解這個(gè)三角形，求出角的大小． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．如圖，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝eq \f(1,2)AD，求平面 ABD 與平面BCD 所成的二面角的大小． [解]　因?yàn)锳C⊥平面 BCD，BD?平面 BCD， 所以BD⊥AC．又因?yàn)锽D⊥CD，AC∩CD＝C， 所以BD⊥平面 ACD． 因?yàn)锳D?平面 ACD，所以AD⊥BD， 所以∠ADC即為平面 ABD 與平面 BCD 所成二面角的平面角． 在Rt△ACD中，AC＝eq \f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°． 即平面ABD與平面BCD所成的二面角為30°． 類(lèi)型2　平面與平面垂直的判定 【例2】　(對(duì)接教材P158例8)如圖所示，在四面體ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC． 求證：平面ABC⊥平面SBC． [證明]　(1)法一：(利用定義證明) 因?yàn)椤螧SA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB和△ASC是等邊三角形， 則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC， 令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形． 取BC的中點(diǎn)D，如圖所示， 連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角． 在Rt△BSC中，因?yàn)镾B＝SC＝a， 所以SD＝eq \f(\r(2),2)a，BD＝eq \f(BC,2)＝eq \f(\r(2),2)a． 在Rt△ABD中，AD＝eq \f(\r(2),2)a， 在△ADS中，因?yàn)镾D2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC． 法二：(利用判定定理) 因?yàn)镾A＝SB＝SC， 且∠BSA＝∠CSA＝60°， 所以SA＝AB＝AC， 所以點(diǎn)A在平面SBC上的射影為△SBC的外心． 因?yàn)椤鱏BC為等腰直角三角形， 所以點(diǎn)A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點(diǎn)， 所以AD⊥平面SBC． 又因?yàn)锳D?平面ABC， 所以平面ABC⊥平面SBC． 證明面面垂直常用的方法 (1)定義法：即說(shuō)明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角； (2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直； (3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求證：平面BDE⊥平面ABCD． [證明]　連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE． 因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)， 所以EO是△PAC的中位線， 所以EO∥PC． 因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD． 又因?yàn)镋O?平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABCD． 1．經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有(　　) A．0個(gè)　　　　　　　 B．1個(gè) C．無(wú)數(shù)個(gè) D．1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè) D　[設(shè)P為平面α外一點(diǎn)，O為平面α內(nèi)一點(diǎn)．當(dāng)PO⊥α?xí)r，過(guò)直線PO有無(wú)數(shù)多個(gè)平面與平面α垂直；當(dāng)PO與α不垂直時(shí)，過(guò)直線PO有且只有1個(gè)平面與平面α垂直．] 2．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小為(　　) A．90°　　　B．60°　　　C．45°　　　D．30° A　[∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC， ∴∠BAC即為二面角B-PA-C的平面角． 又∠BAC＝90°， ∴二面角B-PA-C的大小為90°] 3．(多選題)已知l⊥平面α，直線m?平面β，則下列命題正確的有(　　) A．α∥β?l⊥m B．α⊥β?l∥m C．l∥m?α⊥β D．l⊥m?α∥β AC　[∵l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，∵m?β，∴l(xiāng)⊥m，故A正確；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m?β，∴α⊥β，故C正確．] 4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________． 45°　[根據(jù)正方體中的位置關(guān)系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根據(jù)二面角的平面角定義可知，∠ABA1 即為二面角A-BC-A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°．] 5．如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B． 證明：平面AB1C⊥平面A1BC1． [證明]　因?yàn)锽CC1B1是菱形， 所以B1C⊥BC1， 又B1C⊥A1B， 且BC1∩A1B＝B， 所以B1C⊥平面A1BC1， 又B1C?平面AB1C， 所以平面AB1C⊥平面A1BC1． 回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題： (1)二面角的定義是什么？如何作二面角的平面角？ (2)如何求二面角的平面角的大?。?(3)二面角的取值范圍是什么？ (4)如何證明兩個(gè)平面垂直？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)作二面角的平面角，能求簡(jiǎn)單二面角平面角的大?。?難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)) 2．了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，初步學(xué)會(huì)用定理證明垂直關(guān)系．(重點(diǎn)) 3．熟悉線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化．(重點(diǎn))1． 通過(guò)學(xué)習(xí)平面與平面垂直的判定定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)． 2． 通過(guò)學(xué)習(xí)二面角，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言l⊥α，l?β?α⊥β

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