8.5　空間直線、平面的平行 8.5.1　直線與直線平行 如圖，在長方體ABCD -A′B′C′D′中，BB′∥AA′，DD′∥AA′． 問題：BB′與DD′平行嗎？ 知識點(diǎn)1　直線與直線平行 1．已知在棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是________． 平行　[如圖所示，∵M(jìn)，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，MNeq \f(1,2)AC， 由正方體的性質(zhì)可得ACA′C′， ∴MNeq \f(1,2)A′C′， 即MN與A′C′平行．] 知識點(diǎn)2　空間等角定理 (1)文字語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)． (2)符號語言：如圖①②所示，在∠AOB與∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′B′，則∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°． 圖①　　　　　　圖② (1)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同(或相反)，那么這兩個角相等； (2)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且一邊的方向相同，另一邊的方向相反，那么這兩個角互補(bǔ)． 2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，則∠PQR等于(　　) A．30°　　　　　　 B．30°或150° C．150° D．以上結(jié)論都不對 B　[因為AB∥PQ，BC∥QR， 所以∠PQR與∠ABC相等或互補(bǔ)． 因為∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°．] 類型1　平行線傳遞性的應(yīng)用 【例1】　在正方體ABCD -A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，A1D1的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF是菱形． [證明]　取B1C1的中點(diǎn)G，連接GD1，GE， 則GE∥C1C∥D1D，GE＝C1C＝D1D， ∴四邊形GEDD1是平行四邊形，GD1∥ED，GD1＝ED． ∵FD1∥B1G，F(xiàn)D1＝B1G， ∴四邊形FB1GD1是平行四邊形， ∴B1F∥GD1，B1F＝GD1，∴B1F∥ED，B1F＝ED， ∴四邊形B1EDF是平行四邊形， 又B1E＝eq \r(BB\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2)BB1，B1F＝ eq \r(B1A\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)A1D1))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2)A1B1，A1B1＝BB1，∴B1E＝B1F， ∴四邊形B1EDF是菱形． 空間兩條直線平行的證明 判斷兩條直線平行，除了平面幾何中常用的判斷方法以外，基本事實4，即平行線的傳遞性，也是判斷兩直線平行的重要依據(jù)．解題時要注意中位線的作用． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形． [證明]　如圖所示，取DD1的中點(diǎn)Q，連接EQ，QC1． ∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EQA1D1． ∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，∴EQB1C1， ∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，∴B1EC1Q． 又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點(diǎn)，∴QDC1F， ∴四邊形DQC1F為平行四邊形，∴C1QFD． 又B1EC1Q，∴B1EFD， 故四邊形B1EDF為平行四邊形． 類型2　等角定理的應(yīng)用 【例2】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)． (1)求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形； (2)求證：∠BMC＝∠B1M1C1． [證明]　(1)∵ABCD-A1B1C1D1為正方體． ∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1， 又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點(diǎn)， ∴AM＝A1M1且AM∥A1M1， ∴四邊形AMM1A1為平行四邊形， ∴MM1＝AA1且MM1∥AA1． 又AA1＝BB1且AA1∥BB1， ∴MM1＝BB1且MM1∥BB1， ∴四邊形BB1M1M為平行四邊形． (2)法一：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形， ∴B1M1∥BM． 同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形， ∴C1M1∥CM．∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同， ∴∠BMC＝∠B1M1C1． 法二：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形， ∴B1M1＝BM． 同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形， ∴C1M1＝CM． 又∵B1C1＝BC， ∴△BCM≌△B1C1M1， ∴∠BMC＝∠B1M1C1． 證明兩角相等的方法有哪些？ [提示]　證明角相等，利用空間等角定理是常用的思考方法；另外也可以通過證明兩個三角形全等或相似來證明兩角相等．在應(yīng)用等角定理時，應(yīng)注意當(dāng)兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行且方向都相同或相反時，這兩個角相等，否則這兩個角互補(bǔ)．因此，在證明兩個角相等時，只說明兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行是不夠的． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．如圖，已知三棱錐A-BCD的四個面分別是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F(xiàn)，G分別為線段AB，AC，AD上的點(diǎn)，EF∥BC，F(xiàn)G∥CD． 求證：△EFG∽△BCD． [證明]　∵在△ABC中，EF∥BC，∴eq \f(AE,EB)＝eq \f(AF,FC)．又FG∥CD，∴eq \f(AF,FC)＝eq \f(AG,GD)．∴eq \f(AE,EB)＝eq \f(AG,GD)，∴EG∥BD． ∵∠EFG與∠BCD的兩條邊分別對應(yīng)平行，且方向相同， ∴∠EFG＝∠BCD． 同理∠FGE＝∠CDB．∴△EFG∽△BCD． 1．若直線a，b，c滿足a∥b，a，c異面，則b與c(　　) A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 C　[若b∥c，由a∥b，知a∥c，這與a，c異面相矛盾，則b與c不可能平行，故選C．] 2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1方向相同，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．OB∥O1B1，且方向相同 B．OB∥O1B1，方向可能不同 C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行 D　[當(dāng)∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1時，OA與O1A1的方向相同，OB與O1B1不一定平行，如圖所示，故選D． ] 3．如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若BD＝2，AC＝4，則四邊形EFGH的周長為________． 6　[eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(EH綉\f(1,2)BD,FG綉\f(1,2)BD))?EH＝FG＝eq \f(1,2)BD＝1． 同理EF＝GH＝eq \f(1,2)AC＝2， 所以四邊形EFGH的周長為6．] 4．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FC，則EF與B1C1的位置關(guān)系是________． 平行　[在△ABC中，因為AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC．又BC∥B1C1， 所以EF∥B1C1．] 回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題： (1)基本事實4的內(nèi)容是什么？有什么作用？ (2)如何證明兩直線平行？ (3)空間等角定理的內(nèi)容是什么？有什么作用？ (4)證明空間角相等的方法有哪些？ .學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．理解并掌握基本事實4，并會用其解決相關(guān)直線與直線平行問題． 2．理解等角定理，并會用其解決有關(guān)問題．1．通過基本事實4和等角定理內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)． 2．通過基本事實4及等角定理的應(yīng)用，培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理能力．文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行(基本事實4)圖形語言符號語言直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c作用證明或判斷兩條直線平行說明基本事實4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性

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