6.3.4 平面向量數(shù)乘運算的坐標表示


課后篇鞏固提升


基礎(chǔ)鞏固


1.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),則下列結(jié)論成立的是( )





A.a-c與b共線B.b+c與a共線


C.a與b-c共線D.a+b與c共線


答案C


解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).


∴b-c=12a.∴a與b-c共線.


2.已知點A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),當AB=a+2b時,點B的坐標為( )


A.(2,7)B.(0,-7)


C.(3,-6)D.(-4,5)


答案B


解析∵a=(-1,0),b=(1,-1),


∴a+2b=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2).


設(shè)點B的坐標為(x,y),


則AB=(x+1,y+5),


∴由已知得(x+1,y+5)=(1,-2),


∴x+1=1,y+5=-2,解得x=0,y=-7.


∴點B的坐標為(0,-7).


3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,則c等于( )


A.(-2,6)B.(-4,0)


C.(7,6)D.(-2,0)


答案D


解析∵a-3b+2c=0,


∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),


即2x-5+9=0,2y+6-6=0,∴x=-2,y=0,


即c=(-2,0).故選D.


4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b與非零向量ma+nb共線,則mn等于( )


A.-2B.2C.-12D.12


答案C


解析因為向量a=(2,3),b=(-1,2),


所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).


因為a-2b與非零向量ma+nb共線,


所以2m-n4=3m+2n-1,解得14m=-7n,mn=-12.


5.已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,則頂點D的坐標為( )


A.2,72B.2,-12


C.(3,2)D.(1,3)


答案A


解析設(shè)頂點D的坐標為(x,y),


因為BC=(4,3),AD=(x,y-2),且BC=2AD,


所以2x=4,2y-4=3,所以x=2,y=72,所以選A.


6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ= .


答案12


解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),


由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12.


7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,則3a+2b= .


答案(14,7)


解析因為向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,


所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).


故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).


8.已知OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),若點A,B,C在同一條直線上,且m=2n,則m+n= .


答案9或92


解析 AB=OB-OA=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),


BC=OC-OB=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).


因為A,B,C共線,所以AB與BC共線,


所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①


又m=2n,②


解①②組成的方程組得m=6,n=3或m=3,n=32.


所以m+n=9或m+n=92.


9.已知點A(-1,2),B(2,8),及AC=13AB,DA=-13BA,求點C,D和CD的坐標.


解設(shè)點C,D的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),


則AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).


∵AC=13AB,DA=-13BA,∴(x1+1,y1-2)=13(3,6),(-1-x2,2-y2)=-13(-3,-6),


即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).


∴x1+1=1,y1-2=2,-1-x2=1,2-y2=2.∴x1=0,y1=4,x2=-2,y2=0.


∴點C,D的坐標分別為(0,4)和(-2,0).


故CD=(-2,-4).


10.已知點A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).


(1)求實數(shù)x的值,使向量AB與CD共線;


(2)當向量AB與CD共線時,點A,B,C,D是否在一條直線上?


解(1)AB=(x,1),CD=(4,x).


∵AB∥CD,∴x2=4,x=±2.


(2)由已知得BC=(2-2x,x-1),


當x=2時,BC=(-2,1),AB=(2,1),


∴AB和BC不平行,此時A,B,C,D不在一條直線上.


當x=-2時,BC=(6,-3),AB=(-2,1),


∴AB∥BC,此時A,B,C三點共線.


又AB∥CD,∴A,B,C,D四點在一條直線上.


綜上,當x=-2時,A,B,C,D四點在一條直線上.


11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè)AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.


(1)求3a+b-3c;


(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;


(3)求M,N的坐標及MN的坐標.


解a=AB=(5,-5),b=BC=(-6,-3),c=CA=(1,8).


(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).


(2)∵a=mb+nc,


∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).


∴5=-6m+n,-5=-3m+8n,∴m=-1,n=-1.


(3)設(shè)M(x1,y1),由CM=3c,


得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴x1+3=3,y1+4=24.


∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).


同理,設(shè)N(x2,y2),由CN=-2b,


得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).


∴x2+3=12,y2+4=6,解得x2=9,y2=2.


∴N(9,2).∴MN=(9,-18).


12.





如圖,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC=14OA,OD=12OB,AD與BC相交于點M,求點M的坐標.


解因為OC=14OA=14(0,5)=0,54,所以C0,54.因為OD=12OB=12(4,3)=2,32,所以D2,32.


設(shè)M(x,y),則AM=(x,y-5),CM=x,y-54,CB=4,74,AD=2,32-(0,5)=2,-72.因為AM∥AD,所以-72x-2(y-5)=0,


即7x+4y=20.①


因為CM∥CB,


所以74x-4y-54=0,即7x-16y=-20.②


聯(lián)立①②,解得x=127,y=2,故點M的坐標為127,2.


能力提升


1.已知點A(3,1),B(0,0),C(3,0).設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于點E,設(shè)BC=λCE,則λ等于( )


A.2B.12C.-3D.-13


答案C





解析如圖,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,


∴|EC|=1tan60°=33.


∵BC=λCE,λ

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6.3 平面向量基本定理及坐標表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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