一、空間幾何體的定義、分類與相關概念1.思考觀察下列圖片,這些都是我們日常熟知的一些物體或建筑:(1)哪些物體圍成它們的每個面都是平面圖形,并且都是平面多邊形?提示圖②④⑦.(2)哪些物體圍成它們的面中既有平面圖形,又有曲面圖形?提示①③⑤.(3)哪些物體圍成它們的面都是曲面?提示⑥
2.填空(1)空間幾何體:如果只考慮物體的形狀和大小,而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.(2)分類:常見的空間幾何體有多面體和旋轉體兩類.(3)多面體和旋轉體
二、棱柱的結構特征1.思考(1)觀察下列多面體,有什么共同特點?提示①有兩個面相互平行;②其余各面都是平行四邊形;③其余各面中每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行.(2)有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形所圍成的幾何體一定是棱柱嗎?舉例說明.提示不一定.下圖的幾何體符合要求但不是棱柱.
(2)棱柱的分類(3)常見的幾種四棱柱之間的轉化關系
3.做一做下列命題正確的是(　　)A.四棱柱是平行六面體B.直平行六面體是長方體C.長方體的六個面都是矩形D.底面是矩形的四棱柱是長方體答案:C解析:底面是平行四邊形的四棱柱才是平行六面體,選項A錯誤;底面是矩形的直平行六面體才是長方體,選項B錯誤;底面是矩形的直四棱柱才是長方體,選項D錯誤;選項C顯然正確.
三、棱錐的結構特征1.思考(1)觀察下列多面體,有什么共同特點?提示①有一個面是多邊形;②其余各面都是有一個公共頂點的三角形.
(2)有一個面是多邊形,其余各面是三角形的多面體一定是棱錐嗎?提示不一定,其余各面必須要有一個公共頂點.如圖所示的幾何體符合問題中的條件,但不是棱錐.
2.填空(1)棱錐的定義、分類、圖形及表示.
(2)正棱錐:底面是正多邊形,并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐.
四、棱臺的結構特征1.思考(1)觀察下列多面體,分析其與棱錐有何區(qū)別與聯(lián)系?提示①區(qū)別:該幾何體有兩個面相互平行而棱錐沒有.②聯(lián)系:用平行于棱錐底面的平面去截棱錐,其底面和截面之間的部分即為該幾何體.
(2)觀察下面的幾何體是否為棱臺?為什么?提示不是.因為延長各側棱不能還原成棱錐.
2.填空棱臺的定義、分類、圖形及表示.
3.做一做:(1)下列幾何體中,　　　　　是棱柱,　　　　　是棱錐,　　　　　是棱臺(僅填相應序號).?答案:①③④　⑥?、萁馕?結合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱,⑥是棱錐,⑤是棱臺.
(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.①有兩個面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺.(　　)②用一個平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫棱臺.(　　)③棱臺的各條側棱延長后必交于一點.(　　)答案:①×?、凇痢、邸?br/>棱柱、棱錐、棱臺的結構特征例1下列四個命題中,正確的有(　　)①棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面;②各個面都是三角形的幾何體是三棱錐;③有兩個面互相平行,其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺;④四棱錐有4個頂點.A.0個B.1個C.3個D.4個分析所給命題→聯(lián)想空間圖形→緊扣棱柱、棱錐、棱臺的結構特征→作出判斷答案:A
解析:①錯誤,底面為正六邊形的棱柱相對的兩個側面互相平行,但不能作為底面;②錯誤,如圖所示的幾何體各面均為三角形,但不是三棱錐;③錯誤,因為不能保證側棱相交于同一點;④錯誤,四棱錐只有一個頂點,就是各側面的公共頂點.反思感悟 棱柱、棱錐、棱臺的定義是識別和區(qū)分多面體結構特征的關鍵.因此,在涉及多面體的結構特征問題時,先看是否滿足定義,再看它們是否具備各自的性質:側面、底面形狀、側棱、棱之間的關系等.判斷時要充分發(fā)揮空間想象能力,必要時可借助于幾何模型.
變式訓練下列說法正確的有　　　　(填序號).?①棱柱的側面都是平行四邊形;②棱錐的側面為三角形,且所有側面都有一個公共點;③棱臺的側面有的是平行四邊形,有的是梯形;④棱臺的側棱所在直線均相交于同一點;⑤多面體至少有四個面.答案:①②④⑤解析:棱柱是由一個平面多邊形沿某一方向平移而形成的幾何體,因而側面是平行四邊形,故①對.棱錐是由棱柱的一個底面收縮為一個點而得到的幾何體,因而其側面均是三角形,且所有側面都有一個公共點,故②對.棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截后,截面與底面之間的部分,因而其側面均是梯形,且所有的側棱延長后均相交于一點(即原棱錐的頂點),故③錯④對.⑤顯然正確.因而正確的有①②④⑤.
多面體表面距離最短問題例2如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,過點A作截面△AEF,求△AEF周長的最小值.分析把三棱錐的側面展開,當△AEF的各邊在同一直線上時,其周長最小.
解:將三棱錐沿側棱VA剪開,并將其側面展開平鋪在一個平面上,如圖,線段AA1的長為所求△AEF周長的最小值.∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,∴AA1=4 ,∴△AEF周長的最小值為4 .反思感悟 本題是多面體表面上兩點間的最短距離問題,常常要歸結為求平面上兩點間的最短距離問題.解決此類問題的方法就是先把多面體側面展開,再用平面幾何的知識來求解.
延伸探究 如圖,在以O為頂點的三棱錐中,過點O的三條棱,任意兩條棱的夾角都是30°,在一條棱上有A,B兩點,OA=4,OB=3,以A,B為端點用一條繩子緊繞三棱錐的側面一周(繩和側面無摩擦),求此繩在A,B之間的最短繩長.
解:作出三棱錐的側面展開圖,如圖.A,B兩點之間的最短繩長就是線段AB的長度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此繩在A,B之間最短的繩長為5.
柱、錐、臺結構特征判斷中的誤區(qū)典例如圖,以下關于該幾何體的正確說法是　　　　　(填序號).?①這是一個六面體;②這是一個四棱臺;③這是一個四棱柱;④此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到;⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到.
解析:①正確,因為有六個面,屬于六面體的范圍;②錯誤,因為側棱的延長線不能交于一點,所以不正確;③正確,如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱;④⑤都正確,如圖.故填①③④⑤.答案:①③④⑤防范措施 在解答關于空間幾何體概念的判斷題時,要注意緊扣定義,切忌只憑圖形主觀臆斷.同時立體幾何問題中也要注意分類討論思想的應用,否則就會因審題片面而出錯.
變式訓練如圖,甲、乙、丙是不是棱柱、棱錐、棱臺?為什么?解:題圖甲這個幾何體不是棱柱.這是因為雖然上、下面平行,但是四邊形ABB1A1與四邊形A1B1B2A2不在一個平面內.所以多邊形ABB1B2A2A1不是一個平面圖形,它更不是一個平行四邊形,因此這個幾何體不是一個棱柱.題圖乙中的六個三角形沒有一個公共點,故不是棱錐,只是一個多面體;題圖丙也不是棱臺,因為側棱的延長線不能相交于同一點.
1.有兩個面平行的多面體不可能是(　　)A.棱柱B.棱錐C.棱臺D.以上都不正確答案:B解析:因為棱錐的任意兩個面都相交,不可能有兩個面平行,所以不可能是棱錐.2.棱臺不具備的性質是(　　)A.兩底面相似B.側面都是梯形C.所有棱都相等D.側棱延長后都交于一點答案:C
3.觀察如圖的四個幾何體,其中判斷不正確的是(　　)A.①是棱柱B.②不是棱錐 C.③不是棱錐D.④是棱臺答案:B解析:結合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知①是棱柱,②是棱錐,④是棱臺,③不是棱錐,故B錯誤.
4.下列有關棱柱的說法:①棱柱的所有的面都是平面;②棱柱的所有的棱長都相等;③棱柱的所有的側面都是長方形或正方形;④棱柱的側面的個數(shù)與底面的邊數(shù)相等;⑤棱柱的上、下底面全等.其中正確的有　　　　　.(填序號)?答案:①④⑤解析:②棱柱的所有的側棱棱長都相等,與底面的棱長不一定相等,故②錯誤;③棱柱的所有的側面都是平行四邊形,不一定都是長方形或正方形,故③錯誤;①④⑤正確.

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8.1 基本立體圖形

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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