第六章 平面向量及其應(yīng)用全章綜合測(cè)試卷（基礎(chǔ)篇） 參考答案與試題解析 一．選擇題（共8小題，滿(mǎn)分40分，每小題5分） 1．（5分）（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（???） （1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量； （2）零向量沒(méi)有方向； （3）向量的模一定是正數(shù)； （4）非零向量的單位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【解題思路】根據(jù)零向量與單位向量，向量的定義對(duì)各個(gè)項(xiàng)逐個(gè)判斷即可求解． 【解答過(guò)程】對(duì)于（1），溫度與功沒(méi)有方向，不是向量，故（1）錯(cuò)誤， 對(duì)于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯(cuò)誤， 對(duì)于（3），零向量的?？赡転?，不一點(diǎn)是正數(shù)，故（3）錯(cuò)誤， 對(duì)于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個(gè)，故（4）錯(cuò)誤， 故選：A． 2．（5分）（2023下·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）10(a+b)?(a?b)=（????） A．9a+9b B．9a+11b C．11a+9b D．11a+11b 【解題思路】根據(jù)數(shù)乘向量的運(yùn)算律化簡(jiǎn)求解即可. 【解答過(guò)程】根據(jù)向量運(yùn)算公式可知，10(a+b)?(a?b)=10a+10b?a+b=9a+11b． 故選：B. 3．（5分）（2023下·廣東佛山·高一?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AD=13AB，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．設(shè)CA=a，CB=b，則EA=（????） ?? A．23a?16b B．23a+16b C．16a?23b D．16a+23b 【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求得答案. 【解答過(guò)程】由題意在△ABC中，AD=13AB，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)， 故EA=?AE=?12(AC+AD)=12CA?12AD =12CA?16AB=12CA?16(CB?CA) =23CA?16CB=23a?16b， 故選：A. 4．（5分）（2023上·江蘇南通·高三?？茧A段練習(xí)）已知非零向量a,b滿(mǎn)足b=23a，且a⊥3a+b，則a與b的夾角為（????） A．π6 B．π3 C．2π3 D．5π6 【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及向量夾角的運(yùn)算公式求解. 【解答過(guò)程】解：因?yàn)閍⊥(3a+b)， 所以a?(3a+b)=3|a|2+a?b=0， 設(shè)a與b的夾角為θ， 所以cosθ=a?b|a||b|=?3|a|2|a|×23|a|=?32， 所以θ=5π6. 故選：D. 5．（5分）（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A=π3，a=3，b=2，則此三角形的解的情況是（??????） A．有一解 B．有兩解 C．無(wú)解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定 【解題思路】運(yùn)用正弦定理計(jì)算出sinB，結(jié)合a>b有sinA>sinB，計(jì)算出B即可得. 【解答過(guò)程】由asinA=bsinB，得sinB=b?sinAa=2×323=22， 又a>b ，A=π3，故B只能為銳角，即B=π4， 故該三角形只有一解． 故選：A. 6．（5分）（2023上·新疆烏魯木齊·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量a=1,2，b=?3,5，c=4,x，若a+b=λcλ∈R，則λ+x的值為（????） A．?112 B．112 C．?292 D．292 【解題思路】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于λ、x的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可求得結(jié)果. 【解答過(guò)程】因?yàn)閍+b=λcλ∈R，即?2,7=λ4,x，所以，4λ=?2λx=7，解得λ=?12，x=?14， 因此，λ+x=?292. 故選：C. 7．（5分）（2023·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=3,?4,b=?2,m,c=2,1，若a+b⊥c，則m=（????） A．?2 B．2 C．?6 D．6 【解題思路】利用向量加法和數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可. 【解答過(guò)程】由題意可得??a+b=1,m?4， 因?yàn)閍+b⊥c，所以a+b?c=2+m?4=0，解得m=2， 故選：B. 8．（5分）（2023上·北京·高二清華附中校考期中）在△ABC中，sinB=2sinA,∠C=105°,c=3+1，則△ABC的面積為（????） A．3?12 B．3?1 C．3+12 D．3+1 【解題思路】應(yīng)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，得b=2a，再應(yīng)用余弦定理出cos∠C，進(jìn)而得到a,b，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出sin∠C，應(yīng)用三角形面積公式S=12absinC即可求得. 【解答過(guò)程】由sinB=2sinA，根據(jù)正弦定理得：b=2a， 又∠C=105°,c=3+1，則 cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°?sin60°sin45° =12?22?32?22=2?64， sin105°=1?(cos105°)2=2+64 cos∠C=a2+b2?c22ab=a2+2a2?4?2322a2= 2?64， 解得a=2，則b=2， S△ABC=12absin∠C=12?2?2?2+64=3+12 故選：C. 二．多選題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分） 9．（5分）（2023下·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的有（????） A．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同； B．已知向量AB∥CD，則四邊形ABCD為平行四邊形； C．若a//b,b//c，則a//c； D．若a=b,b=c，則a=c 【解題思路】由單位向量的定義、向量共線和相等的條件，判斷各選項(xiàng)的結(jié)論. 【解答過(guò)程】單位向量的方向不確定，所以起點(diǎn)相同的，終點(diǎn)不一定相同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤； 四邊形ABCD中，AB∥CD，則AB//CD且AB=CD，四邊形ABCD為平行四邊形，B選項(xiàng)正確； 當(dāng)b=0時(shí)，滿(mǎn)足a//b,b//c，但不能得到a//c，C選項(xiàng)錯(cuò)誤； 由向量相等的條件可知，若a=b,b=c，則a=c，D選項(xiàng)正確. 故選：AC. 10．（5分）（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量a，b滿(mǎn)足a+2b=a，a?b+a2=0且a=2，則（????） A．b=2 B．a(chǎn)+b=0 C．a(chǎn)?2b=6 D．a(chǎn)?b=4 【解題思路】由a+2b=a，得a?b+b2=0，又a?b+a2=0且a=2，得b=2，a?b=?4，可得cosa,b=a?bab=?1，a,b=π，有a+b=0，a?2b=6，可判斷各選項(xiàng). 【解答過(guò)程】因?yàn)閍+2b=a，所以a+2b2=a2，即a2+4a?b+4b2=a2，整理可得a?b+b2=0， 再由a?b+a2=0，且a=2，可得a2=b2=4，所以b=2，a?b=?4，A選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤； cosa,b=a?bab=?1，即向量a，b的夾角a,b=π，故向量a，b共線且方向相反，所以a+b=0，B選項(xiàng)正確； a?2b=a?2b2=a2?4a?b+4b2=4+16+16=6，C選項(xiàng)正確. 故選：ABC. 11．（5分）（2023上·黑龍江大慶·高三校考期末）已知a=t,?2,b=?4,t，則（????） A．若a//b，則t=±22 B．若a⊥b，則t=0 C．a(chǎn)?b的最小值為2 D．若向量a與向量b的夾角為鈍角，則t的取值范圍為(0,+∞) 【解題思路】利用向量平行垂直的坐標(biāo)表示，向量模和夾角的坐標(biāo)表示，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證各選項(xiàng)中的結(jié)論. 【解答過(guò)程】已知a=t,?2,b=?4,t， 若a//b，則t2=?2×?4=8，解得t=±22，A選項(xiàng)正確； 若a⊥b，則a?b=?4t?2t=0，解得t=0，B選項(xiàng)正確； a?b=t+4,?2?t，a?b=t+42+?2?t2=2t+32+2， 當(dāng)t=?3時(shí)，a?b有最小值2，C選項(xiàng)錯(cuò)誤； 當(dāng)t=22時(shí)，a=22,?2,b=?4,22，b=?2a， 向量a與向量b的夾角為180°，D選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選：AB. 12．（5分）（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若asinA+C2=bsinA,a+c=3b，則下列結(jié)論一定正確的為（????） A．B=π3 B．a(chǎn):c=2:1 C．△ABC為直角三角形 D．a(chǎn):b=1:3 【解題思路】由asinA+C2=bsinA，利用正弦定理求得角B，再根據(jù)a+c=3b，利用余弦定理求得a，c的關(guān)系逐項(xiàng)判斷. 【解答過(guò)程】解：因?yàn)閍sinA+C2=bsinA， 由正弦定理得sinAcosB2=sinBsinA， 因?yàn)锳,B∈0,π， 化簡(jiǎn)得cosB2=2sinB2cosB2， 則sinB2=12，B2=π6， 所以B=π3，故A正確； 由余弦定理得b2=a2+c2?2accosB， =a+c2?2ac?2accosB， 即a+c32=a+c2?3ac，即2a2?5ac+2c2=0， 解得a=2c或a=12c， 當(dāng)a=2c時(shí)，b=3c，則b2+c2=a2，a:b=2:3， 當(dāng)a=12c時(shí)，b=32c，則b2+a2=c2， a:b=1:3，故BD錯(cuò)誤，C正確， 故選：AC. 三．填空題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分） 13．（5分）（2023下·海南儋州·高一?？茧A段練習(xí)）下列各量中，向量有： ③⑤⑥ ．（填寫(xiě)序號(hào)） ①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度． 【解題思路】根據(jù)向量的概念判斷即可. 【解答過(guò)程】向量是有大小有方向的量，故符合的有：風(fēng)力，位移，加速度. 故答案為：③⑤⑥. 14．（5分）（2023上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，P為線段AC上任意一點(diǎn)，則PB?PC的取值范圍是 ?116,3 ． 【解題思路】設(shè)PC=mAC，0≤m≤1，得到PB?PC=4m?182?116，求出取值范圍. 【解答過(guò)程】設(shè)PC=mAC，0≤m≤1，則PB=PA+AB=m?1AC+AB， 故PB?PC=m?1AC+AB?mAC=mm?1AC2+mAB?AC =4mm?1+mAB?ACcos∠BAC=4m2?4m+3m =4m2?m=4m?182?116， 因?yàn)?≤m≤1，所以?18≤m?18≤78， 故?116≤4m?182?116≤3，PB?PC∈?116,3. 故答案為：?116,3. 15．（5分）（2023上·上海長(zhǎng)寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知在△ABC中，E為AC的中點(diǎn)，D是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，若AD=xAB+yAC，則2x+1y的最小值為 8 . 【解題思路】根據(jù)三點(diǎn)共線可得x+2y=1，利用“1”的技巧及均值不等式求解. 【解答過(guò)程】如圖， ?? 因?yàn)锳D=xAB+yAC，E為AC的中點(diǎn)， 所以AD=xAB+2yAE， 因?yàn)锽,E,D三點(diǎn)共線，所以x+2y=1(x>0,y>0)， 2x+1y=x+2y2x+1y=4+4yx+xy≥4+24yx?xy=8， 當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy，即x=12,y=14時(shí)等號(hào)成立， 故2x+1y的最小值為8. 故答案為：8. 16．（5分）（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，則滕王閣的高度OP＝ 1515 米． 【解題思路】設(shè)OP=?,?>0，表示出OA,OB,OC，利用cos∠OBC=?cos∠OBA結(jié)合余弦定理列方程求解. 【解答過(guò)程】設(shè)OP=?,?>0， 則OA=OPtan30°=3?,OB=OPtan60°=33?,OC=OPtan45°=?. 由∠OBC+∠OBA=π得cos∠OBC=?cos∠OBA， 由余弦定理得33?2+752??22×75×33?=?33?2+752?3?22×75×33?， 解得?=1515，即OP為1515米． 故答案為：1515. 四．解答題（共6小題，滿(mǎn)分70分） 17．（10分）（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，且OA=a，OB=b，OC=c．在以A,B,C,D,E,F,O這七個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，問(wèn)： (1)與a相等的向量有哪些？ (2)b的相反向量有哪些？ (3)與c的模相等的向量有哪些？ 【解題思路】根據(jù)相等向量、相反向量、向量模長(zhǎng)的概念，結(jié)合圖形進(jìn)行分析求解即可. 【解答過(guò)程】（1）由相等向量定義知：與a相等的向量有DO,EF,CB. （2）由相反向量定義知：b的相反向量有OE,CD,AF,BO. （3）由向量模長(zhǎng)定義知：與c的模相等的向量有CO,OF,FO,OE,EO,OD,DO,OB,BO,OA, AO,AB,BA,AF,FA,FE,EF,ED,DE,DC,CD,CB,BC. 18．（12分）（2023上·山東德州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量a，b滿(mǎn)足a=b=1，且a?2b=7. (1)求a與b的夾角； (2)求a+3b的大小. 【解題思路】（1）平方a?2b=7計(jì)算得到cosθ=?12，得到答案. （2）確定a+3b=a+3b2，計(jì)算得到答案. 【解答過(guò)程】（1）設(shè)a與b的夾角為θ0≤θ≤π， a?2b=a?2b2=a2?4a?b+4b2=7，則a2?4a?bcosθ+4b2=7， 將a=b=1代入得1?4cosθ+4=7，cosθ=?12，故θ=2π3； （2）a+3b=a+3b2=a2+6a?b+9b2=a2+6a?bcosθ+9b2 將a=b=1代入得a+3b=1+6×?12+9=7，故a+3b=7. 19．（12分）（2023下·吉林長(zhǎng)春·高一校考階段練習(xí)）已知平面向量a→=1,x,b→=2x+3,?xx∈R (1)若a⊥b，求x的值： (2)若a∥b，求a?b 【解題思路】（1）直接利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求解； （2）先通過(guò)向量平行的坐標(biāo)公式求出x，再通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求模. 【解答過(guò)程】（1）∵a⊥b， ∴a?b=2x+3?x2=0， 解得x=3或x=?1； （2）∵a∥b， ∴?x=2x+3x，即2x2+4x=0解得x=0或x=?2， 當(dāng)x=0時(shí)，a=1,0,b=3,0，a?b=?2,0，∴a?b=2； 當(dāng)x=?2時(shí)，a=1,?2,b=?1,2，a?b=2,?4，∴a?b=4+16=25， ∴a?b=2或a?b=25. 20．（12分）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度AC=3km，一艘船從河邊的A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)對(duì)岸的B點(diǎn)，船只在河內(nèi)行駛的路程AB=2km，行駛時(shí)間為0.2 h.已知船在靜水中的速度v1的大小為v1，水流的速度v2的大小為v2=2km/h.求： ?? (1)v1； (2)船在靜水中速度v1與水流速度v2夾角的余弦值. 【解題思路】（1）由題意得v=v1+v2，結(jié)合已知利用余弦定理可求解； （2）由（1）結(jié)合余弦定理可求出cosv1,v2. 【解答過(guò)程】（1）∵河的寬度AC=3km，AB=2km， ∴sin∠ABC=ACAB=32，∴∠ABC=60°. 如圖，設(shè)合速v=OE，v2=OF，船在靜水中的速度v1=FE，則v=v1+v2， ?? 由題意可得v=20.2=10kmh，且∠EOF=∠ABC=60°， 又v2=2km/h，∴在△EOF中，由余弦定理可得 v1=OE2+OF2?2×OE×OF×cos60°=100+4?2×10×2×12=221kmh （2）由（1）知EF=221，OE=10，OF=2， 由余弦定理可得cos∠OFE=4+84?1002×2×221=?2114. ∴cosv1,v2=cos180°?∠OFE=?cos∠OFE=2114. 21．（12分）（2023下·廣西欽州·高一?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，BC=4BD，AC=3CE，BE與AD相交于點(diǎn)M． ?? (1)用AB，AC表示AD，BE； (2)若AM=mAB+nAC，求m+n的值． 【解題思路】（1）由BC＝4BD得出BD=14AC?14AB，然后可得AD=34AB+14AC；根據(jù)AC=3CE得出AE=23AC，然后根據(jù)BE=AE?AB即可用AB,AC表示出BE； （2）根據(jù)A，M，D三點(diǎn)共線得出AM=3λ4AB+λ4AC，然后根據(jù)平面向量基本定理得出m=3n；根據(jù)B，M，E三點(diǎn)共線得出AM=kAB+2(1?k)3AC，然后即可根據(jù)平面向量基本定理求出k的值，進(jìn)而得出m+n的值． 【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锽C=4BD，所以BD=14BC=14AC?AB=14AC?14AB， 所以AD=AB+BD=AB+14AC?14AB=34AB+14AC． 因?yàn)锳C=3CE，所以AE=23AC， 所以BE=AE?AB=23AC?AB． （2）因?yàn)锳，M，D三點(diǎn)共線，所以AM=λAD=3λ4AB+λ4AC． 因?yàn)锳M=mAB+nAC，所以m=3λ4n=λ4，即m=3n． 因?yàn)锽，M，E三點(diǎn)共線，所以AM=kAB+1?kAE=kAB+21?k3AC． 因?yàn)锳M=mAB+nAC，所以m=kn=21?k3． 因?yàn)閙=3n，所以k=3×231?k，解得k=23， 從而m=23，n=29，故m+n=89． 22．（12分）（2023·四川成都·校考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且atanA=b2sinB. (1)求角A的值； (2)若a=6，b=2c，求△ABC的面積. 【解題思路】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合角的范圍求解即得. （2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理求出c，再利用三角形面積公式計(jì)算即得. 【解答過(guò)程】（1）在△ABC中，atanA=b2sinB得acosAsinA=b2sinB， 由正弦定理得sinAcosAsinA=sinB2sinB.又sinA>0,sinB>0， 因此cosA=12，而A∈0,π，所以A=π3. （2）由（1）知A=π3，由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA=b2+c2?bc， 而a=6，b=2c，則36=4c2+c2?2c2=3c2，解得c=23（舍去負(fù)值），所以b=2c=43， 所以△ABC的面積S=12bcsinA=12×43×23×32=63.

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