（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若水果店貨源充足，每天以固定價格x元/千克銷售（x≥8），試求出水果店每天利潤W與單價x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當x為何值時，利潤達到最大．
【分析】（1）根據(jù)“若每千克漲價0.5元，每天要少賣2千克；若每千克降價0.5元，每天要多賣2千克”，可列出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）用x的代數(shù)式表示出W，在由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）由題意可得，y＝60﹣×2＝﹣4x+108；
（2）由題意可得，W＝y(tǒng)（x﹣8）＝（﹣4x+108）（x﹣8）＝﹣4x2+140x﹣864＝﹣4（x﹣）2+361，
∵﹣4＜0，
∴當時，利潤W達到最大，最大值為361，
答：當x為時，利潤達到最大．
2．（2023?朝陽）某超市以每件10元的價格購進一種文具，銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該文具的每天銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若該超市每天銷售這種文具獲利192元，則銷售單價為多少元？
（3）設銷售這種文具每天獲利w（元），當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？
【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）依據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出方程，解答即可；
（3）根據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，然后由函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最值．
【解答】解：（1）設y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由所給函數(shù)圖象可知：
，
解得：，
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+60；
（2）根據(jù)題意得：
（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，
解得：x1＝18，x2＝22
又∵10≤x≤19，
∴x＝18，
答：銷售單價應為18元．
（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200
∵a＝﹣2＜0，
∴拋物線開口向下，
∵對稱軸為直線 x＝20，
∴當10≤x≤19時，w隨x的增大而增大，
∴當 x＝19 時，w有最大值，W最大＝198．
答：當銷售單價為19元時，每天獲利最大，最大利潤是198元．
3．（2023?海淀區(qū)校級開學）電纜在空中架設時，兩端掛起的電纜下垂可以近似的看成拋物線的形狀．如圖，在一個斜坡BD上按水平距離間隔60米架設兩個塔柱，每個塔柱固定電纜的位置離地面高度為27米（AB＝CD＝27米），以過點A的水平線為x軸，水平線與電纜的另一個交點為原點O建立平面直角坐標系，如圖所示．經(jīng)測量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B、D兩點的鉛直高度差）．
結(jié)合上面信息，回答問題：
（1）若以1米為一個單位長度，則D點坐標為 ，下垂電纜的拋物線表達式為 ．
（2）若電纜下垂的安全高度是13.5米，即電纜距離坡面鉛直高度的最小值不小于13.5米時，符合安全要求，否則存在安全隱患．（說明：直線GH⊥x軸分別交直線BD和拋物線于點H、G．點G距離坡面的鉛直高度為GH的長），請判斷上述這種電纜的架設是否符合安全要求？請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意可得：DE和OE的長，根據(jù)第四象限的點D的象限特征可得點D的坐標，根據(jù)拋物線的三點A，O，C三點的坐標設下垂電纜的拋物線表達式為y＝ax（x+40），代入C（20，12）即可求解；
（2）先利用待定系數(shù)法求得斜坡BD解析式，可得電纜與坡面的鉛直高度GH＝x2+x+19＝（x+10）2+18，易知當x＝﹣10時，GH有最小值為18，GH最?。?8＞13.5，即可求解．
【解答】解：（1）由題意得：OA＝40米，AE＝60米，AB＝CD＝27米，AB﹣DE＝12米，AB⊥x軸，CD⊥x軸，
∴DE＝27﹣12＝15米，OE＝60﹣40＝20米，
∴D（20，﹣15），
∵CE＝CD﹣DE＝27﹣15＝12米，
∴C（20，12），
∵A（﹣40，0），O（0，0），
∴設下垂電纜的拋物線表達式為：y＝ax（x+40），
∴20a（20+40）＝12，
∴a＝，
∴y＝x（x+40）＝x2+x；
故答案為：（20，﹣15），y＝x2+x；
（2）這種電纜的架設符合安全要求，理由如下：
由（1）可知：y＝x2+x，B（﹣40，﹣27），D（20，﹣15），
設斜坡BD解析式為y＝kx+b，代入B（﹣40，﹣27），D（20，﹣15），
可得：，
解得：，
∴斜坡BD解析式為y＝x﹣19，
則電纜與坡面的鉛直高度GH＝x2+x﹣（x﹣19）＝x2+x+19＝（x+10）2+18，
∵＞0，
∴當x＝﹣10時，GH有最小值為18，GH最?。?8＞13.5，
∴這種電纜的架設符合安全要求；
4．（2023春?江岸區(qū)校級月考）如圖，在斜坡底部點O處安裝一個的自動噴水裝置，噴水頭（視為點A）的高度（噴水頭距噴水裝置底部的距離）是1.8米，自動噴水裝置噴射出的水流可以近似地看成拋物線．當噴射出的水流與噴水裝置的水平距離為8米時，達到最大高度5米．以點O為原點，自動噴水裝置所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．
（1）求拋物線的解析式；
（2）斜坡上距離O水平距離為10米處有一棵高度為1.75米的小樹NM，MN垂直水平地面且M點到水平地面的距離為2米．
①記水流的高度為y1，斜坡的高度為y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可視作直線OM）；
②如果要使水流恰好噴射到小樹頂端的點N，直接寫出自動噴水裝置應向后平移（即拋物線向左）多少米？
【分析】（1）根據(jù)當噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度5米，設設水流形成的拋物線為y＝a（x﹣8）2+5，代入點（0，1.8）求出二次函數(shù)的解析式，即可求解；
（2）①先求出斜坡的高度y2的解析式，列出y1﹣y2，把函數(shù)解析式化為頂點式，即可求解；
②設噴射架向后平移了m米，設出平移后的函數(shù)解析式，代入點N的坐標即可求解．
【解答】解：（1）由題可知：當噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度5米，
則可設水流形成的拋物線為y＝a（x﹣8）2+5，
將點（0，1.8）代入可得a＝，
∴拋物線為，
（2）①由題可知M點坐標為（10，2），
設直線OA的解析式為y＝kx，
把點M的坐標（10，2）代入得10k＝2，
解得 k＝，
則直線OM為，
∴，
∴y1﹣y2的最大值為．
②設噴射架向后平移了m米，則平移后的拋物線可表示為，
將點N（10，3.75）代入得：，
解得m＝3或m＝﹣7（舍去），
∴噴射架應向后移動3米．
5．（2023?武漢模擬）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度OH為1.2m．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度EF＝0.5m．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.4m，灌溉車到綠化帶的距離OD為d（單位：m）．
（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；
（2）求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；
（3）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍．
【分析】（1）由頂點A（2，1.6）得，設y＝a（x﹣2）2+1.6，再根據(jù)拋物線過點（0，1.2），可得a的值，從而解決問題；
（2）由對稱軸知點（0，1.2）的對稱點為（4，1.2），則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，可得點B的坐標；
（3）根據(jù)EF＝0.5，求出點F的坐標，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案．
【解答】解：（1）如圖，由題意得A（2，1.6）是上邊緣拋物線的頂點，
設y＝a（x﹣2）2+1.6，
又∵拋物線過點（0，1.2），
∴1.2＝4a+1.6，
∴a＝﹣0.1，
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6，當y＝0時，﹣0.1（x﹣2）2+1.6＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴噴出水的最大射程OC為6m；
（2）解：∵對稱軸為直線x＝2，
∴點（0，1.2）的對稱點為（4，1.2），
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，
∴點B的坐標為（2，0）；
（3）解：∵EF＝0.5，
∴點F的縱坐標為0.5，
∴0.5＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6，解得，
∵x＞0，
∴，
當x＞2時，y隨x的增大而減小，
∴當2≤x≤6時，要使y≥0.5，
則，
∵當0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，且x＝0時，y＝1.2＞0.5，
∴當0≤x≤6時，要使y≥0.5，則，
∵DE＝3，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，
∴d的最大值為，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥OB，
∴d的最小值為2，
綜上所述，d的取值范圍是．
6．（2022秋?華容區(qū)期末）農(nóng)戶銷售某農(nóng)產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若售價為6元/千克，日銷售量為40千克，若售價每提高1元/千克，日銷售量就減少2千克．現(xiàn)設售價為x元/千克（x≥6且為正整數(shù)）．
（1）若某日銷售量為24千克，求該日產(chǎn)品的單價；
（2）若政府將銷售價格定為不超過18元/千克．設每日銷售額為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求w的最大值和最小值；
（3）市政府每日給農(nóng)戶補貼a元后（a為正整數(shù)），發(fā)現(xiàn)最大日收入（日收入＝銷售額+政府補貼）還是不超過450元，并且只有5種不同的單價使日收入不少于440元，請直接寫出所有符合題意的a的值．
【分析】（1）售價為x元/千克（x≥6且為正整數(shù)），則提價（x﹣6）元，故銷售量為[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，根據(jù)題意，列方程計算即可．
（2）根據(jù)日銷售額＝日售價×日銷售量，計算即可．
（3）由題意得：440≤﹣2x2+52x+a≤450，由二次函數(shù)的對稱性可知x的取值為11，12，13，14，15，從而計算可得a值．
【解答】解（1）售價為x元/千克（x≥6且為正整數(shù)），則提價（x﹣6）元，
故銷售量為[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，
根據(jù)題意，得52﹣2x＝24，
解得x＝14，
故該日產(chǎn)品的單價為14元/千克．
（2）設售價為x元/千克（x≥6且為正整數(shù)），銷售額為w元，則提價（x﹣6）元，
故銷售量為[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，
∴w＝x（52﹣2x）＝﹣2x2+52x，
∴w＝﹣2（x﹣13）2+338，
∵6≤x≤18，且對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，到對稱軸距離越大，函數(shù)值越小，且13﹣6＝7，18﹣13＝5，
∴x＝13時，w取得最大值，且最大值為338元，
∴x＝6時，w取得最小值，且最小值為240元，
w＝﹣2x2+52x，w的最大338元，w的最小240元．
（3）由題意得：440≤﹣2x2+52x+a≤450，由二次函數(shù)的對稱性可知x的取值為11，12，13，14，15，
∴x＝13時，w＝338元
∴x＝11或15時，w＝330元，
∴x＝12或14時，w＝336元，
且：440≤﹣2x2+52x+a≤450，
∴110≤a≤112，
∵a是正整數(shù)，
∴a的值為110或111或112．
7．（2023春?蔡甸區(qū)月考）如圖，拋物線AB，AC是某噴水器噴出的水抽象而成，拋物線AB由拋物線AC向左平移得到，把汽車橫截面抽象為矩形DEFG，其中DE＝米，DG＝2米，OA＝h米，拋物線AC表達式為y＝a（x﹣2）2+h+，h＝，且點A，B，D，G，C均在坐標軸上．
（1）求拋物線AC表達式．
（2）求點B的坐標．
（3）要使噴水器噴出的水能灑到整個汽車，記OD長為d米，直接寫出d的取值范圍．
【分析】（1）分別把h、點A坐標代入AC解析式即可解答；
（2）由題意易得拋物線AB是由拋物線AC向左平移4米得到的，則有拋物線AB表達式為：，然后把y＝0代入求解即可；
（3）由（2）可得，又因為DG＝2，即可解答．
【解答】解：（1）把代入，
得：y＝a（x﹣2）2+2，
∵OA＝h，
∴把代入y＝a（x﹣2）2+2，
解得，
∴拋物線AC表達式：，
當y＝0時，即，
解得：，
∴，0），
∴拋物線AC表達式：；
（2）∵，
∴E、F的縱坐標為，
∴，
解得：x1＝0，x2＝4，
∵點A的縱坐標是，
∴拋物線AB是由拋物線AC向左平移4米得到的，
∴拋物線AB表達式為：，
把y＝0代入，
得：，
解得，（舍去），
∴，
（3）由（2）可得點B坐標為，0），
∴，
由（1）得把代入，
得x1＝4，x2＝0（舍去），
∴OG＝4，OD＝OG﹣DG＝2，
∵OB≤d≤OD，
∴．
8．（2022秋?華容區(qū)期末）如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出（A在y軸上），運動員乙在距O點6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達到最高點M，距地面約4米高．球第一次落地點后又一次彈起．據(jù)實驗，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．
（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式．
（2）運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米？（取，）
【分析】（1）易得第一次落地時拋物線的頂點，可設所求的函數(shù)解析式為頂點式，把（0，1）代入即可求得所求的函數(shù)解析式；
（2）易得第二次落地時的拋物線的二次項的系數(shù)與第一次落地時拋物線的二次項系數(shù)相同，頂點的縱坐標為第一個函數(shù)頂點縱坐標的一半，用頂點式設出所求的函數(shù)解析式，把C坐標代入后求得第二次落地時的拋物線解析式，讓函數(shù)值等于0可得D的橫坐標，減去OB的距離即為跑的距離．
【解答】解：（1）如圖，設第一次落地時，
拋物線的表達式為y＝a（x﹣6）2+4．
由已知：當x＝0時y＝1．
即1＝36a+4，
∴a＝﹣．
∴表達式為y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）由題意得：0＝﹣（x﹣6）2+4
解得：x1＝4+6≈13，x2＝﹣4+6＜0（舍去），
∴點C坐標為（13，0）．
設第二次落地的拋物線為y＝﹣（x﹣k）2+2．
將C點坐標代入得：0＝﹣（13﹣k）2+2．
解得：k1＝13﹣2＜13（舍去），k2＝13+2≈18．
∴y＝﹣（x﹣18）2+2．
0＝﹣（x﹣18）2+2．
x1＝18﹣2（舍去），x2＝18+2≈23，
∴BD＝23﹣6＝17（米）．
答：運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑17米．
9．（2023?淮安一模）某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y（件）與銷售單價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）根據(jù)“總利潤＝每件利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式，并配方成頂點式，再結(jié)合x的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．
【解答】解：（1）設y＝kx+b，
將（40，300）、（55，150）代入，得：，
解得：，
則y＝﹣10x+700；
（2）設每天獲取的利潤為W，
則W＝（x﹣30）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
又∵﹣10x+700≥240，
∴x≤46，
∵x＜50時，W隨x的增大而增大，
∴當x＝46時，W取得最大值，最大值為﹣10×16+4000＝3840，
答：當銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元．
10．（2023?盤錦）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每月的銷售量y（件）與售價x（萬元/件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表：
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不寫自變量的取值范圍）．
（2）該產(chǎn)品今年三月份的售價為35萬元/件，利潤為450萬元．
①求：三月份每件產(chǎn)品的成本是多少萬元？
②四月份工廠為了降低成本，提高產(chǎn)品質(zhì)量，投資了450萬元改進設備和革新技術(shù)，使每件產(chǎn)品的成本比三月份下降了14萬元．若四月份每件產(chǎn)品的售價至少為25萬元，且不高于30萬元，求這個月獲得的利潤w（萬元）關(guān)于售價x（萬元/件）的函數(shù)關(guān)系式，并求最少利潤是多少萬元．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）①設三月的成本為m萬元，當x＝35時，y＝﹣2x+100＝30，由題意得：450＝30（35﹣m），即可求解；
②由題意得：w＝y(tǒng)（x﹣6）＝（﹣2x+100）（x﹣6）＝﹣2x2+112x﹣600（25≤x≤30），即可求解．
【解答】解：（1）在表格取點（30，40）、（32，36），
設一次函數(shù)的表達式為：y＝kx+b，
則，解得：，
則一次函數(shù)的表達式為：y＝﹣2x+100；
（2）①設三月的成本為m萬元，
當x＝35時，y＝﹣2x+100＝30，
由題意得：450＝30（35﹣m），
解得：m＝20，
即三月份每件產(chǎn)品的成本是20萬元；
②四月份每件產(chǎn)品的成本比三月份下降了14萬元，則此時的成本為20﹣14＝6，
由題意得：w＝y(tǒng)（x﹣6）＝（﹣2x+100）（x﹣6）＝﹣2x2+112x﹣600（25≤x≤30），
則拋物線的對稱軸為x＝28，
則x＝25時，w取得最小值，
此時，w＝950，
即四月份最少利潤是950萬元．
11．（2023春?江都區(qū)月考）某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設銷售量與產(chǎn)量相等，圖中的線段AB表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系；線段CD表示該產(chǎn)品銷售價y2（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系，已知0＜x≤120，m＞60．
（1）求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達式；
（2）若m＝90，該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）若?60＜m＜70，該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求得m＝90時，y2與x之間的函數(shù)表達式，再根據(jù)利潤＝銷售量×（售價﹣成本）列出函數(shù)關(guān)系式，將其寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）用含m的式子表示出y2與x之間的函數(shù)表達式，再根據(jù)利潤＝銷售量×（售價﹣成本）列出函數(shù)關(guān)系式，然后結(jié)合60＜m≤70及二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）設線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達式為y1＝k1x+b1，
將（0，60），（120，40）代入得：
，
解得：，
∴線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達式為y1＝﹣x+60；
（2）若m＝90，設y2與x之間的函數(shù)表達式為y2＝k2x+90，
根據(jù)題意得：50＝120k2+90，
解得：k2＝﹣，
∴y2＝﹣x+90（0＜x≤120），
設產(chǎn)品產(chǎn)量為xkg時，獲得的利潤為w元，
根據(jù)題意得：
w＝（y2﹣y1）x
＝[﹣x+90﹣（﹣x+60）]x
＝（﹣x+30）x
＝﹣x2+30x
＝﹣（x﹣90）2+1350（0＜x≤120）；
∴當x＝90時，w有最大值，最大值為1350元．
∴若m＝90，該產(chǎn)品產(chǎn)量為90kg時，獲得的利潤最大，最大利潤是1350元；
（3）設y＝k2x+m，由題意得：
120k2+m＝50，
解得：k2＝，
∴y＝x+m，
設產(chǎn)品產(chǎn)量為xkg時，獲得的利潤為w'元，
∴w'＝x[（x+m）﹣（﹣x+60）]
＝x2+（m﹣60）x，
∵60＜m≤70，
∴a＝＞0，b＝m﹣60＞0，
∴﹣＜0，即拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，
對稱軸為直線x＝＜0，
∴當0＜x≤120時，w'隨x的增大而增大，
∴當x＝120時，w'的值最大，w'max＝1200元．
∴60＜m＜70時，該產(chǎn)品產(chǎn)量為120kg時，獲得的利潤最大，最大利潤為1200元．
12．（2023?梁溪區(qū)模擬）為加強勞動教育，各校紛紛落實勞動實踐基地．某校學生在種植某種高產(chǎn)番茄時，經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)：①當每平方米種植2株番茄時，平均單株產(chǎn)量為8.4千克；②在每平方米種植的株數(shù)不超過10的前提下，以同樣的栽培條件，株數(shù)每增加1株，平均單株產(chǎn)量減少0.8千克．
（1）求平均單株產(chǎn)量y（千克）與每平方米種植的株數(shù)x（x為整數(shù)，且2≤x＜10）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知學校勞動基地共有10平方米的空地用于種植這種番茄．問：當每平方米種植多少株時，該學校勞動基地能獲得最大的產(chǎn)量？最大產(chǎn)量為多少千克？
【分析】（1）由每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.8千克，即可得得出函數(shù)解析式；
（2）設每平方米小番茄產(chǎn)量為W千克，由產(chǎn)量＝每平方米種植株數(shù)×單株產(chǎn)量即可列函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）∵每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.8千克，
∴y＝8.4﹣0.8（x﹣2）＝﹣0.8x+10，
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝﹣0.8x+10，（2≤x≤10，且x為整數(shù)）；
（2）設每平方米番茄產(chǎn)量為W千克，
根據(jù)題意得：W＝x（﹣0.8x+10）＝﹣0.8x2+10x＝﹣0.8（x﹣）2+，
∵﹣0.8＜0，x為整數(shù)，
∴當x＝6時，W取最大值，最大值為，
∴10×＝312（千克），
答：每平方米種植6株時，該學校勞動基地能獲得最大的產(chǎn)量，最大產(chǎn)量為312千克．
13．（2023春?倉山區(qū)校級期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務．
如何設計大棚苗木種植方案？
素材1：圖1中有一個大棚苗木種植基地及其截面圖，其下半部分是一個長為20m，寬為1m的矩形，其上半部分是一條拋物線，現(xiàn)測得，大棚頂部的最高點距離地面5m．
素材2：種植苗木時，每棵苗木高1.76m，為了保證生長空間，相鄰兩棵苗木種植點之間間隔1m，苗木頂部不觸碰大棚，且種植后苗木成軸對稱分布．
（1）任務1：確定大棚上半部分形狀．根據(jù)圖2建立的平面直角坐標系，通過素材1提供的信息確定點的坐標，求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）任務2：探究種植范圍．在圖2的坐標系中，在不影響苗木生長的情況下，確定種植點的橫坐標的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意建立直角坐標系，分別得到E（﹣10，1），F(xiàn)（10，1），A（0，5），再根據(jù)待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)每棵苗木高1.76m，且苗木頂部不觸碰大棚得到y(tǒng)＞1.76，即可求出種植點的橫坐標的取值范圍．
【解答】解：（1）如下圖所示，
根據(jù)題意得OB＝10，OA＝5，E（﹣10，1），F(xiàn)（10，1），A（0，5），
設二次函數(shù)的解析式為y＝kx2+b，
得，
解方程組得b＝5，，
∴；
（2）當y＞1.76時，
得，
∴x2＜81，
∴﹣9＜x＜9；
14．（2023?岳麓區(qū)校級二模）從2020年開始，越來越多的商家向線上轉(zhuǎn)型發(fā)展，“直播帶貨”已經(jīng)成為商家的一種促銷的重要手段．某商家在直播間銷售一種進價為每件10元的日用商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足y＝﹣10x+400，設銷售這種商品每天的利潤為W（元）．
（1）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該商家每天想獲得1250元的利潤，又要減少庫存，應將銷售單價定為多少元？
（3）若銷售單價不低于28元，且每天至少銷售50件時，求W的最大值．
【分析】（1）根據(jù)銷售1件的利潤乘以每天銷售量等于每天的總利潤，直接列式即可作答；
（2）令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，解方程即可求解；
（3）根據(jù)題意有：，解得：28≤x≤35，將W＝﹣10x2+500x﹣4000化為頂點式為：W＝﹣10（x﹣25）2+2250，即可知當x＞25時，函數(shù)值隨著x的增大而減小，問題隨之得解．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，有：W＝y(tǒng)×（x﹣10）＝（﹣10x+400）×（x﹣10），
化簡，得：W＝﹣10x2+500x﹣4000，
根據(jù)，解得：x＞10，
即函數(shù)關(guān)系為：W＝﹣10x2+500x﹣4000，x＞10；
（2）令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，
解得：x＝15，或者x＝35，
當x＝15時，銷量：y＝﹣10x+400＝250（件）；
當x＝35時，銷量：y＝﹣10x+400＝50（件）；
銷量越高，越有利于減少庫存，
即為了減少庫存，將銷售單價應定為15元；
（3）根據(jù)題意有：，解得：28≤x≤35，
將W＝﹣10x2+500x﹣4000化為頂點式為：W＝﹣10（x﹣25）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴當x＞25時，函數(shù)值隨著x的增大而減小，
∵28≤x≤35，
∴當x＝28時，函數(shù)值最大，最大為：W＝﹣10（28﹣25）2+2250＝2160．
答：此時W的最大值為2160元．
15．（2022秋?蜀山區(qū)校級期末）某超市經(jīng)銷甲、乙兩種商品．商品甲每千克成本為20元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，商品乙的成本為4元/千克，銷售單價為10元/千克，但每天供貨總量只有80千克，且能當天銷售完．為了讓利消費者，超市開展了“買一送一”活動，即買1千克的商品甲，免費送1千克的商品乙．
（1）直接寫出銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)表達式 ；
（2）設這兩種商品的每天銷售總額為S元，求出S（元）與x（元/千克）的函數(shù)關(guān)系式；（注：商品的銷售額＝銷售單價×銷售量）
（3）設這兩種商品銷售總利潤為W，若商品甲的售價不低于成本，不超過成本的150%，當銷售單價定為多少時，才能使當天的銷售總利潤最大？最大利潤是多少？（注：銷售總利潤＝兩種商品的銷售總額﹣兩種商品的總成本）
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)的解析式；
（2）利用商品的銷售額＝銷售單價×銷售量，即可求出S（元）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用銷售總利潤＝兩種商品的銷售總額﹣兩種商品的總成本求出兩種商品銷售總利潤為W與銷售單價x之間的關(guān)系式，根據(jù)已知求出x的取值范圍，再將關(guān)系式化為配方式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來進行計算即可．
【解答】解：（1）設y與x之間的函數(shù)表達式為y＝kx+b（k≠0），
將圖象中（30，40）、（40，20）代入得：，
解得：，
∴銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)表達式為：y＝﹣2x+100，
故答案為：y＝﹣2x+100；
（2）∵超市開展了“買一送一”活動，即買1千克的商品甲，免費送1千克的商品乙，且商品乙每天供貨總量只有80千克，
∴商品甲的銷量：0≤y≤80，即0≤﹣2x+100≤80，
∴10≤x≤50，
則兩種商品的每天銷售總額：S＝xy＝x（﹣2x+100）＝﹣2x2+100x（10≤x≤50）；
（3）兩件商品的成本為：20+4＝24元，
∵商品甲的售價不低于成本，不超過成本的150%，20×150%＝30，
∴20≤x≤30，
W＝（﹣2x2+100x）﹣（﹣2x+100）×（20+4），
即W＝﹣2x2+148x﹣2400＝﹣2（x﹣37）2+338（20≤x≤30），
∵﹣2＜0，
∴x＜37時，W隨x的增大而增大，
∴x＝30時，W的最大值＝﹣2×49+338＝240，
答：當銷售單價定為30元時，才能使當天的銷售總利潤最大，最大利潤是240元．
16．（2023春?蓮池區(qū)校級期中）為促進學生德智體美勞全面發(fā)展，推動文化學習與體育鍛煉協(xié)調(diào)發(fā)展，某校舉辦了學生趣味運動會．該校計劃用不超過5900元購買足球和籃球共36個，分別作為運動會團體一、二等獎的獎品．已知足球單價170元，籃球單價160元．
（1）學校至多可購買多少個足球？
（2）受卡塔爾世界杯的影響，學校商議決定按（1）問的結(jié)果購買足球作為一等獎獎品，以鼓勵更多學生熱愛足球，同時商場也對足球和籃球的價格進行調(diào)整，足球單價下降了a%，籃球單價上漲了，最終學校購買獎品的經(jīng)費比計劃經(jīng)費的最大值節(jié)省了155元，求a的值．
【分析】（1）設學校購買x個足球，則購買（36﹣x）個籃球，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結(jié)合總費用不超過5900元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)購買足球節(jié)省的錢數(shù)﹣購買籃球多花的錢數(shù)＝節(jié)余錢數(shù)，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設學校購買x個足球，則購買（36﹣x）個籃球，
根據(jù)題意得：170x+160（36﹣x）≤5900，
解得：x≤14．
答：學校至多可購買14個足球．
（2）根據(jù)題意得：，
解得：a＝25．
答：a的值為25．
17．（2023春?宜都市期末）某公司分別在A，B兩城生產(chǎn)同種產(chǎn)品，共100件．A城生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)品數(shù)量x（件）之間具有一次函數(shù)關(guān)系：y＝ax+b．當x＝5時，y＝40；當x＝30時，y＝140．B城生產(chǎn)產(chǎn)品的每件成本為7萬元．
（1）求a，b的值；
（2）當A，B兩城生產(chǎn)這批產(chǎn)品的總成本之和為660萬元時，求A，B兩城各生產(chǎn)產(chǎn)品多少件？
（3）從A城把該產(chǎn)品運往C，D兩地的費用分別為m萬元/件和3萬元/件；從B城把該產(chǎn)品運往C，D兩地的費用分別為1萬元/件和2萬元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的條件下，若A，B兩城總運費之和的最小值為150萬元，求m的值．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出a，b的值；
（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，從而可得出A，B兩城生產(chǎn)這批產(chǎn)品的總成本的和，據(jù)此建立方程求解即可；
（3）設從A城運往C地的產(chǎn)品數(shù)量為n件，A，B兩城總運費的和為P，則從A城運往D地的產(chǎn)品數(shù)量為（20﹣n）件，從B城運往C地的產(chǎn)品數(shù)量為（90﹣n）件，從B城運往D地的產(chǎn)品數(shù)量為（10﹣20+n）件，從而可得關(guān)于n的不等式組，解得n的范圍，然后根據(jù)運費信息可得P關(guān)于n的一次函數(shù)，將n的數(shù)值代入即可求得．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得；
（2）設A城生產(chǎn)產(chǎn)品x件，則B城生產(chǎn)產(chǎn)品（100﹣x）件，
由題意得，4x+20+7（100﹣x）＝660，
解得x＝20，
∴100﹣x＝80，
答：A生產(chǎn)產(chǎn)品20件，B生產(chǎn)產(chǎn)品80件；
（3）設從A城運往C地的產(chǎn)品數(shù)量為n件，A，B兩城總運費的和為P，則從A城運往D地的產(chǎn)品數(shù)量為（20﹣n）件，從B城運往C地的產(chǎn)品數(shù)量為（90﹣n）件，從B城運往D地的產(chǎn)品數(shù)量為（10﹣20+n）件，
由題意得：，
解得：10≤n≤20，
∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），
整理得：P＝（m﹣2）n+130，
當0≤m＜2時，則m﹣2＜0，
∴P隨n增大而減小，
∴當n＝20，P最小，最小值為20（m﹣2）+130，
又∵A，B兩城總運費之和的最小值為150萬元，
∴20（m﹣2）+130＝150，
∴m＝3（舍去）；
當m＝2時，P＝130＜150，不符合題意；
當m＞2時，則m﹣2＞0，
∴P隨n增大而增大，
∴當n＝10，P最小，最小值為10（m﹣2）+130，
又∵A，B兩城總運費之和的最小值為150萬元，
∴10（m﹣2）+130＝150，
∴m＝4；
綜上所述，m＝4．
18．（2023?海淀區(qū)校級四模）某公園修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安裝一個可調(diào)節(jié)角度的噴水頭，從噴水頭噴出的水柱形狀是一條拋物線．建立如圖所示的平面直角坐標系，拋物線形水柱的豎直高度y（單位：m）與到池中心的水平距離x（單位：m）滿足的關(guān)系式近似為y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在某次安裝調(diào)試過程中，測得x與y的部分對應值如下表：
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，解答下列問題：
①水管的長度是 m；
②求出y與x滿足的函數(shù)解析式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）安裝工人在上述基礎(chǔ)上進行了下面兩種調(diào)試：
①不改變噴水頭的角度，將水管長度增加1m，水柱落地時與池中心的距離為d1；
②不改變水管的長度，調(diào)節(jié)噴水頭的角度，使得水柱滿足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地時與池中心的距離為d2．
則比較d1與d2的大小關(guān)系是：d1 d2（填“＞”或“＝”或“＜”）
【分析】（1）①根據(jù)當x＝0時，y＝2.25即可求解；
②根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出調(diào)試①的拋物線解析式，然后令y＝0可求出求出d1，d2，然后比較大小即可．
【解答】解：（1）①當x＝0時，y＝2.25，
∴水管的長度是2.25m；
故答案為：2.25；
②把x＝0，y＝2.25；x＝1，y＝3；x＝3，y＝0，分別代入 y＝a（x﹣h）2+k，得：
，
解得：，
∴y＝﹣0.75（x﹣1）2+3；
（2）①∵不改變噴水頭的角度，將水管長度增加1m，
∴y＝﹣0.75（x﹣1）2+3 向上平移1個單位，
∴平移后的解析式為y＝﹣0.75（x﹣1）2+3+1，即 y＝﹣0.75（x﹣1）2+4，
當y＝0時，﹣0.75（x﹣1）2+4＝0，
解得x1＝+1，x2＝﹣+1（不合題意，舍去），
∴d1＝+1≈3.31；
對于y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，
當y＝0時，﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6＝0，
解得：x1＝+1.5，x2＝﹣+1.5（不合題意，舍去），
∴d2＝+1.5≈3.95，
∴d1＜d2，
故答案為：＜．
19．（2023?羅山縣三模）實心球是中考體育項目之一．在擲實心球時，實心球被擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分．已知小軍在一次擲實心球訓練中，第一次投擲時出手點距地面1.8m，實心球運動至最高點時距地面3.4m，距出手點的水平距離為4m．設實心球擲出后距地面的豎直高度為y（m），實心球距出手點的水平距離為x（m）．如圖，以水平方向為x軸，出手點所在豎直方向為y軸建立平面直角坐標系．
（1）求第一次擲實心球時運動路線所在拋物線的表達式．
（2）若實心球投擲成績（即出手點與著陸點的水平距離）達到12.4m為滿分，請判斷小軍第一次投擲實心球能否得滿分．
（3）第二次投擲時，實心球運動的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.08（x﹣5）2+3.8記小軍第一次投擲時出手點與著陸點的水平距離為d1，第二次投擲時出手點與著陸點的水平距離為d2，則d1 d2．（填“＞”“＜”“＝”）
【分析】（1）設拋物線的表達式為y＝a（x﹣4）2+3.4，將（0，1.8）代入解得a即可；
（2）令﹣0.1（x﹣4）2+3.4＝0，解得x，與12.4m比較即可；
（3）令﹣0.08（x﹣5）2+3.8＝0，解得x，根據(jù)（2）所得即可比較d1與d2．
【解答】解：（1）由題意，可知拋物線最高點的坐標為（4，3.4），
設拋物線的表達式為y＝a（x﹣4）2+3.4，
將（0，1.8）代入，
得16a+3.4＝1.8，
解得a＝﹣0.1．
∴第一次擲實心球時運動路線所在拋物線的表達式為y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4；
（2）令﹣0.1（x﹣4）2+3.4＝0，
解得x＝4+（負值已舍去），
∴實心球出手點與著陸點的水平距離為（4+）m．
∵＜，即＜6，
∴4+＜10＜12.4，
∴小軍第一次投擲實心球不能得滿分．
（3）∵﹣0.08（x﹣5）2+3.8＝0，
解得x＝+5（負值已舍去），
∴d1＝4+，d2＝+5，
∵4+＜10，+5＞+5＝11.5，
∴d1＜d2．
故答案為：＜．
20．（2023?花溪區(qū)校級一模）過山車是一項富有刺激性的娛樂工具，在乘坐過山車的過程中能夠親身體驗由能量守恒、加速度和力交織在一起產(chǎn)生的效果，那感覺真是妙不可言．如圖是合肥某樂園中部分過山車滑道所抽象出來的函數(shù)圖象，線段AB是一段直線滑道，且AB長為米，點A到地面距離OA＝6米，點B到地面距離BE＝3米，滑道B﹣C﹣D可以看作一段拋物線，最高點為C（8，4）．
（1）求滑道B﹣C﹣D部分拋物線的函數(shù)表達式；
（2）當小車（看成點）沿滑道從A運動到D的過程中，小車距離x軸的垂直距離為2.5米時，它到出發(fā)點A的水平距離是多少？
（3）現(xiàn)在需要對滑道C﹣D部分進行加固，建造某種材料的水平和豎直支架CF，PH，PG．已知這種材料的價格是75000元/米，為了預算充足，至少需要申請多少元的資金．
【分析】（1）先根據(jù)已知條件求出點B坐標，再設出拋物線解析式為y＝a（x﹣8）2+4，然后把B點坐標代入解析式求出a即可；
（2）把y＝2.5代入解析式求出x即可；
（3）設點P坐標為（m，﹣（m﹣8）2+4），則PH＝﹣（m﹣8）2+4，PG＝m﹣8，然后求出PH+PG的最大值即可．
【解答】解：（1）過點B作BM⊥y軸于M，如圖所示：
∵OA＝6，BE＝3，AB＝3，
∴AM＝3，
∴BM＝＝＝6，
∴B（6，3），
根據(jù)題意，設拋物線解析式為y＝a（x﹣8）2+4，
把B（6，3）代入解析式得：3＝a（6﹣8）2+4，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣8）2+4，
令y＝0，則﹣（x﹣8）2+4＝0，
解得x1＝12，x2＝4，
∴滑道B﹣C﹣D部分拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣（x﹣8）2+4（6≤x≤12）；
（2）當y＝2.5時，則﹣（x﹣8）2+4＝2.5，
解得x＝8+或x＝8﹣（舍去），
答：小車到出發(fā)點A的水平距離是（8+）米；
（3）設點P坐標為（m，﹣（m﹣8）2+4），
則PH＝﹣（m﹣8）2+4，PG＝m﹣8，
∴PH+PG＝﹣（m﹣8）2+4+（m﹣8）＝﹣m2+4m﹣16+4+m﹣8＝﹣m2+5m﹣20＝﹣（m﹣10）2+5，
∵﹣＜0，
∴當m＝10時，PH+PG有最大值5，
∵CF＝4，
∴CF+PH+PG的最大值為9，
∴9×75000＝675000（元），
答：至少需要申請675000元的資金．
21．（2022秋?豐都縣期末）拋實心球是豐都中考體育考試項目之一，如圖1是一名男生投實心球情境，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出時，起點處高度為1.9m，當水平距離為4m時，實心球行進至最高點3.5m處．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）根據(jù)中考體育考試評分標準（男生版），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于9.7m時，即可得滿分10分．該男生在此項考試中能否得滿分，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意設出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)該同學此次投擲實心球的成績就是實心球落地時的水平距離，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意設y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣4）2+3.5，
把（0，1.9）代入解析式得：1.9＝a（0﹣4）2+3.5，
解得：a＝﹣0.1，
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.5；
（2）該男生在此項考試中能得滿分，理由：
令y＝0，則﹣0.1（x﹣4）2+3.5＝0，
解得：x1＝4+，x2＝4﹣（舍去），
∵4+＞9.7，
∴該男生在此項考試中能得滿分．
22．（2022秋?建昌縣期末）2022年11月，“中國傳統(tǒng)制茶技藝及其相關(guān)習俗”申遺成功，弘揚茶文化，倡導“和美雅靜”的生活方式已成時尚．某茶商經(jīng)銷某品牌茶，成本為50元/千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每周的銷量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)列表如下：
（1）求y與x的一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）求該茶商這一周銷售該品牌茶葉所獲利潤w（元）的最大值．
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可得；
（2）根據(jù)利潤＝（銷售單價﹣成本價）×銷量，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
【解答】解：（1）設y與x的一次函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
由題意得：，
解得：，
則y與x的一次函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+240．
（2）由題意得：w＝（x﹣50）y＝（x﹣50）（﹣2x+240）
＝﹣2x2+340x﹣12000
＝﹣2（x﹣85）2+2450，
∵這個拋物線的對稱軸為直線x＝85，且開口向下，
∴當x＝85時，w取得最大值，最大值為2450，
答：該茶商這一周銷售該品牌茶葉所獲利潤w（元）的最大值為2450元．
23．（2023?錦州二模）近年來國家出臺政策要求電動車上牌照，“保安全、戴頭盔”出行．某頭盔專賣店購進一批單價為36元的頭盔．在銷售中，通過分析銷售情況發(fā)現(xiàn)這種頭盔的月銷售量y（個）與售價x（元/個）（42≤x≤72）滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的兩組對應值．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）專賣店的優(yōu)惠活動：若購買一個這種頭盔，就贈送一個成本為6元的頭盔面罩．請問這種頭盔的售價定為多少元時，月銷售利潤最大，最大月銷售利潤是多少元？
【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y＝ax+b，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)每天的利潤＝單箱的利潤×銷量列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值．
【解答】解：（1）設y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y＝akx+b，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+200；
故答案為：y＝﹣2x+200；
（2）設月銷售利潤是w元，
則w＝y(tǒng)（x﹣36﹣6）＝（﹣2x+200）（x﹣42）＝﹣2x2+284x﹣8400，
∵a＝﹣2＜0，
∴拋物線開口向下，有最大值；
當x＝＝＝71時，w有最大值，
∴當x＝71時，w最大值＝?2×712+284×71+8400＝1682（元），
答：這種頭盔的售價定為71元時，月銷售利潤最大，最大月銷售利潤是1682元．
24．（2023?金湖縣三模）某超市購進甲、乙兩種商品，已知購進5件甲商品和2件乙商品，需80元：購進3件甲商品和4件乙商品，需90元．
（1）甲、乙兩種商品的進貨單價分別是多少？
（2）設甲商品的銷售單價為x（單位：元/件），在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當12≤x≤18時，甲商品的日銷售量y（單位：件）與銷售單價x之間存在一次函數(shù)關(guān)系，x、y之間的部分數(shù)值對應關(guān)系如表：
請寫出當12≤x≤18時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，設甲商品的日銷售利潤為w元，當甲商品的銷售單價x（元/件）定為多少時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少？
【分析】（1）設甲、乙兩種商品的進貨單價分別是a、b元/件，由題意得關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解即可．
（2）設y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1，用待定系數(shù)法求解即可．
（3）根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，然后寫成頂點式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）設甲、乙兩種商品的進貨單價分別是a、b元/件，由題意得：
，
解得：．
∴甲、乙兩種商品的進貨單價分別是10元/件、15元/件．
（2）設y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1，將（12，16），（18，4）代入得：
，
解得：．
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+40（12≤x≤18）．
（3）由題意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣2x2+60x﹣400
＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．
∴當x＝15時，w取得最大值50．
∴當甲商品的銷售單價定為15元/件時，日銷售利潤最大，最大利潤是50元．
25．（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）疫情防控常態(tài)化，全國人民同心抗疫．某商家決定將一個月獲得的利潤全部捐贈給社區(qū)用于抗疫．已知商家購進一批產(chǎn)品，成本為10元/件，擬采取線上和線下兩種方式進行銷售，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，線下的月銷量y（件）與線下售價x（元/件，且12≤x≤16）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若線上售價始終比線下每件便宜2元，且線上的月銷量固定為600件．當x為何值時，線上和線下銷售月利潤總和W達到最大？最大利潤是多少？
（3）要使（2）中月利潤總和W不低于4400元，請直接寫出x的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)利潤＝（售價﹣成本）×數(shù)量求出W關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）先求出當y＝4400時，x的值，然后根據(jù)（2）可知當12≤x≤16時，W隨x增大而增大，由此即可得到答案．
【解答】解：（1）設y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣100x+2200（12≤x≤16）；
（2）由題意得W＝600（x﹣10﹣2）+（x﹣10）（﹣100x+2200）＝﹣100x2+3800x﹣29200＝﹣100（x﹣19）2+6900，
∵﹣100＜0，
∴當12≤x≤16時，W隨x增大而增大，
∴當x＝16時，W最大，最大為6000，
∴當x＝16時，線上和線下銷售月利潤總和W達到最大，最大利潤是6000元；
（3）當y＝4400時，﹣100x2+3800x﹣29200＝4400，
解得x＝14或x＝24，
由（2）得當12≤x≤16時，W隨x增大而增大，
所以要使（2）中月利潤總和W不低于4400元，14≤x≤16．
26．（2023?嘉魚縣模擬）為鞏固扶貧攻堅成果，我縣政府督查各部門和單位對口扶貧情況．某單位的幫扶對象種植的農(nóng)產(chǎn)品在某月（按30天計）的第x天（x為正整數(shù)）的銷售價格p（元/千克）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為p＝，銷售量y（千克）與x之間的關(guān)系如圖所示．
（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍；
（2）求該農(nóng)產(chǎn)品的銷售量有幾天不超過60千克？
（3）當月第幾天，該農(nóng)產(chǎn)品的銷售額最大，最大銷售額是多少？（銷售額＝銷售量×銷售價格）
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）把y≤60代入y＝4x﹣4，解得即可；
（3）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以得到利潤與x之間的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到當月第幾天，該農(nóng)產(chǎn)品的銷售額最大，最大銷售額是多少．
【解答】解：（1）當0＜x≤20時，設y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝ax+b，
把（0，80），（20，40）分別代入解析式，得，
，
解得，
即當0＜x≤20時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+80，
當20＜x≤30時，設y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝mx+n，
把（20.40），（30，80）分別代入解析式，得：
，
解得 ，
即當20＜x≤30時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝4x﹣40，
由上可得，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝；
（2）把y≤60代入y＝4x﹣40，
4x﹣40≤60，
解得x≤25，
∵﹣2x+80≤60，
∴x≥10，
∴10≤x≤25，
答：該農(nóng)產(chǎn)品的銷售量有16天不超過60千克；
（3）設當月第x天的銷售額為w元，
當0＜x≤20時，w＝0.4x（?2x+80）＝﹣0.8（x?20）2+320，
∴當x＝15時，w取得最大值，此時w＝500，
當20＜x≤30時，w＝（﹣0.2x+12）×（4x﹣40）＝﹣0.8（x﹣35）2+500，
∴當x＝30時，w取得最大值，此時w＝480，
綜上可得，當x＝30時，w取得最大值，此時w＝480；
答：當月第30天，該農(nóng)產(chǎn)品的銷售額最大，最大銷售額是480元．
27．（2023?云夢縣校級三模）李麗大學畢業(yè)后回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，開了一家服裝專賣店代理品牌服裝的銷售．已知該品牌服裝進價每件40元，日銷售y（件）與銷售價x（元/件）之間的關(guān)系如圖所示（實線），每天付員工的工資每人82元，每天應支付其他費用106元．
（1）直接寫出日銷售y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當某天的銷售價為48元/件時，收支恰好平衡（收入＝支出），求該店員工人數(shù)；
（3）若該店只有2名員工，則每天能獲得的最大利潤是多少元？此時，每件服裝的價格應定為多少元？
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)收入等于支出，可得一元一次方程，根據(jù)解一元一次方程，可得答案；
（3）分兩種情況解答：①當40≤x＜58時；②當58≤x≤71時，依據(jù)：總利潤＝單件利潤×銷售量﹣工人工資及其他費用列出函數(shù)解析式，求解即可．
【解答】解：（1）當40≤x＜58時，設y與x的函數(shù)解析式為y＝k1x+b1，
由圖象可得，
，
解得：．
∴y＝﹣2x+140；
當58≤x≤71時，設y與x的函數(shù)解析式為y＝k2x+b2，
由圖象得，
，
解得．
∴y＝﹣x+82．
綜上所述：y＝．
（2）設人數(shù)為a，
當x＝48時，
y＝﹣2×48+140＝44，
則（48﹣40）×44＝106+82a，
解得a＝3．
答：該店員工人數(shù)為3．
（3）設每件服裝的價格為x元時，每天獲得的利潤為w元．
當40≤x＜58時，
w＝（x﹣40）（﹣2x+140）﹣82×2﹣106
＝﹣2x2+220x﹣5870
＝﹣2（x﹣55）2+180，
當x＝55時，w最大值＝180．
當58≤x≤71時，
w＝（x﹣40）（﹣x+82）﹣82×2﹣106
＝﹣x2+122x﹣3550
＝﹣（x﹣61）2+171，
當x＝61時，w最大值＝171．
∵180＞171
∴w最大值為180
答：每天能獲得的最大利潤是180元，此時，每件服裝的價格應定為55元．
28．（2023?臥龍區(qū)二模）如圖，在斜坡底部點O處安裝一個自動噴水裝置，噴水頭（視為點A）的高度（噴水頭距噴水裝置底部的距離）是1.8米，自動噴水裝置噴射出的水流可以近似地看成拋物線．當噴射出的水流與噴水裝置的水平距離為8米時，達到最大高度5米．以點O為原點，自動噴水裝置所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）斜坡上距離O水平距離為10米處有一棵高度為1.75米的小樹NM，MN垂直水平地面，且M點到水平地面的距離為2米，綠化工人向左水平移動噴水裝置后，水流恰好噴射到小樹頂端的點N，求自動噴水裝置向左水平平移（即拋物線向左）了多少米？
【分析】（1）題目中告知了拋物線的頂點（8，5），可以設拋物線的頂點式，又拋物線經(jīng)過點（0，1.8）即可求解頂點式中的a，從而求解；
（2）設拋物線向后平移了m米，用（1）中的頂點式，表示出新的拋物線解析式，將點N坐標代入解析式中，求解m即可．
【解答】解：（1）由題可知：當噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度5米，
則可設水流形成的拋物線為y＝a（x﹣8）2+5，
∴將點（0，1.8）代入可得，
∴拋物線，
（2）設噴射架向左水平平移了m米，
則平移后的拋物線可表示為，
將點N（10，3.75）代入得：，
解得m＝3或m＝﹣7（舍去），
∴噴射架應向左水平移動3米．
29．（2023?競秀區(qū)二模）過山車是一項富有刺激性的娛樂工具，深受年輕游客的喜愛．某游樂場修建了一款大型過山車．如圖所示，A→B→C為這款過山車的一部分軌道（B為軌道最低點），它可以看成一段拋物線，其中OA＝16.9米，OB＝13米（軌道厚度忽略不計）．
（1）求拋物線A→B→C的函數(shù)表達式；
（2）在軌道上有兩個位置P和C到地面的距離均為n米，當過山車運動到C處時，又進入下坡段C→E（接口處軌道忽略不計，E為軌道最低點），已知軌道拋物線C→E→F的形狀與拋物線A→B→C完全相同，E點坐標為（33，0），求n的值；
（3）現(xiàn)需要對軌道下坡段A→B進行安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架GD、GM、HI、HN，且要求MN＝2OM，已知這種材料的價格是100000元/米，請計算OM多長時，造價最低？最低造價為多少元？
【分析】（1）設拋物線的函數(shù)表達式為y＝m（x﹣13）2，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）求得BE＝20，推出PC＝BE＝20，得到P（3，n），C（23，n），據(jù)此即可求解；
（3）設OM＝a，得到l關(guān)于a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）由題意可設拋物線的函數(shù)表達式為y＝m（x﹣13）2，
把A（0，16.9）代入，得：m（0﹣13）2＝16.9，
解得：m＝0.1，
∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝0.1（x﹣13）2；
（2）∵OB＝13米，E點坐標為（33，0），
∴BE＝20，
∵P和C到地面的距離均為n米，且P，C在拋物線y＝0.1（x﹣13）2上，
∴P，C關(guān)于直線x＝13對稱．
∵C為兩條形狀完全相同的拋物線C→E→F與A→B→C的交點，
∴拋物線C→E→F由拋物線A→B→C向右平移20個單位得到，
∴PC＝BE＝20，
∴C（23，n），P（3，n），
將（3，n）代入y＝0.1（x﹣13）2得n＝0.1（3﹣13）2，
∴n＝10；
（3）設OM＝a，
則G（a，0.1（a﹣13）2），H（3a，0.1（3a﹣13）2），
∵MN＝2OM，
∴l(xiāng)＝GM+GD+HN+HI
＝a+0.1（a﹣13）2+3a+0.1（3a﹣13）2
＝a2﹣6.4a+33.8
＝（a﹣3.2）2+23.56，
∵1＞0，
∴當a＝3.2時，l最短，最短為23.56．
此時，100000×23.56＝2356000（元），
∴當OM為3.2米時，造價最低，最低造價為2356000元．
30．（2023?利辛縣模擬）如圖，某小區(qū)的景觀池中安裝一雕塑OA，OA＝2米，在點A處安裝噴水裝置，噴出兩股水流，兩股水流可以抽象為平面直角坐標系中的兩條拋物線（圖中的C1，C2）的部分圖象，兩條拋物線的形狀相同且頂點的縱坐標相同，且經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)拋物線C2的最高點（頂點）C距離水池面2.5米，且與OA的水平距離為2米．
（1）求拋物線C2的解析式；
（2）求拋物線C1與x軸的交點B的坐標；
（3）小明同學打算操控微型無人機在C1，C2之間飛行，為了無人機的安全，要求無人機在豎直方向上的活動范圍不小于0.5米，設無人機與OA的水平距離為m，求m的取值范圍．
【分析】（1）由題意可知C2過點A（0，2）和點C（2，2.5），且﹣＝2，代入解析式可求得解析式；
（2）兩條拋物線的形狀相同且頂點的縱坐標相同且C1經(jīng)過點（0，2），設C1的解析式為y＝﹣x2+bx+c，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求得解析式，再根據(jù)題意進行取舍即可；
（3）無人機的橫坐標為x，根據(jù)題意列出不等式﹣x2+x+2﹣（﹣x2﹣x+2）≥0.5，求解即可．
【解答】解：（1）由已知可得：C2過點A（0，2）和點C（2，2.5），設其解析式為y＝ax2+bx+c，
代入兩點，由C的橫坐標為﹣＝2可得，
，
解得：，
故C2的解析式為：y＝﹣x2+x+2；
（2）∵兩條拋物線的形狀相同
∴設C1的解析式為y＝﹣x2+bx+c，
已知C1經(jīng)過點（0，2），故C1的解析式為y＝﹣x2+bx+2①，
∵頂點的縱坐標相同，
∴C1的頂點的橫坐標為4b，代入①，
可得：﹣?（4b）2+b?4b+2＝2.5，
解得：b＝±，
故C1的解析式為y＝﹣x2+x+2②或y＝﹣x2﹣x+2③，
由圖可知C1的終點的橫坐標小于0，而②中﹣＝2＞0不合題意，故舍去②，
令將y＝0代入y＝﹣x2﹣x+2，
解得x＝﹣2+2或﹣2﹣2（舍去），
故B點的坐標為（﹣2+2，0）．
（3）由題意可得：﹣m2+m+2﹣（﹣m2﹣n+2）≥0.5，
解得：m≥，
又∵﹣m2+m+2≥0.5，
解得：m≤6，
∴．
銷售單價x/元
…
12
13
14
…
每天銷售數(shù)量y/件
…
36
34
32
…
每件售價x/萬元
…
24
26
28
30
32
…
月銷售量y/件
…
52
48
44
40
36
…
水平距離x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
豎直高度y/m
2.25
2.8125
3
2.8125
2.25
1.3125
0
銷售單價x（元/千克）
56
65
75
…
銷量y（千克）
128
110
90
…
售價x（元/個）
…
50
55
…
月銷售量y（個）
…
100
90
…
銷售單價x（元/件）
12
18
日銷售量y（件）
16
4
x（元/件）
12
13
14
15
y（件）
1000
900
800
700

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初中數(shù)學人教版九年級上冊電子課本

22.1.1 二次函數(shù)

版本： 人教版

年級： 九年級上冊

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