1.會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.
2.靈活應(yīng)用三點(diǎn)式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式.
用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式
已知一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（-2，-12），求這個一次函數(shù)的解析式。 解：設(shè)這個一次函數(shù)的解析式為y=kx+b,因?yàn)橐淮魏瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（-2，-12）， 所以
解得 k=3，b=-6
一次函數(shù)的解析式為y=3x-6.
【思考】如何用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式呢？
問題 （1）由幾個點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定二次函數(shù)？這幾個點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件？
由兩點(diǎn)（兩點(diǎn)的連線不與坐標(biāo)軸平行）的坐標(biāo)，可以確定一次函數(shù)的解析式，類似地，由不共線（三點(diǎn)不在同一直線上）的坐標(biāo)，可以確定二次函數(shù)的解析式.
（2）如果一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（?1，10 ），（1，4），（2，7）三點(diǎn)，能求出這個二次函數(shù)的解析式嗎？如果能，求出這個二次函數(shù)的解析式.
所求二次函數(shù)解析式為y=2x2?3x+5.
（2）解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c.
由已知，圖象經(jīng)過(?1，10 )，(1，4)，(2，7)三點(diǎn)，得關(guān)于a，b，c的三元一次方程組
想一想確定二次函數(shù)的這三點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件？
任意三點(diǎn)不在同一直線上（其中兩點(diǎn)的連線可平行于x軸，但不可以平行于y軸）.
例1 已知一個二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三點(diǎn)，求這個函數(shù)的解析式.
解：設(shè)所求拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c.∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0), B(4，5), C(0，-3).∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3.∴拋物線的解析式為y＝x2-2x-3.
這種已知三點(diǎn)求二次函數(shù)表達(dá)式的方法叫做一般式法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c；②代入后得到一個三元一次方程組；③解方程組得到a，b，c的值；④把待定系數(shù)用數(shù)字換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.
用一般式法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法
已知一個二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三點(diǎn)，求這個函數(shù)的解析式.
第一步:設(shè)出解析式的形式；第二步:代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)；第三步:解方程組。
解：設(shè)所求拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c.∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,0), B(-1,-1), C(1,9).∴ 解得a＝4，b＝5，c＝0.∴拋物線的解析式為y＝4x2+5x.
0=c-1=a-b+c9=a+b+c
已知二次函數(shù)y=a(x?1)2+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)(?1，0)．求這個二次函數(shù)的解析式；
則函數(shù)解析式為y=?(x?1)2+4.
解：把（?1，0）代入二次函數(shù)解析式 得4a+4=0，
例2 已知拋物線頂點(diǎn)為(1,-4)，且又過點(diǎn)(2,-3)，求其解析式.解：∵拋物線頂點(diǎn)為(1,-4) ∴設(shè)其解析式為y=a(x-1)2-4， 又拋物線過點(diǎn)(2,-3)， 則-3=a(2-1)2-4，則a=1. ∴其解析式為y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
用頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的方法
這種知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求表達(dá)式的方法叫做頂點(diǎn)法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(x?h)2+k；②先代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.
3. 已知一個二次函數(shù)有最大值4．且x＞5時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＜5時，y隨x的增大而增大，且該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，1)，求該函數(shù)的解析式．
解：由題意得，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4），
設(shè)關(guān)系式為y=a(x?5)2+4，把(2，1)代入得，1=9a+4，
解：∵(?3，0)、(?1，0)是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn).所以可設(shè)這個二次函數(shù)的表達(dá)式是y=a(x?x1)(x?x2).其中x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把點(diǎn)（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=?3，
∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-(x+3)(x+1),即y=?x2?4x?3.
問題 選取(?3，0)，(?1，0)，(0，?3)，試求出這個二次函數(shù)的表達(dá)式.
用交點(diǎn)法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法
這種知道拋物線與x軸的交點(diǎn)，求表達(dá)式的方法叫做交點(diǎn)法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(x?x1)(x?x2)；②先把兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1， x2代入到表達(dá)式中，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將方程的解代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.
例3 分別求出滿足下列條件的二次函數(shù)的解析式．（1）圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B(0，?3)，對稱軸是直線x=2；
解：∵圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，對稱軸是直線x=2，
∴圖象經(jīng)過另一點(diǎn)(3，0).
∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=a(x?1)(x?3).
將點(diǎn)(0，?3)代入，得
?3=a·(?1)(?3)
∴該二次函數(shù)的解析式為y=?(x?1)(x?3)=?x2+4x?3.
（2）圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是(?2，3)，且過點(diǎn)(1，?3)；
解：∵圖象的頂點(diǎn)為(?2，3)，且經(jīng)過點(diǎn)(1，?3)，
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)2+3，
把(1，?3)代入，得a(1+2)2+3=?3，
（3）如圖，圖象經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．
解：根據(jù)圖象可知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(?1，0)，B(0，?3)，C(4，5)三點(diǎn)，
∴拋物線的解析式為y=x2?2x?3.
已知拋物線與x軸交于A（－1，0），B（1,0）并經(jīng)過點(diǎn)M（0,1），求拋物線的解析式.
因此所求的拋物線解析式為
解: ∵圖象與x軸交于A(-1,0)，B(1,0) ∴設(shè)函數(shù)解析式為y＝a(x+1)(x-1) ∵圖象過點(diǎn)M(0,1) ∴1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1. ∴二次函數(shù)解析式為y=-1(x+1)(x-1)
1．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx，閱讀下面的表格信息，由此可知y與x的函數(shù)表達(dá)式是________．
2.一拋物線和拋物線y＝－2x2的形狀相同，開口方向也相同，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，3)，則該拋物線的表達(dá)式為(　　)A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3
4．若二次函數(shù)y＝x2＋bx＋5，配方后為y＝(x－3)2＋k，則b與k的值分別為(　　)A．－6，－4 B．－6，4 C．6，4 D．6，－4
*6.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝－1，則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為(　　)A．y＝－x2＋2x＋3B．y＝x2＋2x＋3C．y＝－x2＋2x－3D．y＝－x2－2x＋3
7．小王利用計算機(jī)設(shè)計了一個計算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：若輸入的數(shù)是x時，輸出的數(shù)是y，y是x的二次函數(shù)，則y與x的表達(dá)式為____________．
1.已知二次函數(shù)的圖象以A（﹣1，4）為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)B（2，﹣5），求該函數(shù)的關(guān)系式.
解：設(shè)拋物線頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）2+4將B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴該函數(shù)的解析式為：y=﹣（x+1）2+4 y=﹣x2﹣2x+3
2．【2020·寧波】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋4x－3圖象的頂點(diǎn)是A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，0)．
(1)求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y＞0時x的取值范圍；
解：把B(1，0)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴A(2，1)，∵對稱軸為直線x＝2，點(diǎn)B、C關(guān)于直線x＝2對稱，∴C(3，0)，∴當(dāng)y＞0時，1＜x＜3.
(2)平移該二次函數(shù)的圖象，使點(diǎn)D恰好落在點(diǎn)A的位置上，求平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．
解：易知D(0，－3)，∴點(diǎn)D平移到A，拋物線向右平移2個單位長度，向上平移4個單位長度，可得拋物線的表達(dá)式為y＝－(x－4)2＋5.
3．【菏澤中考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋2過B(－2，6)，C(2，2)兩點(diǎn)．
(1)試求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)記拋物線的頂點(diǎn)為D，求△BCD的面積；
如圖，由B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)易得直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x＋4，作拋物線的對稱軸，交BC于點(diǎn)H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1，3)．
②已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸、最值
③已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)
用一般式法：y=ax2+bx+c
用頂點(diǎn)法：y=a(x?h)2+k
用交點(diǎn)法：y=a(x?x1)(x?x2) (x1，x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo))
待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

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