初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)22.1.1 二次函數(shù)精品第2課時(shí)同步訓(xùn)練題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?22.1.4用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（第2課時(shí) ）（作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）
【夯實(shí)基礎(chǔ)】
一、填空題
1．（2022·北京·人大附中九年級(jí)階段練習(xí)）寫出一個(gè)對(duì)稱軸為y軸，且過的二次函數(shù)的解析式______．
【答案】（答不唯一）
【分析】對(duì)稱軸為y軸，則一次項(xiàng)系數(shù)為0，經(jīng)過點(diǎn)（0，-2）即常項(xiàng)數(shù)為-2，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：由題意得，滿足題意的二次函數(shù)解析式可以為，
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解對(duì)稱軸為y軸，則一次項(xiàng)系數(shù)為0，經(jīng)過點(diǎn)（0，-2）即常項(xiàng)數(shù)為-2是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖北襄陽·九年級(jí)期末）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是________．（只需寫一個(gè)）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向上，可得，再由頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即可求解
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向上，
∴二次函數(shù)中，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是
故答案為：（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握拋物線的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)（3，a）在拋物線y=-2x2+2x上，則______．
【答案】-12
【分析】把點(diǎn)（3，a）代入解析式即可求得a的值．
【詳解】解：∵點(diǎn)（3，a）在拋物線y=-2x2+2x上，
∴a=-2×32+2×3=-18+6=-12，
故答案為：-12．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)適合解析式是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·福建·福州立志中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）將一個(gè)拋物線沿x軸的正方向平移1個(gè)單位后能與拋物線重合，則這個(gè)拋物線的解析式是_________．
【答案】
【分析】將一個(gè)拋物線沿x軸的正方向平移1個(gè)單位后能與拋物線重合，可理解為把拋物線沿x軸的負(fù)方向平移1個(gè)單位，從而可解決問題．
【詳解】解：∵
∴把向左平移1個(gè)單位后對(duì)應(yīng)的解析式為：
∴把向右平移1個(gè)單位后得到，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線的平移，掌握“拋物線的平移規(guī)律”是解本題的關(guān)鍵．
二、解答題
5．（2022·廣東·湛江一中九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求拋物線的解析式．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為：，再將點(diǎn)(0，-2)代入，求出a的值，最后改為一般式即可．
【詳解】∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3，0)，(-1，0)，
故可設(shè)該拋物線的解析式為：，
∵該拋物線又經(jīng)過點(diǎn)(0，-2)，
∴
解得：
∴該拋物線的解析式為：
整理，得：．
【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線解析式．掌握交點(diǎn)式和利用待定系數(shù)法求解析式是解題關(guān)鍵．
6．（2022·浙江麗水·一模）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式．
(2)點(diǎn)是拋物線上不同的兩點(diǎn)．
①若，求之間的數(shù)量關(guān)系．
②若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②最小值為
【分析】（1）將A，B兩點(diǎn)代入解析式解得即可；（2）①若，則，化簡即可得到的關(guān)系；②代入化簡成頂點(diǎn)式即可得到最小值．
(1)
拋物線與x軸相交于點(diǎn)
解得
；
(2)
①點(diǎn)是拋物線上不同的兩點(diǎn)．

若，則．

；
②
==，
當(dāng)=1時(shí)，的最小值為-2．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)和最值問題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·福建·莆田二中九年級(jí)階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線圖像恰好經(jīng)過A（2，﹣9），B（4，﹣5）兩點(diǎn)，求該拋物線解析式．
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法解答，即可求解．
【詳解】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入，得：
，
解得：，
所以該拋物線解析式為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）根據(jù)下列條件分別求二次函數(shù)的表達(dá)式．
(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣2，﹣1)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值2．
(2)已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝1，與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)(0，﹣1)，(﹣1，0)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，有最大值是2，得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式方程，將（）代入求出a的值，即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）已知拋物線的對(duì)稱軸，可以設(shè)出函數(shù)的解析式為，把（），（）代入函數(shù)解析式即可求得函數(shù)解析式．
（1）
解：由二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，有最大值是2，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），
設(shè)二次函數(shù)解析式為（a≠0），
將點(diǎn)（）代入得：，
解得：，
則二次函數(shù)解析式為．
（2）
設(shè)函數(shù)的解析式是，根據(jù)題意得：
，
解得：．
則函數(shù)的解析式是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)條件正確設(shè)出函數(shù)的解析式形式是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·云南·會(huì)澤縣以禮中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），求b，c的值．
【答案】b=2，c=2
【分析】根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線解析式將頂點(diǎn)式推出，再化簡為一般式，即可求解
【詳解】解：∵拋物線y=-x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
∴頂點(diǎn)式為：，
∵y=，
∴b=2，c=2
【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）求出頂點(diǎn)式．
10．（2022·吉林·安圖縣第三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸的交點(diǎn)為(1，0)，與y軸交點(diǎn)為(0，-2)．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若將該拋物線平移后經(jīng)過原點(diǎn)，直接寫出平移后的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（至少寫出2個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式）．
【答案】(1)
(2)；（答案不唯一）

【分析】（1）根據(jù)題意運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出解析式；
（2）根據(jù)題意分類討論經(jīng)過原點(diǎn)的情況時(shí)即可．
（1）
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為(1，0)，與y軸交點(diǎn)為(0，-2)，
∴，
解得，
∴該拋物線的解析式為；
（2）
①當(dāng)拋物線最高點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，
將拋物線向左平移1個(gè)單位，則可得；
②當(dāng)拋物線的左邊一點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，
將拋物線向上平移兩個(gè)單位，則可得．
綜上所述經(jīng)過原點(diǎn)的解析式為：；（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是當(dāng)二次函數(shù)平移時(shí)要將式子變?yōu)轫旤c(diǎn)式，且熟知平移規(guī)則：沿x軸平移，左加右減；沿y軸平移，上加下減．
11．（2022·吉林·安圖縣第三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于（-1，0），(3，0)兩點(diǎn)，且圖象過點(diǎn)(0，3)，
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(2)寫出它的開口方向、對(duì)稱軸
【答案】(1)
(2)開口向下，對(duì)稱軸為直線

【分析】（1）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為，然后把點(diǎn)(0，3)代入，即可求解；
（2）把二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解．
（1）
解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為，
把點(diǎn)(0，3)代入得：，
解得：，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為；
（2）
解：∵，
∴二次函數(shù)開口向下，
∵，
∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線．
【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
12．（2022·吉林·南陽市第十九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù) 圖像的頂點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)已知點(diǎn)，點(diǎn) ．若原二次函數(shù)圖像向下平移個(gè)單位，與線段有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及交點(diǎn)坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出答案；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像，頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn) ，點(diǎn) 的坐標(biāo)，即可求出答案．
（1）
解：二次函數(shù) ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），即橫坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)是，且當(dāng) ，，
∴ ，解方程得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式是：，
故答案是：．
（2）
解：二次函數(shù)的表達(dá)式是，且頂點(diǎn)坐標(biāo)是，直線的表示為，
∴當(dāng)二次函數(shù)圖像向下平移個(gè)單位，與線段有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，；
當(dāng)二次函數(shù)圖像向下平移個(gè)單位，與線段有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，且恰好為點(diǎn) ，點(diǎn) ，
∴二次函數(shù)解析式為，將點(diǎn) ，點(diǎn) 代入得，，即平移到，
∴二次函數(shù)向下平移個(gè)單位，
∴．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像與幾何變換，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，分類討論，判斷取值范圍，掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·廣東惠州·九年級(jí)階段練習(xí)）拋物線與的形狀、開口方向都相同，且經(jīng)過(0，3)．求：
(1)該拋物線的解析式；
(2)是由拋物線經(jīng)過怎樣的平移得到的？
【答案】(1)
(2)向上平移3個(gè)單位長度得到的

【分析】（1）根據(jù)拋物線與的形狀、開口方向都相同，可得a＝-5．再把（0，3）代入，即可求解；
（2）根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)，即可求解．
（1）
解：∵拋物線與的形狀、開口方向都相同，
∴a＝-5．
∵拋物線經(jīng)過（0，3），
∴c＝3．
∴該拋物線的解析式為；
（2）
解：由（1）得：
是由拋物線向上平移3個(gè)單位長度得到的．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·內(nèi)蒙古·敕勒川實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線與直線y＝bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣2，4），B（1，1）．

(1)求兩個(gè)函數(shù)的解析式；
(2)點(diǎn)P在y軸上，且△ABP的面積是△ABO面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)，y＝﹣x+2
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6）或（0，﹣2）

【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）△ABP的面積＝，△ABO面積＝，即可求解．
（1）
解：將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，1＝a×1，解得：a＝1；
將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得，解得，
故兩個(gè)函數(shù)的解析式分別為：；
（2）
設(shè)直線y＝﹣x+2交y軸于點(diǎn)H，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，故點(diǎn)H（0，2），設(shè)點(diǎn)P（0，m），
△ABP的面積＝＝
＝××3＝；
同理△ABO面積＝＝，
∵△ABP的面積是△ABO面積的2倍，
∴＝6，解得：m＝6或﹣2，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6）或（0，﹣2）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形面積的計(jì)算，用割補(bǔ)法確定△ABP的面積是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·湖北·漢川市官備塘中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)點(diǎn)為該拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），直線將的面積分成兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）當(dāng)BH=AB=2時(shí)，CH將△ABC的面積分成2：1兩部分，即點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2，0），則CH和拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，進(jìn)而求解；
（1）
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).
∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）
由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，OB=2OA，
故CO將△ABC的面積分成2：1兩部分，此時(shí)，點(diǎn)P不在拋物線上；
如圖，設(shè)交軸于點(diǎn)

∵，
當(dāng)BH=AB=2時(shí)，CH將△ABC的面積分成2：1兩部分，
∴，
∴
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2，0），
由可得,
設(shè)過點(diǎn)C、H的直線解析式為，
∴，
解得，
直線CH的表達(dá)式為，
聯(lián)立，
解得：或（舍去），
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，-8）．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式和與幾何圖形結(jié)合的綜合，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在軸正半軸上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線在軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)菱形的邊長為______．
(2)求面積的最大值．
【答案】(1)5
(2)15

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得OC，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出BC．
（2）由（1）得出BC，然后根據(jù)三角形面積公式得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最大值．
（1）
∵頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴．
（2）
∵D是拋物線上一點(diǎn)，
∴設(shè)，
∵由（1）可得，BC∥x軸，
∴，
∵，
∴面積的最大值為15．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，菱形的性質(zhì)，三角形的面積的最值問題．
17．（2022·河北·育華中學(xué)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，n），n≠0．拋物線l的頂點(diǎn)是（1，0），并且經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（3，2），（2，﹣1），（3，﹣1）．

(1)當(dāng)拋物線l過點(diǎn)A時(shí)，求此時(shí)拋物線l的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)若存在一條新拋物線，它與拋物線l的形狀完全相同，只是開口方向相反，并且經(jīng)過點(diǎn)A和第（1）問中的點(diǎn)P，求新拋物線l′的函數(shù)關(guān)系式，并求出新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)若拋物線l經(jīng)過△ABC區(qū)域（含邊界），請(qǐng)求出n的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)，
(3)且n≠0

【分析】（1）設(shè)拋物線l解析式為，把點(diǎn)A（3，2）代入，求出a的值，即可求解；
（2）根據(jù)題意可設(shè)新拋物線的解析式為，把點(diǎn)A和第（1）問中的點(diǎn)P代入，求出b，c，即可求解；
（3）根據(jù)題意，求出拋物線l過點(diǎn)A和點(diǎn)B時(shí)解析式，即可求解．
（1）
解：設(shè)拋物線解析式為，
把點(diǎn)A（3，2）代入得：，
解得：，
∴此時(shí)拋物線l的函數(shù)關(guān)系式為，
當(dāng)x=0時(shí)，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（2）
解：∵新拋物線與拋物線l的形狀完全相同，只是開口方向相反，
∴可設(shè)新拋物線的解析式為，
∵并且經(jīng)過點(diǎn)A和第（1）問中的點(diǎn)P，
∴，解得：，
∴新拋物線l′的函數(shù)關(guān)系式為，
∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
（3）
解：設(shè)拋物線解析式為，
由（1）得：當(dāng)時(shí)，拋物線l過點(diǎn)A，
當(dāng)拋物線l過點(diǎn)B（2，﹣1）時(shí)，，
解得：a=-1，
此時(shí)拋物線l解析式為，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，
∴此時(shí)點(diǎn)P（0，-1），
∴此時(shí)n=-1，
∴ 當(dāng)且n≠0時(shí)，拋物線l經(jīng)過△ABC區(qū)域（含邊界）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．

(1)求此拋物線的解析式和對(duì)稱軸．
(2)在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的周長最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；對(duì)稱軸為x＝
(2)存在，P的坐標(biāo)為（，﹣）

【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；
（2）連接PB，由拋物線的對(duì)稱性得：PA＝PB，可得
（1）
解：設(shè)該拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，
∵該拋物線過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：

解得：???
∴此拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．
∵拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2＝﹣
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝．
（2）
解：存在，理由如下：
連接PB
由拋物線的對(duì)稱性得：PA＝PB
∴△PAC的周長PA+PC+AC＝PB+PC+AC，
∴當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PC最小，
即當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，△PAC的周長最小，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，

將點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，﹣2）代入，
得，解得：，
即直線BC的解析式為y＝x﹣2．
令x＝，則有y＝﹣2＝﹣，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．
∴在此拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使△PAC的周長最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．解答下列問題．

(1)求拋物線的解析式；
(2)拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為，求線段的長；
(3)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)使的面積等于6？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或

【分析】（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；
（2）先把拋物線解析式配方成頂點(diǎn)式得對(duì)稱軸為直線和點(diǎn)，再由對(duì)稱性求得，即可求得的長；
（3）設(shè)點(diǎn)，由，解得：，即可求解．
（1）
解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式是．
（2）
∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為：，頂點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）
存在，理由如下：
設(shè)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∵，，
∴，
∵的面積等于6，
∴，
∴，
①當(dāng)時(shí)，解得，；
②當(dāng)時(shí)，解得，．
∴存在點(diǎn)使的面積等于6．點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解—元二次方程，其中第（3）問要注意分類求解，避免遺漏．

【能力提升】
一、解答題
1．（2022·福建省福州第十九中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線y=x+1交于點(diǎn)A、C．且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AC距離的最大值；
(3)若點(diǎn)E是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使以A，C，E，F(xiàn)為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)（4，5）
(2)
(3)存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-3）或（6，21）或（-4，21）

【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出c的值，聯(lián)立直線y=x+1即可求解；
（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸交AC于點(diǎn)M，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)P到直線AC的距離最大，運(yùn)用待定系數(shù)法求直線AC解析式為y=x+5，設(shè)P（m，）（-1＜m＜5），則M（m，m+1），求得PM，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值，根據(jù)勾股定理求出AC，利用三角形的面積公式求解即可；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)AE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分別求解即可．
（1）
解：∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線的圖象上，
∴0=1+2+c，
∴c=-3，
∴拋物線為，
聯(lián)立直線y=x+1得，
解得或，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，5）；
（2）
解：過點(diǎn)P作PM⊥x軸交AC于點(diǎn)M，如圖：

設(shè)P（m，）（-1＜m＜5），則M（m，m+1），
∴，
∴，
∴當(dāng)m=時(shí)，最大為，
∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（4，5），
∴AC=，
設(shè)點(diǎn)P到直線AC的距離為h，
∴，
∴h=，
∴點(diǎn)P到直線AC距離的最大值為；
（3）
解：存在，理由如下：
∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，n），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，），
分三種情況：
①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
-1+4=1+x，
解得x=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-3）；
②當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
-1+1=x+4，
解得x=-4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4，21）；
③當(dāng)AE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
-1+x=4+1，
解得x=6，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，21）；
綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-3）或（-4，21）或（6，21）．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）已知拋物線（）經(jīng)過點(diǎn)（，0）．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)直線l交拋物線于點(diǎn)A（，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點(diǎn)P在拋物線上且在直線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），求出點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為
(2)

【分析】（1）將點(diǎn)（-2，0）代入求解；
（2）分別求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，根據(jù)圖像開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)求解．
（1）
解：把（-2，0）代入，
可得，
解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
∵，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）
把代入，
可得，
∴，
把代入函數(shù)解析式得，
解得或，
∴或，
∵n為正數(shù)，
∴，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，
∵拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線頂點(diǎn)在下方，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
3．（2022·云南·會(huì)澤縣以禮中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）

(1)求拋物線的解析式．
(2)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，求AD+CD的最小值．
(3)點(diǎn)P是直線BC上方的點(diǎn)，連接CP，BP，若△BCP的面積等于3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；
（2）連接BD，根據(jù)二次函數(shù)的的對(duì)稱性可得AD=BD，可得到當(dāng)點(diǎn)B，D，C三點(diǎn)共線時(shí)，AD+CD的值最小，最小值等于BC的長，利用勾股定理求出BC，即可求解；
（3）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，先求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，可得，再根據(jù)△BCP的面積等于3，列出方程，即可求解．
（1）
解：把點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）
如圖，連接BD，
∵點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD≥BC，
∴當(dāng)點(diǎn)B，D，C三點(diǎn)共線時(shí)，AD+CD的值最小，最小值等于BC的長，
∵點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，4），
∴OB=OC=4，
∴；

（3）
解：如圖，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，
設(shè)直線BC的解析式為，
把點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴直線BC的解析式為，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
∴，
∵△BCP的面積等于3，
∴，
解得：m=1或3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·甘肅·武威第九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A(﹣4，0)，B(2，0)，并過點(diǎn)C(﹣2，﹣2)，與y軸交于點(diǎn)D．

(1)求出拋物線的解析式；
(2)求出△ABD的面積；
(3)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)E，使BE+DE的值最小，如果有，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果沒有，說明理由．
【答案】(1)y＝
(2)△ABD的面積為6
(3)存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1，﹣)

【分析】（1）利用待定系數(shù)法將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組即可求得結(jié)論；
（2）利用拋物線解析式求得點(diǎn)D坐標(biāo)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段OA，OB，OD的長度，根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論；
（3）連接AD交對(duì)稱軸于點(diǎn)E，則此時(shí)BD+BE最?。环謩e求得對(duì)稱軸方程和直線AD的解析式，聯(lián)立后解方程組即可求得點(diǎn)E坐標(biāo)．
（1）
∵物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），
∴，
解得：．
∴拋物線的解析式為y＝．
（2）
令x＝0，則y＝﹣2，
∴D（0，﹣2）．
∴OD＝2．
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝OA+OB＝6．
∴AB?AD＝×6×2＝6．
∴△ABD的面積為6．
（3）
在拋物線對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)E，使BE+DE的值最小，理由：
∵y＝＝＝，
∴拋物線y＝的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．
連接AD交對(duì)稱軸于點(diǎn)E，則此時(shí)BD+BE最小，如圖，

設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+m，由題意得：
，
解得：．
∴直線AD的解析式為y＝﹣x﹣2．
∴．
解得：．
∴E（﹣1，﹣）．
∴拋物線對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)E，使BE+DE的值最小，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，﹣）
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)在拋物對(duì)稱軸上找一點(diǎn)D，使∠DCB＝∠CBD，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)在直線BC找一點(diǎn)Q，使得△QOC為等腰三角形，寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法，將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求得拋物線解析式；
（2）由題意可知，D點(diǎn)在線段BC的垂直平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)上，根據(jù)B、C坐標(biāo)求出BC所在直線解析式為：，E點(diǎn)坐標(biāo)為：，進(jìn)而求得DE所在直線解析式為：，將x=1代入解析式，即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由于Q點(diǎn)在直線BC上，所以設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m-3），由此可以表示出OC=3，，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況進(jìn)行討論，即可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）
解：由題意得，將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得：，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為：；
（2）
∵∠DCB＝∠CBD，
∴D點(diǎn)在線段BC的垂直平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)上，垂直平分線交BC于點(diǎn)E，如圖所示，連接DB、DC，

則E點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)BC所在直線解析式為：，
將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得：，
解得：，
∴BC所在直線解析式為：，
則，設(shè)DE所在直線解析式：，
將E點(diǎn)坐標(biāo)代入得：n=0，
∴DE所在直線解析式為：，
∵拋物線對(duì)稱軸為：x=1，
∴x=1時(shí)，，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：；
（3）
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m-3）,
∵O（0,0），C（0，-3），
∴OC=3，，，
△QOC為等腰三角形分三種情況：
①當(dāng)OC=QC時(shí)，，
解得：，
此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)OC=QO時(shí)，，
解得：m=3或m=0（舍去），
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3,0）；
③當(dāng)QC=QO時(shí)，有，
解得：，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象的綜合運(yùn)用，數(shù)形結(jié)合是解本題的主要思想，注意等腰三角形求解時(shí)需要進(jìn)行多種情況討論．
6．（2022·福建·莆田二中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示拋物線y＝a+bx+c由拋物線y＝﹣x+1沿對(duì)稱軸向下平移3個(gè)單位得到，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C，直線y＝kx+b過B、C兩點(diǎn)．

(1)寫出平移后的新拋物線y＝a+bx+c的解析式；并寫出a+bx+c＞kx+b時(shí)x的取值范圍．
(2)點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POC，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POC為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC的面積最大？求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PBC的最大面積．
【答案】(1)y=-x-2
(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，-1)
(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，-2)，△PBC的最大面積為1

【分析】（1）由圖象平移的性質(zhì)即可求解；
（2）當(dāng)四邊形POC為菱形，則點(diǎn)P在OC的中垂線上，進(jìn)而求解．
（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)D，設(shè)P(x，-x-2)，先求出B、C的坐標(biāo)，根據(jù)列出x的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)以及面積最大值．
（1）
解：由圖象平移的性質(zhì)得：y=-x+1-3=-x-2；
（2）
解：存在，理由：如圖，

對(duì)于y=-x-2，令x=0，則y=2，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，-2)，即OC=2，
當(dāng)四邊形POC為菱形，則點(diǎn)P在OC的中垂線上，
則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-×OC=-1，
當(dāng)y=-1時(shí)，即y=-x-2=-1，解得x=或x=(不符合題意，舍去)，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，-1)．
（3）
解：過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)D，

設(shè)P(x，-x-2)，
∵點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，
∴PD=-+x+2，
對(duì)于拋物線y=-x-2，
當(dāng)y=0時(shí)，-x-2=0，
解得：，，
∴B(2，0)，
由(2)知：C(0，-2)，
∴
=
=-+2x
=
當(dāng)x=1時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積為1，
把x=1代入拋物線解析式，得y=-2，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，-2)．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到拋物線的圖象和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度不大．
7．（2022·浙江·舟山市普陀第二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝﹣（x＋4）2，將此函數(shù)的圖像向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度．

(1)請(qǐng)寫出平移后圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出平移后的圖像；
(3)根據(jù)所畫的函數(shù)圖像，寫出當(dāng)y＜0時(shí)x的取值范圍．
【答案】(1)拋物線y＝﹣（x+4）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣4，0）
(2)見解析
(3)x＞1或x＜﹣3

【分析】（1）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)減，向上平移縱坐標(biāo)加平移后求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出拋物線解析式即可；
（2）把原拋物線向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度即可得；
（3）根據(jù)函數(shù)圖像即可得．
（1）
解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣4，0），
此函數(shù)的圖像向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，2），
則平移后拋物線的解析式為；
（2）
解：平移后的拋物線如圖所示：

（3）
解：由（2）中的圖示知，當(dāng)y＜0時(shí)，x＞1或x＜﹣3．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
8．（2022·四川·渠縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（a≠0）經(jīng)過原點(diǎn)，并交x軸正半軸于點(diǎn)A.已知OA=6，且方程恰好有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若將圖象在x軸及其上方的部分向右平移m個(gè)單位交于點(diǎn)P，B，是該圖象兩個(gè)頂點(diǎn)，若恰好為等腰直角三角形，求m的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先求出，代入拋物線的解析式可得，從而可得，再利用一元二次方程根的判別式可得，據(jù)此求出的值，由此即可得；
（2）先求出，再判斷出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，將其代入拋物線的解析式即可得．
（1）
解：，
，
將代入得：，解得，
，
方程恰好有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
這個(gè)方程根的判別式，即，
解得或（不符題意，舍去），
則拋物線的解析式為．
（2）
解：拋物線向右平移個(gè)單位后的拋物線的解析式為，
，
，
恰好為等腰直角三角形，
只能是，
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，
，
將點(diǎn)代入拋物線得：，
解得或（不符題意，舍去），
即的值為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)圖象的平移、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
9．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn).
(1)求的值；
(2)若將該拋物線向右平移個(gè)單位，求平移所得拋物線與原拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)平移所得拋物線是，交點(diǎn)坐標(biāo)為

【分析】（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)，代入即可求出答案；
（2）拋物線向右平移個(gè)單位，根據(jù)拋物線水平方向移動(dòng)規(guī)律“左加右減，上加下減”即可求出平移所得拋物線，兩條拋物線聯(lián)立方程即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）
解：根據(jù)題意得，，
故．
（2）
解：拋物線解析式是，將該拋物線向右平移個(gè)單位，
∴平移后拋物線解析式是，
故平移后拋物線解析式是，
兩條拋物線的交點(diǎn)得，
∴，解方程組得，，
故交點(diǎn)坐標(biāo)是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的幾何變換，理解和掌握函數(shù)待定系數(shù)法求解析式，函數(shù)平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·廣東·華南師大附中模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)：與軸交于A，兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)．

(1)寫出二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)二次函數(shù)：．
①寫出二次函數(shù)與二次函數(shù)有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；
②若直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，問線段的長度是否發(fā)生變化如果不會(huì)，請(qǐng)求出的長度；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)答案見解析
(2)①對(duì)稱軸都為直線x=2或頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2；都經(jīng)過A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)（答案不唯一）；②線段EF的長度不會(huì)發(fā)生變化，值為6．

【分析】（1）將：x變?yōu)轫旤c(diǎn)式即可判斷；
（2）①根據(jù)二次函數(shù)與有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)求解即可；
②根據(jù)已知條件列式，求出定值即可證明．
（1）
∵：x=，
∴二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為x=2，頂點(diǎn)為(2，-1)；
（2）
①二次函數(shù)與有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)：
（I）對(duì)稱軸都為直線x=2或頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2；
（II）都經(jīng)過A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)；
②線段EF的長度不會(huì)發(fā)生變化．
∵直線y=8k與拋物線交于E、F兩點(diǎn)，
∴，
∵k≠0，
∴，
∴，
∴EF=，
∴線段EF的長度不會(huì)發(fā)生變化．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．
11．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）拋物線交軸于，兩點(diǎn)在的左邊），交軸于，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)，AC為邊的的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
(3)如圖2，為直線上方的拋物線上一點(diǎn)，y軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，求的最大值；
【答案】(1)
(2)（，）或（，）
(3)

【分析】（1）利用直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，先求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）分AN為平行四邊形的邊和對(duì)角線討論即可得出答案
（3）根據(jù)表達(dá)式，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，，用含的代數(shù)式分別表達(dá)出線段、，轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)，再求的最大值及點(diǎn)坐標(biāo)；
（1）
解：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，；
，，
點(diǎn)，在拋物線上，
，解得：，
；
（2）
當(dāng)以AC為邊時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)以AC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；
∵拋物先線的函數(shù)表達(dá)式：，
∴拋物線的對(duì)稱軸為：x=，
當(dāng)y=0時(shí)，，解得：x=-3或x=4，
∴點(diǎn)A（-3，0），
設(shè)點(diǎn)N（，n），點(diǎn)M（m，），
①當(dāng)AN為平行四邊形的邊時(shí)，AM和CN為對(duì)角線，
，解得：，
∴N（，）
②當(dāng)AM為平行四邊形的邊時(shí)，AN和CM為對(duì)角線，
，解得：
∴N（，），
綜上：點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（，）或（，）．
（3）
如圖1，連接，延長交軸于，
軸，
軸，

設(shè)，，
，
，且，，，
，
，
，
∵，
∴，

當(dāng)時(shí)，有最大值是，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖是一個(gè)二次函數(shù)的圖象，頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，且過點(diǎn)A(2，1)．

(1)求出二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請(qǐng)用整數(shù)n表示這條拋物線上所有的整點(diǎn)坐標(biāo)．
(3)過y軸的正半軸上一點(diǎn)C(0，c)作AO的平行線交拋物線于點(diǎn)B，如果點(diǎn)B是整點(diǎn)，求證：OAB的面積是偶數(shù)．
【答案】(1)
(2)，其中n為整數(shù)
(3)見解析

【分析】（1）可設(shè)拋物線的解析式為，然后只需把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可解決問題；
（2）由拋物線的解析式可知，要使y是整數(shù)，只需x是偶數(shù)，故x可用2n表示（n為整數(shù)），由此就可解決問題；
（3）運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式，然后根據(jù)兩直線平行一次項(xiàng)的系數(shù)相同，可得到直線BC的函數(shù)表達(dá)式；由于點(diǎn)B是整點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為，代入直線BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根據(jù)平行等積法可得，由于與是相鄰整數(shù)，必然一奇一偶，因而是偶數(shù)，問題得以解決．
（1）
解：∵二次函數(shù)的圖象，頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，且過點(diǎn)A(2，1)，
設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入得，
，
解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）
解：∵拋物線的解析式為，
∴拋物線上整點(diǎn)坐標(biāo)可表示為，其中n為整數(shù)
（3）
證明：設(shè)直線OA的解析式為把點(diǎn)A（2，1）代入y=kx,得
1=2k,
解得k=，
∴直線OA的解析式為,
∴過點(diǎn)C（0，c）與直線OA平行的直線的解析式為；
∵點(diǎn)B是整點(diǎn)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為，其中n為整數(shù)，
把B代入,得

∴．
∵，
∴，
∵為整數(shù)，
∴與一奇一偶，
∴是偶數(shù)，
即△OAB的面積是偶數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求直線與拋物線的解析式、兩直線平行問題、直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行等積法、奇數(shù)與偶數(shù)等知識(shí)，運(yùn)用平行等積法是解決第（3）小題的關(guān)鍵．
13．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知拋物線與x軸有公共點(diǎn)．

(1)當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求自變量x的取值范圍；
(2)將拋物線先向上平移4個(gè)單位長度，再向右平移n個(gè)單位長度得到拋物線（如圖所示），拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．當(dāng)OC＝OA時(shí)，求n的值；
(3)D為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)C作拋物線的對(duì)稱軸l的垂線，垂足為G，交拋物線于點(diǎn)E，連接BE交l于點(diǎn)F．求證：四邊形CDEF是正方形．
【答案】(1)
(2)n＝2
(3)見解析

【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸由公共點(diǎn)，可得，從而而求出的值，進(jìn)而求得拋物線對(duì)稱軸，進(jìn)一步得到結(jié)果；
（2）根據(jù)圖像平移的特征可求出平移后拋物線的解析式，根據(jù)和分別得出點(diǎn)和的坐標(biāo)，根據(jù)列出方程，進(jìn)而求的結(jié)果；
（3）從而得出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線的解析式可得出點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的解析式，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)論．
（1）
解：∵拋物線與x軸有公共點(diǎn)，
∴
∴∴．
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而增大．
（2）
解：由題意，得，
當(dāng)y＝0時(shí)，，
解得：或，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1+n，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3+n，0）．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，－n2 +2n+3），
∴n+1＝－n2+2n+3．
解得：n＝2或n＝－1（舍去）．
故n的值為2.
（3）
解：由（2）可知：拋物線C2的解析式為y＝－（x－1）2+4．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，0）
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），
拋物線C2的對(duì)稱軸是直線x＝1，

∵點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3）．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，3）．
設(shè)直線BE解析式為y＝kx+b，
∴
解得：
∴y＝x+1．
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1+1＝2．點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，2）．
∴FG＝EG＝DG＝CG＝1．
∴四邊形CDEF為矩形．
又∵CE⊥DF，
∴四邊形CDEF為正方形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，平移圖像的特征，正方形的判定，解決問題的關(guān)鍵是平移前后拋物線解析式之間的關(guān)系．
14．（2022·遼寧大連·九年級(jí)期末）拋物線y＝ax2+4（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），AB＝4，點(diǎn)P（2，1）位于第一象限．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)M在拋物線上，且使∠MAP＝45°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)將（1）中的拋物線平移，使它的頂點(diǎn)在直線y＝x+4上移動(dòng)，當(dāng)平移后的拋物線與線段AP只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)t的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；
(3)（3）拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)t的取值范圍為-3≤t＜0或．

【分析】（1）根據(jù)拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，，得，，用待定系數(shù)法即得拋物線的解析式是；
（2）當(dāng)在上方時(shí)，過作交直線于，作直線，過作于，根據(jù)，，可推得，得到，設(shè)直線為，待定系數(shù)法得直線為，從而解得，；當(dāng)在下方時(shí)，過作交直線于，過作KG//x軸，過作于，過作于，同理可得，；
（3）由平移后頂點(diǎn)在直線上，設(shè)平移后的拋物線為，把代入得：，解得或，結(jié)合函數(shù)圖象可得，把代入得：，解得或，結(jié)合函數(shù)圖象可得：．
(1)
解：拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，，
，，
把代入得：，
，
拋物線的解析式是；
(2)
當(dāng)在上方時(shí)，過作交直線于，作直線，過作于，如圖：

，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，，
，，，
，，
，
設(shè)直線為，
，
解得，
直線為，
由得：（點(diǎn)橫坐標(biāo)，舍去），，
當(dāng)時(shí)，，
，；
當(dāng)在下方時(shí)，過作交直線于，過作軸，過作于，過作于，如圖：

同理可得，
，，
，
設(shè)直線為，將，代入得：
，解得，
直線為，
由得（舍去）或，
，；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；
(3)
平移后頂點(diǎn)在直線上，
設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)為，則平移后的拋物線為，
把代入得：，解得或，如圖：

結(jié)合函數(shù)圖象可得，
把代入得：，解得或，如圖：

結(jié)合函數(shù)圖象可得：，
綜上所述，拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，還考查了數(shù)形結(jié)合、分類等數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
15．（2022·福建·福州立志中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，已知拋物線（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）且對(duì)稱軸直線，直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，m）

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P和點(diǎn)A，B不重臺(tái)），過點(diǎn)P作PE∥AD交BD于E，連接DP，當(dāng)△DPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在拋物線上對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使△MAC的周長最小，若存在，請(qǐng)求出M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸和點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），將A（-2，0），B（4，0）分別代入解析式即可；
（2）如圖1，作EF⊥x軸于F，求出AD解析式，可得到PE解析式為，設(shè)E（t，2t-8），將E（t，2t-8）代入得2t-8=-t+f，即f=3t-8，PE解析式為y=-x+3t-8，求出P點(diǎn)坐標(biāo)為（3t-8，0），列出即可求解；
（3）如圖2，由點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BC交對(duì)稱軸于M，則此時(shí)△MAC的周長最小，求得直線BC 的解析式為y=x-4，把x=1代入y=x-4得y=-3，于是得到結(jié)論．
（1）
解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）且對(duì)稱軸直線x=1，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
將A（-2，0），B（4，0）分別代入解析式得，
解得．
二次函數(shù)解析式為．
（2）
如圖1，作EF⊥x軸于F，將點(diǎn)D（2，m）代入得，，
則D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4），

設(shè)AD解析式為y=kx+b，把A（-2，0），D（2，-4）分別代入解析式得，
解得，，則函數(shù)AD解析式為．
∵，
∴設(shè)PE解析式為．
設(shè)BD解析式為y=mx+n，把B（4，0），D（2，）分別代入解析式得，
解得，，
函數(shù)BD解析式為y=2x-8．
則可設(shè)E（t，2t-8），將E（t，2t-8）代入得2t-8=-t+f，即f=3t-8，
∴PE解析式為，
當(dāng)y=0時(shí)，x=3t-8，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（3t-8，0），

當(dāng)時(shí) ，的面積最大，
此時(shí)，3t-8=3×3-8=1，得P（1，0）．??
（3）
存在，如圖2，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴連接BC交對(duì)稱軸于M，則此時(shí)△MAC的周長最小，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴直線BC 的解析式為y=x-4，
∵點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴把x=1代入y=x-4得，
∴M（1，-3）．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)求最值、軸對(duì)稱最短路徑問題，難度較大，值得關(guān)注．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多