教學(xué)基本信息
課題
9.2.2 總體百分位數(shù)的估計(jì)
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段：高中
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書 數(shù)學(xué)必修第二冊A版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 8 月
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
本節(jié)課的主要內(nèi)容是百分位數(shù)的理解與應(yīng)用.學(xué)生通過對“某市政府為實(shí)施居民生活用水階梯式水價而確定合理的標(biāo)準(zhǔn)”這一案例的繼續(xù)探究，明確百分位數(shù)的概念，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，提高數(shù)據(jù)分析的能力.共設(shè)計(jì)3道例題，學(xué)生體會各種數(shù)據(jù)形式條件下樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的計(jì)算，從而估計(jì)總體百分位數(shù)，為后續(xù)進(jìn)一步的決策提供數(shù)據(jù)支撐.
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動
設(shè)置意圖
引入
前面的學(xué)習(xí)中，我們對抽取的100戶居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理，用頻率分布表、頻率分布直方圖描述了某市居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù).
由樣本估計(jì)總體，從整體分布規(guī)律的角度，推測該市“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區(qū)域”，初步體會了統(tǒng)計(jì)中用樣本估計(jì)總體的思想.
今天我們繼續(xù)對這組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，進(jìn)一步地為政府決策服務(wù).
在前兩節(jié)課的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析的意識與能力
新課
問題：如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費(fèi)支出不受影響，根據(jù)是上節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)的建議嗎？
思考：如何理解這個問題？
分析：根據(jù)市政府的要求確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)，就是要尋找一個數(shù)，使全市居民用戶月均用水量中不超過的占80%，超過的占20%.
追問1：尋找的這個數(shù) a ，反映這組數(shù)據(jù)的什么特征？
位置參數(shù)
追問2：如何尋找全市居民用戶月均用水量某個位置的數(shù)a呢？
通過樣本數(shù)據(jù)對 a 的值進(jìn)行估計(jì).
追問3：怎么去找這個位置參數(shù)a呢？
在我們以往的學(xué)習(xí)過程中遇到過類似的問題嗎？
中位數(shù)！
追問4：100 戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)的中位數(shù)怎么找？
把100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第50個和第51個數(shù)據(jù)分別為6.4和6.8.
計(jì)算這兩個數(shù)的平均數(shù)
即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
方法小結(jié)：
求100個數(shù)據(jù)的中位數(shù)的步驟：
第一步：將原始數(shù)據(jù)按從小到大排序
第二步：計(jì)算100×1/2=50
第三步：計(jì)算第50和第51個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為這100個數(shù)據(jù)的中位數(shù)
從50%到80%，我們采用類比的方法來尋找我們需要的數(shù)a，
第一步：將原始數(shù)據(jù)按從小到大排序
第二步：計(jì)算100×80%=80，
得到第80個81個數(shù)據(jù)分別為13.6和13.8
可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間（13.6,13.8）內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.為簡單便于計(jì)算，一般地，我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)，并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，或80%分位數(shù).
方法小結(jié)：
求100個數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)的步驟：
第一步：將原始數(shù)據(jù)按從小到大排序
第二步：計(jì)算100×80%=80
第三步：計(jì)算第 80 個和第 81個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為第80 百分位數(shù)
根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，我們可以估計(jì)總體數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為13.7左右.
由于樣本數(shù)據(jù)的取值規(guī)律與總體的取值規(guī)律之間會存在偏差，而在決策問題中，只要臨界值近似為第80百分位數(shù)即可，因此為了實(shí)際中操作的方便，可以建議市政府把月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為14t，或者把年用水量標(biāo)準(zhǔn)定為168t.
思考：若這組數(shù)據(jù)共99個，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)怎么求？第80百分?jǐn)?shù)呢？
我們先回顧99個數(shù)據(jù)的中位數(shù)的求法：
第一步：將原始數(shù)據(jù)按從小到大排序
第二步：計(jì)算99×1/2=49.5
第三步：取大于49.5的最小整數(shù)50，則第50個數(shù)據(jù)即為這99個數(shù)據(jù)的中位數(shù)
應(yīng)用類比的方法
我們可以求99個數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，
第一步：將原始數(shù)據(jù)從小到大排序
第二步：計(jì)算99×80%=79.2
第三步：取大于79.2的最小整數(shù)80，則第80個數(shù)據(jù)即為這99個數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)
這樣，我們得到兩種不同情況下的第80百分位數(shù)的計(jì)算方法.
更一般地，一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的計(jì)算如下：
首先明確百分位數(shù)的定義：
一、百分位數(shù)定義：
一般地，一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
二、求原始數(shù)據(jù)的百分位數(shù)方法小結(jié)：
我們可以通過下面的步驟計(jì)算一組個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)：
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計(jì)算.
第3步，若不是整數(shù)，而大于的比鄰整數(shù)為，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；
若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
.
定義
我們在初中學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù).
在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).
另外，像第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)和第99百分位數(shù)在統(tǒng)計(jì)中也經(jīng)常被使用.
繼續(xù)對居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個案例的完整數(shù)據(jù)分析
分析理解問題的實(shí)質(zhì)
借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，采用類比的方法理解計(jì)算百分位數(shù)
進(jìn)一步體會用樣本的數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體是數(shù)據(jù)特征.
體會統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異，歸納推斷與演繹證明的差異
再次借助中位數(shù)的計(jì)算，采用類比的方法理解計(jì)算百分位數(shù)
明確百分位數(shù)的概念
從特殊到一般，總結(jié)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的方法
將舊知與新知進(jìn)行聯(lián)系，更好地建構(gòu)知識系統(tǒng).
例題
例1 根據(jù)9.1.2節(jié)問題3中女生的樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)樹人中學(xué)高一年級女生的第25,50,75百分位數(shù).
解：把27名女生的樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0
由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%x27=20.25，可知樣本數(shù)據(jù)的第25，50，75百分位數(shù)為第7，14，21項(xiàng)數(shù)據(jù)，分別為155.5，161，164.
據(jù)此可以估計(jì)樹人中學(xué)高一年級女生的第25，50，75百分位數(shù)分別約為155.5，161和164.
分組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)求解
下面我們再來探究分組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)如何求解
在某些情況下，我們只能獲得整理好的統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖，與原始數(shù)據(jù)相比，它們損失了一些信息.
例如由表9.2-1，我們知道在[16.2,19.2)內(nèi)有5個數(shù)據(jù)，但不知道這5個數(shù)據(jù)具體是多少.此時，我們通常把它們看成均勻地分布在此區(qū)間上.
例2 （1） 根據(jù)表 9.2-1 ，估計(jì)月均用水量樣本數(shù)據(jù)的第 86 百分位數(shù)，第 39 百分位數(shù).
解:由表9.2-1可知，
月均用水量在16.2t 以下的居民用戶所占比例為23%+32%+13%+9%+9%=86%，
據(jù)此，估計(jì)月均用水量樣本數(shù)據(jù)的第 86 百分位數(shù)約為 16.2.
月均用水量在4.2t以下的居民用戶所占比例為23%，
月均用水量在7.2t以下的居民用戶所占比例為23%+32%=55%，
第 39 百分位數(shù)一定位于[4.2,7.2)區(qū)間內(nèi).
3×1/2=1.5 4.2+1.5=5.7
據(jù)此，估計(jì)月均用水量樣本數(shù)據(jù)的第 39 百分位數(shù)約為5.7
例2（2）繼續(xù)根據(jù)表 9.2-1 ，估計(jì)月均用水量樣本數(shù)據(jù)的第 80 百分位數(shù)，第 95 百分位數(shù).
解析：根據(jù)頻率分布表，月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為
23%+32%+13%-9%=77%
在16.2t以下的居民用戶所占的比例為77%+9%=86%
因此，80%分位數(shù)一定位于[13.2,16.2)內(nèi).
由
可以估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為14.2
類似地,由
可以估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的95%分位數(shù)約為22.95

方法小結(jié)：
根據(jù)頻率分布表求百分位數(shù)的方法與步驟：
第1步，計(jì)算各小組的累計(jì)頻率
第2步，確定第p百分位數(shù)所在小組區(qū)間
第3步，按比例計(jì)算出不足頻率部分對應(yīng)的區(qū)間長度
第4步，計(jì)算得出第p百分位數(shù)
練習(xí)1：
根據(jù)圖 9.2-1 ，估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的 80% 分位數(shù).
解析：根據(jù)圖9.2-1得：0.077×3=0.231，0.107×3=0.321，
0.231+0.321=0.552, 0.043×3=0.129，
0.030×3=0.09，0.030×3=0.09，……
月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為
月均用水量在 16.2t 以下的居民用戶所占比例為 0.771+0.09=0.861
因此，第 80 百分位數(shù)一定位于[13.2,16.2)區(qū)間內(nèi).
由
可以估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的 80% 分位數(shù)約為14.2.
對比分析：
原始數(shù)據(jù)
頻率分布表
頻率分布直方圖
13.7
14.2
14.2
依據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算的第 80 百分位數(shù)為13.7，依據(jù)頻率分布表或頻率分布直方圖計(jì)算的第 80 百分位數(shù)為14.2，稍有差異，但相差不大.
練習(xí)2：
根據(jù)圖 9.2-1 ，估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的 60% 分位數(shù).
解析：根據(jù)圖9.2-1得：0.077×3=0.231，0.107×3=0.321，
0.043×3=0.129，……
月均用水量在7.2t以下的居民用戶所占比例為 0.231+0.321=0.552,
月均用水量在 16.2t 以下的居民用戶所占比例為 0.552+0.129=0.681
因此，第 60 百分位數(shù)一定位于[7.2,10.2)區(qū)間內(nèi).
由
可以估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的60% 分位數(shù)約為8.32.
練習(xí)3：
為了分析某校高一年級數(shù)學(xué)期末測試成績情況，抽取了50名同學(xué)的測試成績?nèi)缦拢?br>37
45
54
56
64
76
82
89
93
95
96
99
103
104
104
105
105
108
108
110
110
115
115
116
119
120
120
122
122
122
123
124
125
125
126
127
129
129
129
130
130
131
132
132
132
134
137
138
141
145
估計(jì)該校高一數(shù)學(xué)期末測試成績的第 5, 50, 95 百分位數(shù).
解：把這 50 個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，
50×5%=2.5
所以樣本數(shù)據(jù)的第 5 百分位數(shù)為第 3 項(xiàng)數(shù)據(jù) 54.
據(jù)此估計(jì)該校高一數(shù)學(xué)期末測試成績的第 5 百分位數(shù)約為 54.
同樣地，計(jì)算第50百分位數(shù)，50×50%=25，樣本數(shù)據(jù)的第25個數(shù)據(jù)是119，第26個數(shù)是120，所以樣本數(shù)據(jù)的第 50 百分位數(shù)為第 25、26 項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù) 119.5.
據(jù)此估計(jì)該校高一數(shù)學(xué)期末測試成績的第 50 百分位數(shù)約為 119.5.
計(jì)算第95百分位數(shù)，50×95%=47.5，所以樣本數(shù)據(jù)的第 95 百分位數(shù)為第 48 項(xiàng)數(shù)據(jù) 138.
據(jù)此估計(jì)該校高一數(shù)學(xué)期末測試成績的第 95 百分位數(shù)約為 138.
通過對例1的分析求解，熟練掌握求一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的方法與步驟
通過對例2的分析求解，體會根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)的方法與步驟
小結(jié)根據(jù)頻率分布表求分組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的方法
分析頻率分布表與頻率分布直方圖的聯(lián)系與差異
將原始數(shù)據(jù)根據(jù)和根據(jù)分組數(shù)據(jù)（統(tǒng)計(jì)圖表）求得的百分位數(shù)進(jìn)行比較，體會“用數(shù)據(jù)說話”
總結(jié)
本節(jié)課我們對階梯水價案例中的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，
重點(diǎn)學(xué)習(xí)了百分位數(shù)；
采取了類比的方法，從一般到特殊地
總結(jié)了依據(jù)原始數(shù)據(jù)、
分組數(shù)據(jù)求百分位數(shù)的方法與步驟；
并由樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)對總體百分位數(shù)進(jìn)行估計(jì)推斷，體會統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用.
回顧整理本節(jié)研究的內(nèi)容（基本知識和基本技能）、研究方法（基本思想方法）、和研究途徑（基本活動經(jīng)驗(yàn)），讓學(xué)生明確本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容和要求（四基）
作業(yè)
基礎(chǔ)作業(yè)：
（1）在居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)制定的問題中，根據(jù)教科書中的調(diào)查數(shù)據(jù)，如果要讓60%的居民不超出標(biāo)準(zhǔn)，居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為多少合適?
（2）根據(jù)樹人中學(xué)高一年級男生身高的樣本數(shù)據(jù)，請你估計(jì)樹人中學(xué)高一年級男生的第25，50，75百分位數(shù).如果要減少估計(jì)的誤差，你覺得應(yīng)該怎么做？
173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0
（3）根據(jù)圖9.2-1中的數(shù)據(jù)，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的月均用水量的第80和95百分位數(shù).
你所在的地區(qū)是采用階梯水價嗎？標(biāo)準(zhǔn)是多少？
鞏固強(qiáng)化本節(jié)課學(xué)習(xí)的百分位數(shù)的求解步驟.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

9.2 用樣本估計(jì)總體

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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