1. 如何再樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？
2. 如何計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差？
自主測(cè)評(píng)
判斷
(1)平均數(shù)不一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù).( )
(2)一個(gè)樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的.( )
(3)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等,沒有波動(dòng)變化,則標(biāo)準(zhǔn)差為0.( )
(4)標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.( )
(5)標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)越過極差.( )
(6)一般情況下數(shù)據(jù)中絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在[x-2s,x+2s]內(nèi),也有可能落在[x-2s,x+2s]外.( )
2.一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘2,再都減80,得一組新數(shù)據(jù),若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2,方差是4.4,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是( )
A.40.6,1.1 B.48.8,4.4 C.81.2,44.4 D.78.8,75.6
（二）共同探索
9.2.3 總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，_______、________和_______等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的_____趨勢(shì)，下面我們通過具體實(shí)例進(jìn)一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢(shì)估計(jì)總體的集中趨勢(shì).
與________相比較，_________反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對(duì)樣本的_______更加敏感.
眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)______的那個(gè)值的信息. 眾數(shù)只能告訴我們它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)____，但并未告訴我們它比其他數(shù)值多的______. 因此，眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)________也不敏感.
一般地，對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢(shì)的描述，可以用________、________；而對(duì)分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等)集中趨勢(shì)的描述，可以用______.
在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)，你能根據(jù)頻率分布直方圖提供的信息，給出估計(jì)方法嗎？
根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)
（1）估計(jì)樣本的平均數(shù)
因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)可以表示為______與它的______的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的________與小矩形的______的乘積之和近似代替.
（2）估計(jì)樣本的中位數(shù)
根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有______的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有______的個(gè)體大于或等于中位數(shù). 因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該______.
（3）估計(jì)樣本的眾數(shù)
根據(jù)眾數(shù)定義得，在樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)_____數(shù)據(jù)就是眾數(shù). 因此在頻率分布直方圖中，我們常常把最高直方圖底邊的______作為眾數(shù)的估計(jì)值.
9.2.4 總體離散程度的估計(jì)
假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù). 我們用每個(gè)______與_______的差的絕對(duì)值作為“距離”， 即__________作為 到的“距離”.可以得到這組數(shù)據(jù)到的“平均距離”為______________________.
為了避免式中含有絕對(duì)值，通常改用_______來代替，即
________________________________. （1）
我們稱（1）式為這組數(shù)據(jù)的________. 有時(shí)為了計(jì)算方差的方便，我們還可以把方差寫成以下形式
________________________________.
由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致。為了使二者單位一致，我們對(duì)方差開平方，取它的算術(shù)平方根，即
________________________________. （2）
我們稱（2）式為這組數(shù)據(jù)的___________.
如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為,總體平均數(shù)為，則稱
_____________________________為總體方差，_____________ 為總體標(biāo)準(zhǔn)差。與總體均值類似，總體方差也可以寫成加權(quán)的形式。如果總體的個(gè)變量值中，不同的值共有，不妨記為，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為____，則總體方差為________________________________.
如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為，樣本平均數(shù)為，則稱________________為樣本方差，_________為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.
________刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度. 標(biāo)準(zhǔn)差越____，數(shù)據(jù)的離散程度越____；標(biāo)準(zhǔn)差越____，數(shù)據(jù)的離散程度越____. 顯然，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，_____和_______是一樣的；但在實(shí)際問題中，一般多采用________.
樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動(dòng)的幅度大小，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.例如，9.2.1節(jié)中100戶居民的月用水量數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差.
,
.
如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個(gè)數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間__________內(nèi)，在區(qū)間___________外的只有7個(gè).也就是說，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在__________內(nèi).

例1 利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).
例2 某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格. 根據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級(jí)女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表所示：
如果用一個(gè)量來代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個(gè)量比較合適？試討論上表數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理性.
例3 在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62. 你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高作出估計(jì)嗎？
課堂練習(xí)
1. 根據(jù)表9.2-2中的數(shù)據(jù)，估計(jì)該市2015年全年空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和第80百分位數(shù)．（注：已知該市屬于“嚴(yán)重污染”等級(jí)的空氣質(zhì)量指數(shù)不超過400)
表9.2-2
2. 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.估計(jì)居民月均用水量的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

3. 某學(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生320人，女生180人.有人為了獲得該校全體學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測(cè)樣本的指標(biāo)值（單位：cm），計(jì)算得男生樣本的均值為173.5，方差為17，女生樣本的均值為163.83，方差為30.03.
（1）根據(jù)以上信息，能夠計(jì)算出總樣本的均值和方差嗎？為什么？
（2）如果已知男、女樣本量按比例分配，你能計(jì)算出總樣本均值和方差各位多少嗎？
（3）如果已知男、女的樣本量都是25，你能計(jì)算出總樣本的均值和方差各為多少嗎？它們分別作為總體均值和方差的估計(jì)合適嗎？為什么？
課堂總結(jié)
1. 用樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；
2. 方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算.
2024—2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（41）
9.2 用樣本估計(jì)總體（2）

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