教學(xué)基本信息
課題
總體離散程度的估計(jì)（一）
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段： 高中
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書 數(shù)學(xué)必修第二冊A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年 8 月
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差)．
2．會求樣本數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差．
3．理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義. 通過對總體離散程度的估計(jì)的學(xué)習(xí)，強(qiáng)化“數(shù)學(xué)抽象”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的核心素養(yǎng).
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動
設(shè)置意圖
引入
【復(fù)習(xí)引入】 總體集中趨勢的估計(jì)

總體離散程度的估計(jì)
【探索新知】
【例1】 某次運(yùn)動會選拔參賽隊(duì)員，甲、乙兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教練，你如何對兩位運(yùn)動員的射擊情況做出評價和選擇？
利用本章知識框架中9.2.3至9.2.4部分引入本節(jié)內(nèi)容
新課
【分析1】利用上節(jié)課學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)分析工具發(fā)現(xiàn)甲、乙兩運(yùn)動員的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù) 均為7
【分析2】作圖對比

【分析3】什么樣指標(biāo)可以反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的離散程度的大?。?br>一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法是求極差：
甲命中環(huán)數(shù)的極差=10－4＝6
乙命中環(huán)數(shù)的極差=9－5＝4
可以發(fā)現(xiàn)甲的成績波動范圍比乙大
極差是一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法，極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度．但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息，對其它數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少．
【分析4】還有什么樣的指標(biāo)可以反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的離散程度的大??？
對比觀察甲乙兩組數(shù)據(jù)和平均之間
我們知道如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠(yuǎn)；相反，如果如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠(yuǎn)；因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度。
分析散點(diǎn)圖引出“距離”、“平均距離”
根據(jù)散點(diǎn)圖依次求差、差的和、差的絕對值（即“距離”）、差的絕對值的和、差的絕對值的平均數(shù)（即“平均距離”）
知識點(diǎn)一 平均距離
假設(shè)一組數(shù)據(jù)是用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，我們用每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值作為“距離”即

作為用的“距離”，可以得到這組數(shù)據(jù)的 “總距離”和“平均距離”，我們選用哪一個來刻畫離散程度呢？
結(jié)論：“平均距離”，即
由于公式中含有的絕對值不便于公式的變形，統(tǒng)計(jì)中很少應(yīng)用，因此，我們用平方運(yùn)算來代替絕對值的運(yùn)算。平方的運(yùn)算還可以使變異量更為敏感一些，對離散程度的表達(dá)也更準(zhǔn)確。
【思考】如何求方差？
知識點(diǎn)二 方差
（1）方差定義：一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，用eq \x\t(x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為

=
又 =
=
=
=
=
=
=
知識點(diǎn)二 標(biāo)準(zhǔn)差
=
回歸【例1】的問題中，我們可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差來判斷兩名運(yùn)動員的成績的離散程度，計(jì)算可得，由于>可知，甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小，由此可以估計(jì)，乙比甲的射擊成績穩(wěn)定。
如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置，如果兩人都排在前面，就選成績穩(wěn)定的乙選手，否則可以選擇甲。
(4)特征：標(biāo)準(zhǔn)差、方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．但在解決實(shí)際問題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.
從學(xué)生熟悉的分析途徑入手，體會研究這個問題的解決方法必,使學(xué)生親自經(jīng)歷解決方法的生成過程，感受問題的解決都是自然而生水到渠成的,有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,通過探究活動形成理論.
因?yàn)閷W(xué)生初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些統(tǒng)計(jì)知識,根據(jù)先行組織者理論，引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘原有知識與新知識的關(guān)聯(lián)，為新知識的學(xué)習(xí)提供借鑒. 構(gòu)建本節(jié)課的研究藍(lán)圖.讓學(xué)生明確新知識的“生長點(diǎn)”，體現(xiàn)新知識都是在原有知識上的建構(gòu).
讓學(xué)生初步體會用平方而不用絕對值的目的就是將數(shù)據(jù)間的差距拉大
關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)問題，培養(yǎng)理性思維.

問題串的設(shè)計(jì)使得知識間的邏輯關(guān)系更清晰.注重統(tǒng)計(jì)分析過程的理性分析，突出統(tǒng)計(jì)思想方法，初步感受統(tǒng)計(jì)思維的特點(diǎn).
學(xué)生感受方差概念和計(jì)算，體會統(tǒng)計(jì)思想.強(qiáng)化易錯點(diǎn),讓學(xué)生明確一個新的研究對象，應(yīng)該抓住其的本質(zhì)特征.
例題
【例題訓(xùn)練、鞏固新知】
例2農(nóng)場種植的甲乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田
中連續(xù)6年的產(chǎn)量如下：
品種
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
第6年
甲/Kg
900
920
900
850
910
920
乙/Kg
890
960
950
850
860
890
哪種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定？
分析： 穩(wěn)定性
方差
平均數(shù)
，
，
甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．
小結(jié)：1，方差的意義
2，我們可以用樣本的離散程度估計(jì)總體的離散程度！
【方差的另一種解釋】
樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的幅度大小，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息。例如，根據(jù)9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出樣本平均數(shù)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差


如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間
=內(nèi)，在區(qū)間=
外的只有7個，也就是說，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在
內(nèi)。
【鞏固提升】
例3有一種魚的身體吸收汞，一定量身體中汞的含量超過其體重的1.00ppm（即百萬分之一）的魚被人食用后對人體產(chǎn)生危害。在30條魚的樣本中發(fā)現(xiàn)的汞含量（單位ppm）如下：
0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02 1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68 1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 0.91 1.31
（1）求出上述樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差樣本平均數(shù)：
（2）從實(shí)際情況看，許多魚的汞含量超標(biāo)的原因是這些魚在
出售之前沒有被檢測過。你認(rèn)為每批魚的平均汞含量都
比1.00ppm大嗎？
（3）在上述樣本中，有多少條魚的汞含量在以平均數(shù)為中
心、2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)？
【基礎(chǔ)概念總結(jié)】
知識點(diǎn)四：總體方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：
如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為eq \x\t(Y)，則稱為總體方差，S＝eq \r(S2)為總體標(biāo)準(zhǔn)差．
特別地：與總體均值類似，總體方差也可以寫成加權(quán)的形式。如果總體的N個變量之中，不同的值共有k（）個，不妨記為
其中出現(xiàn)的頻率為，則總體的方差為
知識點(diǎn)五：樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義：如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為eq \(y,\s\up6(－))，則稱s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \(y,\s\up6(－)))2為樣本方差，s＝eq \r(s2)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．
通過對例題的分析，方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算和應(yīng)用,進(jìn)一步體會其特征,強(qiáng)化利用其進(jìn)行分析的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力.
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引出標(biāo)準(zhǔn)差的另一種解釋
總結(jié)
五 . 課堂小結(jié)：
極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念、公式；
2、知識框架
3、 思想方法：統(tǒng)計(jì)思想、類比的方法、數(shù)形結(jié)合
回顧整理本節(jié)研究的內(nèi)容（基本知識和基本技能）、研究方法（基本思想方法）、和研究途徑（基本活動經(jīng)驗(yàn)），讓學(xué)生明確本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容和要求（四基）
作業(yè)
1數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，的方差為，數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，的方差為，a,b為常數(shù)，證明：
若
則
若，則
2，數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，若，且a,b為常數(shù)，證明：，
鞏固強(qiáng)化本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識方法.一節(jié)課時間有限,思考探究深化對本節(jié)課的理解,也為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

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9.2 用樣本估計(jì)總體

版本： 人教A版 (2019)

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