教學(xué)基本信息
課題
總體離散程度的估計（二）
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段： 高中
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書 數(shù)學(xué)必修第二冊A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年 8 月
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點、難點
本節(jié)課主要內(nèi)容是在已經(jīng)學(xué)習(xí)理解了“方差與標(biāo)準(zhǔn)差概念”的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)理解方差的性質(zhì)。學(xué)會分層隨機抽樣樣本的方差的計算.幫助學(xué)生逐步適應(yīng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號.體會利用樣本估計總體的思想.在數(shù)據(jù)的整理與計算的過程中養(yǎng)成耐心、細(xì)致、認(rèn)真的習(xí)慣，學(xué)會把知識應(yīng)用于生活.提高數(shù)據(jù)分析能力.
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動
設(shè)置意圖
知識回顧
前言：同學(xué)們好！信息化時代，人們越來越意識到數(shù)據(jù)的重要性，越來越強調(diào)依托數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)分析結(jié)果做出決策.今天我們就來繼續(xù)研究怎樣應(yīng)用方差和標(biāo)準(zhǔn)差對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理.
一、復(fù)習(xí)回顧
1.方差標(biāo)準(zhǔn)差知識回顧
（1）方差；；方差的算術(shù)平方根s就是標(biāo)準(zhǔn)差.
（2）方差、標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.
方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大.
方差、標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
（3）方差、標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍0，+∞.方差、標(biāo)準(zhǔn)差為0時，樣本各數(shù)據(jù)值全相等.
（4）方差與標(biāo)準(zhǔn)差測量樣本數(shù)據(jù)離散程度的效果是一致的，在實際應(yīng)用中一般采用標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差的單位與樣本數(shù)據(jù)單位一致.
回顧方差與標(biāo)準(zhǔn)差的公式及統(tǒng)計含義.為本節(jié)課方差與標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用做好鋪墊.
知識應(yīng)用
二、知識應(yīng)用
同學(xué)們我們一起回顧了上節(jié)課方差與標(biāo)準(zhǔn)差的基礎(chǔ)知識，本節(jié)課在理解了方差與標(biāo)準(zhǔn)差含義的基礎(chǔ)上，我們共同研究方差的性質(zhì)，以及分層隨機抽樣樣本方差的計算.在學(xué)習(xí)過程中逐步學(xué)會使用復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號.
知識應(yīng)用1：（理解方差的性質(zhì)）
某單位共有員工45人，上級部門為了對該單位員工的工作業(yè)績進(jìn)行評估，現(xiàn)抽取5名進(jìn)行考核.考核分筆試和答辯兩項，5名員工的筆試成績分別為78,85,89,92,96；結(jié)合答辯情況，他們的考核成績分別為95,88,102,106,99.這5名員工筆試成績與考核成績的方差分別為，比較的大小.
題目思考方向：若根據(jù)問題所問，可只需根據(jù)題目中所給數(shù)據(jù)使用公式計算的數(shù)值進(jìn)行比較即可.計算如下：
解：設(shè)筆試成績78,85,89,92,96分別為，考核成績95,88,102,106,99分別為
即
思考：若把問題改為試比較的大?。ㄖ灰髮懗鼋Y(jié)論）.就本題而言同學(xué)們依然會按照上面步驟進(jìn)行嗎？還是可以通過觀察本題給出的數(shù)據(jù)會有新的發(fā)現(xiàn)呢？
探索發(fā)現(xiàn)舉例：仔細(xì)比對兩組數(shù)據(jù)會發(fā)現(xiàn)，若對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行由小到大（由大到?。┡判颍瑫l(fā)現(xiàn)筆試成績與考核成績存在著關(guān)系即筆試成績由小到大排序之后每個數(shù)據(jù)加10正好是第二組數(shù)據(jù)由小到大的排序.若從小到大設(shè)第一組數(shù)據(jù)分別為，第二組數(shù)據(jù)設(shè)為；那么

依次類推：
即
探究：若數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為數(shù)據(jù)的方差 和標(biāo)準(zhǔn)差為若
成立，為常數(shù)，證明：
根據(jù)探索發(fā)現(xiàn)的思考過程，同學(xué)們試著給出證明過程
證明過程：
知識應(yīng)用2：（分層隨機抽樣樣本方差的計算）
在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，樣本的平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，樣本的平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出樣本的方差嗎？并對高一年級全體學(xué)生的身高方差作出估計嗎？
分析：把抽取的男生樣本記為樣本的平均數(shù)記為方差記為；把抽樣的女生樣本記為樣本的平均數(shù)記為方差記為；
把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為.
根據(jù)方差的定義，總樣本方差為，
已知考慮分別插入和，則
由可得
同理可得
因此
由根據(jù)按比例分配分層隨機抽樣中，總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為

把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入
可得
因此，總樣本的方差約為51.49，據(jù)此估計高一年級學(xué)生身高的總方差約為51.49.
追問：比較總樣本方差與男生組及女生組的方差，你能發(fā)現(xiàn)什么？你能解釋在估計全校學(xué)生平均身高時，按性別分層隨機抽樣的理由嗎？
師生活動：學(xué)生可以看到總樣本方差既大于男生組的方差，也大于女生組的方差.教師解釋相同樣本量的條件下，總樣本方差越小，樣本均值估計總體均值效果越好.男、女生的均值相差越大，即兩組差別越大，總樣本方差比男、女的方差均大得越多，分層隨機抽樣的效果越好.
追問：一般地，如果知道兩組數(shù)據(jù)各自的數(shù)據(jù)個數(shù)、平均數(shù)和方差，如何計算全部數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差呢？
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生由具體例子進(jìn)行一般化歸納
一般地，如果已知第一組數(shù)據(jù)的個數(shù)是m,平均數(shù)和方差分別為和，第二組數(shù)據(jù)的個數(shù)是n,平均數(shù)和方差分別為，那么，總樣本平均數(shù)

總樣本方差為
如果兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，那么總樣本均值與兩組數(shù)據(jù)的均值相同，總樣本方差計算公式中的都等于0，總樣本方差是兩組方差的加權(quán)平均，不會同時大于每組方差.
追問：三組數(shù)據(jù)匯總后的數(shù)據(jù)方差如何計算呢？ 更多組呢？
由學(xué)生課下思考得出結(jié)論.

通過具體情境考查學(xué)生對方差公式的熟練程度和學(xué)生對數(shù)據(jù)的分析能力，為下面引出性質(zhì)做鋪墊.
在數(shù)據(jù)的整理中提高學(xué)生認(rèn)真觀察、分析數(shù)據(jù)的能力.
讓學(xué)生體會由特殊到一般的思想，在探究中提高歸納總結(jié)的能力.理解方差的性質(zhì).幫助學(xué)生逐步適應(yīng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號.
引導(dǎo)學(xué)生去思考，去歸納.，鍛煉學(xué)生邏輯思維能力.
教會學(xué)生學(xué)會使用數(shù)學(xué)符號
引導(dǎo)學(xué)生明確題目的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生獨立計算多組數(shù)據(jù)匯總后的方差.
引導(dǎo)學(xué)生要計算方差依然從概念和方差公式入手.
引導(dǎo)學(xué)生從總體公式形式出發(fā)，聯(lián)系已知條件，為什么想到插入是本題難點.
引導(dǎo)學(xué)生理解復(fù)雜數(shù)學(xué)符號，注意完全平方式的使用.
逐步理解運算過程循序漸進(jìn).培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心、耐心的良好習(xí)慣.
提出問題，使學(xué)生更加深刻理解用樣本方差來估計總體方差的思想.
知識升華，體會由特殊到一般的探究過程，提升歸納總結(jié)能力.
引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會使用分層隨機抽樣樣本均值和樣本方差的計算.以及對用樣本估計總體均值和方差的思想的領(lǐng)悟.
總結(jié)
三、總結(jié)回顧、反思升華
知識內(nèi)容:
1．對方差和標(biāo)準(zhǔn)差公式的深刻理解.
2．方差的性質(zhì)
3．分層隨機抽樣樣本方差的計算.
思想方法：統(tǒng)計、轉(zhuǎn)化、化歸的思想、類比歸納的方法、
本節(jié)課除了對上節(jié)課的簡單回顧，重點理解用分層隨機抽樣各層樣本均值估計總體均值的思想.以及運用樣本估計總體的思想進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的能力.

明確本節(jié)重點內(nèi)容、以及思想方法
作業(yè)
1. 數(shù)據(jù)的方差，證明：所有的都相同.
2.某學(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生320人，女生180人.有人為了獲得該校全體高中學(xué)生的身高信息，采用比例分配的分層抽樣的方法抽取樣本量為50的樣本，并觀測樣本的指標(biāo)值(單位：cm)，計算得男生樣本的均值為173.5，方差為17，女生樣本的均值為163.83，方差為30.03.計算總樣本的均值和方差，并對這個學(xué)校高中學(xué)生身高的均值和方差進(jìn)行估計.
鞏固強化本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識方法.為后面熟練應(yīng)用做好鋪墊.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

9.2 用樣本估計總體

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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