本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第二冊》人教A版（2019）第九章《統(tǒng)計》的第二節(jié)《用樣本估計總體》。以下是本節(jié)的課時安排：
在初中已經(jīng)學習理解了“方差與標準差概念”的基礎上，學習理解方差的性質(zhì)。學會分層隨機抽樣樣本的方差的計算.幫助學生逐步適應復雜的數(shù)學符號.體會利用樣本估計總體的思想.在數(shù)據(jù)的整理與計算的過程中養(yǎng)成耐心、細致、認真的習慣，學會把知識應用于生活.提高數(shù)據(jù)分析能力.
1.掌握方差和標準差，利用方差和標準差估計總體的離散程度,培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)；
2、通過樣本標準差等數(shù)據(jù)直觀估計總體的離散程度，能夠正確計算樣本的標準差或方差，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。
1.重點：求樣本數(shù)據(jù)的方差、標準差、極差
2.難點：用樣本平均數(shù)和樣本標準差估計總體。
（一）新知導入
甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
經(jīng)過計算可知甲、乙的命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)都是7環(huán).
【問題】若從二人中選一人去和兄弟部隊參加射擊大賽，只用平均數(shù)能否作出選擇？
【提示】不能.平均數(shù)只能說明二人的平均水平相同，還要用方差來判斷誰的射擊水平更穩(wěn)定.
（二）總體離散程度的估計
知識點一 一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差和標準差
數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為＝，標準差為.
知識點二 總體方差和標準差
(1)總體方差和標準差：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體的平均數(shù)為eq \x\t(Y)，則稱S2＝為總體方差，S＝eq \r(S2)為總體標準差．
(2)總體方差的加權形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，
則總體方差為S2＝.
知識點三 樣本方差和標準差
如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為eq \x\t(y)，
則稱s2＝為樣本方差，s＝eq \r(s2)為樣本標準差．
知識點四 標準差的意義
標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?br>知識點五 分層隨機抽樣的方差
設樣本容量為n，平均數(shù)為eq \x\t(x)，其中兩層的個體數(shù)量分別為n1，n2，兩層的平均數(shù)分別為eq \(x,\s\up6(－))1，eq \(x,\s\up6(－))2，方差分別為seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，則這個樣本的方差為
s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]．
【做一做】某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
則(1)平均命中環(huán)數(shù)為________；
(2)命中環(huán)數(shù)的標準差為________.
解析：(1)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.
(2)∵s2＝eq \f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.
答案：(1)7 (2)2
【思考】如何理解方差與標準差的概念？
【提示】 (1)標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
(2)標準差、方差的取值范圍：[0，＋∞).
標準差、方差為0時，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性.
(3)因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差.
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
1.計算分層隨機抽樣的均值與方差時，必須已知各層的權重.(√)
2.若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒有波動變化，則標準差為0.(√)
3.標準差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標準差越小，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.(×)
（三）典型例題
1.方差、標準差的計算
例1.甲、乙兩機床同時加工直徑為100 cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；
(2)根據(jù)計算結果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．
解：(1)eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(7,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,乙)，所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．
【類題通法】用樣本的標準差、方差估計總體的方法
用樣本估計總體時，樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似.在實際應用中，常常把平均數(shù)與標準差結合起來進行決策.在平均值相等的情況下，比較方差或標準差以確定穩(wěn)定性.
【鞏固練習1】對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試，測得他們每次的最大速度(m/s)如下：
甲：27,38,30,37,35,31
乙：33,29,38,34,28,36
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰的成績比較穩(wěn)定．
解：eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,6)×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝eq \f(1,6)×94≈15.7，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,6)×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝eq \f(198,6)＝33，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝eq \f(1,6)×76≈12.7.
所以eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙).
這說明甲、乙兩運動員的最大速度的平均值相同，但乙的成績比甲的穩(wěn)定．
2.分層隨機抽樣的方差
例2.甲、乙兩支田徑隊的體檢結果為：甲隊體重的平均數(shù)為60 kg，方差為200，乙隊體重的平均數(shù)為70 kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為1∶4，那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是多少？
解：由題意可知eq \(x,\s\up6(－))甲＝60，甲隊隊員在所有隊員中所占權重為eq \f(1,1＋4)＝eq \f(1,5)，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝70，乙隊隊員在所有隊員中所占權重為eq \f(4,1＋4)＝eq \f(4,5)，
則甲、乙兩隊全部隊員的平均體重為eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×60＋eq \f(4,5)×70＝68(kg)，
甲、乙兩隊全部隊員的體重的方差為
s2＝eq \f(1,5)[200＋(60－68)2]＋eq \f(4,5)[300＋(70－68)2]＝296.
【類題通法】計算分層隨機抽樣的方差s2的步驟：
(1)確定eq \(x,\s\up6(－))1，eq \(x,\s\up6(－))2，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，
(2)確定eq \(x,\s\up6(－))；
(3)應用公式s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]，計算s2.
【鞏固練習2】已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1∶3∶6，2019年8月份調(diào)查得知該省所有城市房產(chǎn)均價為1.2萬元/平方米，方差為20，二、三、四線城市的房產(chǎn)均價分別為2.4萬元/平方米，1.8萬元/平方米，0.8萬元/平方米，三、四線城市房價的方差分別為10，8，則二線城市房價的方差為________.
【解析】設二線城市的房價的方差為s2，由題意可知
20＝eq \f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq \f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq \f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，
解得s2＝118.52，即二線城市房價的方差為118.52.
【答案】118.52
3.數(shù)字特征的綜合應用
例3.在一次科技知識競賽中，某學校的兩組學生的成績?nèi)缦卤恚?br>請根據(jù)你所學過的統(tǒng)計知識，判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣，并說明理由．
解：(1)甲組成績的眾數(shù)為90，乙組成績的眾數(shù)為70，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些．
(2)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq \f(1,50)×4 000＝80，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq \f(1,50)×4 000＝80.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)

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