知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
1．眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的數(shù)．
2．中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在中間位置的數(shù)(或中間兩個(gè)數(shù)的)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
3．平均數(shù)：如果有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)．
【即學(xué)即練1】 在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)绫硭荆?br>分別求出這些運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．
反思感悟 平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法
平均數(shù)一般是根據(jù)公式來(lái)計(jì)算的；計(jì)算中位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)的總數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)而定；眾數(shù)是看出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)02總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
問(wèn)題1 我們知道平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)．從下面的三幅圖中，你能發(fā)現(xiàn)平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系嗎？
提示 一般來(lái)說(shuō)，對(duì)一個(gè)單峰的頻率分布直方圖來(lái)說(shuō)，如果直方圖的形狀是對(duì)稱(chēng)的(如圖(1))，那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”(如圖(2))，那么平均數(shù)大于中位數(shù)．如果直方圖在左邊“拖尾”(如圖(3))，那么平均數(shù)小于中位數(shù)．也就是說(shuō)，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長(zhǎng)尾巴”那邊．
問(wèn)題2 什么樣的問(wèn)題可以用平均數(shù)描述？什么樣的問(wèn)題可以用中位數(shù)描述？什么樣的問(wèn)題可以用眾數(shù)描述？
提示 一般地，對(duì)數(shù)值型的數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對(duì)分類(lèi)型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等)集中趨勢(shì)的描述，可以用眾數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)03利用頻率分布直方圖估計(jì)總體的集中趨勢(shì)
【即學(xué)即練3】某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名，將其物理成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖．觀察圖中的信息，回答下列問(wèn)題：
(1)估計(jì)這次考試的物理成績(jī)的眾數(shù)m與中位數(shù)n(結(jié)果保留一位小數(shù))；
(2)估計(jì)這次考試的物理成績(jī)的及格率(60分及以上為及格)和平均分．
反思感悟 利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的方法
(1)眾數(shù)即為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以它的頻率最大，在最高的小矩形中．中位數(shù)即為從小到大中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù))．平均數(shù)約為每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形面積的乘積之和．
(2)用頻率分布直方圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)不一定是樣本中的具體數(shù)．
能力拓展
考法01眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
【典例1】某學(xué)習(xí)小組共10人，在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，則該小組數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別為( )
A．85,85,85B．87,85,86
C．87,85,85D．87,85,90
考法02總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
【典例2】某快餐店所有工作人員一周的收入如下表所示：
(1)計(jì)算所有人員的一周的平均收入；
(2)這個(gè)平均收入能反映打工人員周收入的一般水平嗎？為什么？
(3)去掉老板的收入后，再計(jì)算平均收入，這能代表打工人員周收入的一般水平嗎？
反思感悟 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義
(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來(lái)表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大．
(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大或較小時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì)．
【變式訓(xùn)練】某公司為了了解一年內(nèi)的用水情況，抽取了10天的用水量如下表所示：
(1)在這10天中，該公司用水量的平均數(shù)是多少？每天用水量的中位數(shù)是多少？
(2)你認(rèn)為應(yīng)該用平均數(shù)和中位數(shù)中的哪一個(gè)來(lái)描述該公司每天的用水量？
考法03利用頻率分布直方圖估計(jì)總體的集中趨勢(shì)
【典例3】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查．通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)．
分層提分
題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．在一次體育測(cè)試中，某班6名同學(xué)的成績(jī)(單位：分)分別為66,83,87,83,77,96.關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．眾數(shù)是83B．中位數(shù)是83
C．極差是30D．平均數(shù)是83
2．(多選)下列關(guān)于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( )
A．中位數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況
B．平均數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況
C．眾數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況
D．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不能準(zhǔn)確地反映出總體的情況
3．已知一組數(shù)據(jù)0,2，x,4,5的眾數(shù)是4，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________．
4．某班全體學(xué)生參加物理測(cè)試成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則估計(jì)該班物理測(cè)試的平均成績(jī)是________分．
題組B能力提升練
1．一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14,19,x,23,27,28,31，其中位數(shù)為22，則x等于( )
A．21B．22C．20D．23
2．某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如下：
91 89 90 92 94 87 93 96
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是( )
A．91.5和91.5B．91.5和92
C．91和91.5D．92和92
3．某書(shū)店新進(jìn)了一批書(shū)籍，下表是某月6日至11日連續(xù)6天的銷(xiāo)售情況記錄：
根據(jù)上表估計(jì)該書(shū)店該月(按30天計(jì)算)的銷(xiāo)售總量是( )
A．1147本B．1110本
C．1340本D．1278本
4．(多選)下列說(shuō)法中正確的是( )
A．?dāng)?shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)是4,6
B．?dāng)?shù)據(jù)1,2,3,4,4的眾數(shù)是4
C．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個(gè)數(shù)據(jù)
D．8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq \f(8×5＋7×3,11)
5．某鞋店試銷(xiāo)一種新款女鞋，銷(xiāo)售情況如下表：
如果你是鞋店經(jīng)理，那么下列統(tǒng)計(jì)量中對(duì)你來(lái)說(shuō)最重要的是( )
A．平均數(shù)B．眾數(shù)
C．中位數(shù)D．極差
6．某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：mm)進(jìn)行檢測(cè)，如圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)為( )
A．20B．25C．22.5D．22.75
7．某校開(kāi)展“愛(ài)我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評(píng)委給參賽作品A打出的分?jǐn)?shù)如下：88,89,89,93,92，9■,92,91,94.記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91.復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字無(wú)法看清．若記分員計(jì)算無(wú)誤，則該數(shù)應(yīng)該是________．
8．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為－1,0,4，x,6,15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．
9．高一三班有男同學(xué)27名、女同學(xué)21名，在一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)中，男同學(xué)的平均分是82分，中位數(shù)是75分，女同學(xué)的平均分是80分，中位數(shù)是80分．
(1)求這次測(cè)驗(yàn)全班的平均分(精確到0.01)；
(2)估計(jì)全班成績(jī)?cè)?0分以下(含80分)的同學(xué)至少有多少人？
(3)分析男同學(xué)的平均分與中位數(shù)相差較大的主要原因是什么？
10．隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)軟件層出不窮．現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機(jī)抽取100個(gè)商家，對(duì)它們的“平均送達(dá)時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如下．
(1)試估計(jì)該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)及平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；
(2)如果以“平均送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)作為決策依據(jù)，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會(huì)選擇哪款？
題組C培優(yōu)拔尖練
1．10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有( )
A．a(chǎn)>b>cB．b>c>a
C．c>a>bD．c>b>a
2．箱子中共有40個(gè)網(wǎng)球(質(zhì)量不完全相同)，其平均質(zhì)量為M，如果把M當(dāng)成一個(gè)網(wǎng)球的質(zhì)量，與原來(lái)的40個(gè)網(wǎng)球一起，算出這41個(gè)網(wǎng)球的平均質(zhì)量為N，那么eq \f(M,N)為( )
A.eq \f(40,41)B．1C.eq \f(41,40)D．2
3．(多選)在某次高中學(xué)科競(jìng)賽中，4000名考生的參賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A．成績(jī)?cè)赱70,80)分的考生人數(shù)最多
B．不及格的考生人數(shù)為1000
C．考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為70.5分
D．考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為75分
4．200輛汽車(chē)通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速的眾數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值分別為_(kāi)_______．
5．為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分(10分制)如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為m，眾數(shù)為n，平均數(shù)為eq \x\t(x)，則m，n，eq \x\t(x)的大小關(guān)系為_(kāi)_______．(用“

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