為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計(jì)總體的分布規(guī)律.但有時(shí)候，我們可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征.例如，對(duì)于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會(huì)更關(guān)注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；對(duì)于一個(gè)國(guó)家國(guó)民的身高情況，我們可能會(huì)更關(guān)注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等. 在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).下面我們通過具體實(shí)例進(jìn)一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢(shì)估計(jì)總體的集中趨勢(shì).
平均數(shù)：反映所有數(shù)據(jù)的平均水平的數(shù)據(jù)叫做平均數(shù).中位數(shù)：把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做中位數(shù).眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).
例4.利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).
思考1：小明用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)，但在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請(qǐng)計(jì)算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較，哪個(gè)量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？
思考2：平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？
一般來說，對(duì)一個(gè)單峰的頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對(duì)稱的，那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”，那么平均數(shù)大于中位數(shù)；如果直方圖在左邊“拖尾”，那么平均數(shù)小于中位數(shù).也就是說，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長(zhǎng)尾巴”那邊.
例5.某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級(jí)女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表所示.
如果用一個(gè)量來代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個(gè)量比較合適？試討論用表中的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理性.
解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù).可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級(jí)女生校服的規(guī)格比較合適. 由于全國(guó)各地的高一年級(jí)女生的身高存在一定的差異，所以用一個(gè)學(xué)校的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生的校服規(guī)格不合理.
眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值的信息.眾數(shù)只能告訴我們它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未告訴我們它比別的數(shù)值多的程度.因此，眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)極端值也不敏感. 一般地，對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對(duì)于分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等)集中趨勢(shì)的描述，可以用眾數(shù).
思考3：樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)，但在某些情況下我們無法獲知原始數(shù)據(jù).例如，我們?cè)趫?bào)紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖.這時(shí)該如何估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？你能以圖9.2—1中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計(jì)方法嗎？
在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的.此時(shí)，通常假設(shè)它們?cè)诮M內(nèi)均勻分布.這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù). 因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
以上我們討論了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等特征量在刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)時(shí)的各自特點(diǎn)，并研究了用樣本的特征量估計(jì)總體的特征量的方法.需要注意的是，這些特征量有時(shí)也會(huì)被利用而產(chǎn)生誤導(dǎo).例如，假設(shè)你到人力市場(chǎng)去找工作，有一個(gè)企業(yè)老板告訴你,“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬元”，該如何理解這句話？ 這句話是真實(shí)的，但它可能描述的是差異巨大的實(shí)際情況.例如，可能這個(gè)企業(yè)的工資水平普遍較高，也就是員工年收入的中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)差不多；也可能是絕大多數(shù)員工的年收入較低(如絕大多數(shù)是5萬元左右)，而少數(shù)員工的年收入很高，甚至達(dá)到100萬元，這句話是真實(shí)的，但它可能描述的是差異巨大的實(shí)際情
況.例如，可能這個(gè)企業(yè)的工資水平普遍較高，也就是員工年收入的中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)差不多；也可能是絕大多數(shù)員工的年收入較低(如絕大多數(shù)是5萬元左右)，而少數(shù)員工的年收入很高，甚至達(dá)到100萬元，在這種情況下年收入的平均數(shù)就比中位數(shù)大得多.盡管在后一種情況下，用中位數(shù)或眾數(shù)比用平均數(shù)更合理些，但這個(gè)企業(yè)的老板為了招攬員工，卻用了平均數(shù). 所以，我們要強(qiáng)調(diào)“用數(shù)據(jù)說話”，但同時(shí)又要防止被數(shù)據(jù)誤導(dǎo)，這就需要掌握更多的統(tǒng)計(jì)知識(shí)和方法.
辨析1：判斷正誤.1.一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)和中位數(shù)都不一定是原始數(shù)據(jù)中的數(shù).( ) 2.樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長(zhǎng)方形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).( ) 3.若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個(gè)數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會(huì)發(fā)生改變.( )
辨析2：七位評(píng)委為某跳水運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)如下：84,79,86,87,84,93,84，則這組分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）,85 B.84,84 C.85,84 D.85,85
辨析3：已知一組數(shù)據(jù)7.5, 8.0, 8.4, 7.8, 8.3，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為____.
例1.(1)一組樣本數(shù)據(jù)為：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為( )，14 B.12，14 C.14,15.5 D.12,15.5
方法技巧： 平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法 平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計(jì)算的；計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)各自的定義計(jì)算.【注】如果樣本平均數(shù)遠(yuǎn)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值.
變1.(1)某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該學(xué)習(xí)小組成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（ ）分、85分、85分 B.87分、85分、86分C.87分、85分、85分 D.87分、85分、90分
變1.(2)某校在一次學(xué)生演講比賽中，共有7個(gè)評(píng)委，學(xué)生最后得分為去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分的平均分.某學(xué)生所得分?jǐn)?shù)為9.6，9.4，9.6，9.7，9.7，9.5，9.6，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是____，該學(xué)生最后得分為____.
答案：9.6,9.6.
例2.某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的800名學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；(2)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；(3)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)；(4)試估計(jì)這次測(cè)驗(yàn)高二年級(jí)80分以上的學(xué)生人數(shù).
變2.某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
求：(1)高一參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)；(2)高一參賽學(xué)生的平均成績(jī).
求：(1)高一參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)；
求：(2)高一參賽學(xué)生的平均成績(jī).
1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較
2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，也就是50%分位數(shù).(3)眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).

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