本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》人教A版（2019）第九章《統(tǒng)計(jì)》的第二節(jié)《用樣本估計(jì)總體》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
本節(jié)課的主要內(nèi)容是百分位數(shù)的理解與應(yīng)用.學(xué)生通過(guò)案例的繼續(xù)探究，明確百分位數(shù)的概念，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，提高數(shù)據(jù)分析的能力.學(xué)生通過(guò)例題體會(huì)各種數(shù)據(jù)形式條件下樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的計(jì)算，從而估計(jì)總體百分位數(shù)，為后續(xù)進(jìn)一步的決策提供數(shù)據(jù)支撐.
1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
2．理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．
1.重點(diǎn)：結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)
2.難點(diǎn)：理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．
（一）新知導(dǎo)入
某省數(shù)學(xué)考試結(jié)果揭曉，根據(jù)規(guī)定，0.8%的同學(xué)需要補(bǔ)考.
問(wèn)題 那么如何確定需要補(bǔ)考的分?jǐn)?shù)線呢？
提示 利用百分位數(shù)計(jì)算.
（二）總體百分位數(shù)的估計(jì)
知識(shí)點(diǎn)一 第p百分位數(shù)的定義
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．
知識(shí)點(diǎn)二 計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．
第2步，計(jì)算i＝n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)三 四分位數(shù)
25%,50%,75%這三個(gè)分位數(shù)把一組數(shù)據(jù)由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．
【探究1】班級(jí)人數(shù)為50的班主任老師說(shuō)“90%的同學(xué)能夠考取本科院?！?，這里的“90%”是百分位數(shù)嗎？
【提示】 不是.是指能夠考取本科院校的同學(xué)占同學(xué)總數(shù)的百分比.
【探究2】“這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的第70百分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？
【提示】 有70%的同學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)小于或等于85分.
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
1.若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其75%分位數(shù)大于25%分位數(shù).(√)
2.若一組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是23，則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23.(×)
3.若一組樣本數(shù)據(jù)的24%分位數(shù)是24，則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24.(√)
【做一做】下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是( )
2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5
解析：把這組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：
2．1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，
由i＝10×25%＝2.5，不是整數(shù)，則第3個(gè)數(shù)據(jù)3.2，是第25百分位數(shù)．
答案：A
（三）典型例題
1.百分位數(shù)的計(jì)算
例1.從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的質(zhì)量(單位：g)如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的第25，50，95百分位數(shù)；
(2)請(qǐng)你找出珍珠質(zhì)量較小的前15%的珍珠質(zhì)量；
(3)若用第25，50，95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個(gè)樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級(jí)的劃分標(biāo)準(zhǔn).
解：(1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，得
7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，
則第25百分位數(shù)是eq \f(8.0＋8.3,2)＝8.15，第50百分位數(shù)是eq \f(8.5＋8.5,2)＝8.5，
第95百分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)據(jù)為9.9.
(2)因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×15%＝1.8，則第15百分位數(shù)是第2個(gè)數(shù)據(jù)為7.9.
即產(chǎn)品質(zhì)量較小的前15%的產(chǎn)品有2個(gè)，它們的質(zhì)量分別為7.8，7.9.
(3)由(1)可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15 g，第50百分位數(shù)為8.5 g，第95百分位數(shù)是9.9 g，所以質(zhì)量小于或等于8.15 g的珍珠為次品，質(zhì)量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠為合格品，質(zhì)量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠為優(yōu)等品，質(zhì)量大于9.9 g的珍珠為特優(yōu)品.
【類題通法】計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟：
(1)排列：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；
(2)算i：計(jì)算i＝n×p%；
(3)定數(shù)：若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
【鞏固練習(xí)1】某中學(xué)從高一年級(jí)中抽取了30名男生，測(cè)量其體重，數(shù)據(jù)如下(單位：千克)：
62 60 59 59 59 58 58 57 57 57
56 56 56 56 56 56 55 55 55 54
54 54 53 53 52 52 51 50 49 48
(1)求這30名男生體重的25%,75%分位數(shù)；
(2)估計(jì)本校高一男生體重的第80百分位數(shù)．
解：將上述數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得
48 49 50 51 52 52 53 53 54 54
54 55 55 55 56 56 56 56 56 56
57 57 57 58 58 59 59 59 60 62
(1)由25%×30＝7.5,75%×30＝22.5，可知它們的25%,75%分位數(shù)是第8, 23項(xiàng)數(shù)據(jù)，分別為53,57.
(2)由80%×30＝24，可知第80百分位數(shù)為第24項(xiàng)與第25項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq \f(1,2)×(58＋58)＝58.
據(jù)此可以估計(jì)本校高一男生體重的第80百分位數(shù)約為58.
2.百分位數(shù)的應(yīng)用
例2.某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
估計(jì)參賽學(xué)生的成績(jī)的25%,90%分位數(shù)．
解：由直方圖得，從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.
成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生所占比例為30%>25%，
所以25%分位數(shù)一定位于[50,60)內(nèi)．
由50＋10×eq \f(0.25－0,0.30－0)＝58.3，可以估計(jì)參賽學(xué)生的成績(jī)的25%分位數(shù)為58.3；
成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生所占比例為30%＋40%＋15%＝85%90%，
所以90%分位數(shù)一定位于[80,90)內(nèi)．
由80＋10×eq \f(0.90－0.85,0.95－0.85)＝85，可以估計(jì)參賽學(xué)生的成績(jī)的90%分位數(shù)為85.
【類題通法】由頻率分布直方圖求百分位數(shù)的方法
(1)要注意頻率分布直方圖中小矩形的面積，就是數(shù)據(jù)落在該組的頻率.
(2)一般采用方程的思想，設(shè)出第p百分位數(shù)，根據(jù)其意義列出方程并求解即可.
【鞏固練習(xí)2】某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重?cái)?shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106](單位：g)，樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．
試估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)．
解：由直方圖得，從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.10、0.20、0.30、0.25、0.15.
凈重在102 g以下的產(chǎn)品所占比例為10%＋20%＋30%＝60%70%，
所以70%分位數(shù)一定位于[102,104)內(nèi)．
由102＋2×eq \f(0.70－0.60,0.85－0.60)＝102.8，可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為102.8.
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.已知100個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3
B.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)
C.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)
D.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第74個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)
2.數(shù)據(jù)7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位數(shù)是________.
3.一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為________.
4.某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，則60分為成績(jī)的第________百分位數(shù).
答案：1.C 2.8.4 3.eq \f(100,9) 4.30
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識(shí)總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計(jì)意圖】
通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第203頁(yè) 練習(xí) 第1，2,3題

第214頁(yè) 習(xí)題9.2 第1題










9.2用樣本估計(jì)總體
課時(shí)內(nèi)容
9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)
9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)
9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
9.2.4總體離散程度的估計(jì)
所在位置
教材第192頁(yè)
教材第201頁(yè)
教材第203頁(yè)
教材第209頁(yè)
新教材內(nèi)容分析
本節(jié)課主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)畫樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖, 并利用頻率分布直方圖對(duì)總體進(jìn)行分布規(guī)律的估計(jì).
本節(jié)內(nèi)容是抽樣的基礎(chǔ)上，對(duì)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，同時(shí)，利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體情況，主要針對(duì)頻率分布表和頻率分布直方圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的學(xué)習(xí)。
本節(jié)內(nèi)容是在根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)特征來(lái)估計(jì)總體的分布情況，本節(jié)內(nèi)容主要根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)來(lái)估計(jì)總體的集中趨勢(shì)。
本節(jié)內(nèi)容是在抽樣的基礎(chǔ)上，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，本節(jié)主要估計(jì)總體的離散程度，同時(shí)，對(duì)比得出更好的估計(jì)離散程度的方法。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)總體的取值規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
通過(guò)對(duì)百分位數(shù)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)計(jì)算樣本的百分位數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
通過(guò)對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)估計(jì)總體的集中趨勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng).
通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)利用標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差估計(jì)總體的離散程度，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
教學(xué)主線
用樣本估計(jì)總體

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

9.2 用樣本估計(jì)總體

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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