教學(xué)基本信息
課題
9.2.3 總體集中趨勢的估計
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段： 高中
年級
高一
教材
書名： 普通高中教科書 數(shù)學(xué)必修第二冊A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019 年 8 月
教學(xué)目標及教學(xué)重點、難點
本節(jié)課研究了集中趨勢參數(shù)——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)
? 用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，比較可靠和穩(wěn)定，它與這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都有關(guān)系，對這組數(shù)據(jù)所包含的信息的反映最為充分，因而其應(yīng)用最為廣泛，特別是在進行統(tǒng)計推斷時有重要的作用；但平均數(shù)計算時比較煩瑣，并且容易受到極端數(shù)據(jù)的影響。
? 中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，不受極端數(shù)據(jù)的影響，并且求法簡便，是一個反映數(shù)據(jù)“集中趨勢”的位置的代表值。
? 眾數(shù)利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值得信息，但并未告訴我們它比別的值多的程度，能傳遞的數(shù)據(jù)的信息較少，對極端值也不敏感。
對數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù)。
結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．會求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)并理解它們的意義和作用．理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．通過對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的學(xué)習(xí)，強化“數(shù)學(xué)抽象”、“數(shù)學(xué)運算”的核心素養(yǎng)．
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動
設(shè)置意圖
引入
引言：為了研究總體的分布情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計總體的分布規(guī)律，但有時候，我們可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征．例如，對于某縣今年小麥的收成情況，我們可能更關(guān)注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或者平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；對于一個國家國民的身高情況，我們可能更關(guān)注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等．
數(shù)學(xué)研究的目的是解決實際問題，從實際需要的量出發(fā)，探究所要研究的數(shù)學(xué)問題，抽象出數(shù)學(xué)概念．
新課
情景引入：
引例： 假設(shè)你到人才市場去找工作，有個企業(yè)老板說“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬”，你該如何理解這句話？
分析：平均 數(shù)據(jù)的集中趨勢平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)
一、原始數(shù)據(jù)的集中趨勢
【探究1】假設(shè)通過抽樣調(diào)查，獲得100戶居民某年的月均用水量如下表（單位：t）：
9.0
13.6
14.9
5.9
4.0
7.1
6.4
5.4
19.4
2.0
2.2
8.6
13.8
5.4
10.2
4.9
6.8
14.0
2.0
10.5
2.1
5.7
5.1
16.8
6.0
11.1
1.3
11.2
7.7
4.9
2.3
10.0
16.7
12.0
12.4
7.8
5.2
13.6
2.6
22.4
3.6
7.1
8.8
25.6
3.2
18.3
5.1
2.0
3.0
12.0
22.2
10.8
5.5
2.0
24.3
9.9
3.6
5.6
4.4
7.9
5.1
24.5
6.4
7.5
4.7
20.5
5.5
15.7
2.6
5.7
5.5
6.0
16.0
2.4
9.5
3.7
17.0
3.8
4.1
2.3
5.3
7.8
8.1
4.3
13.3
6.8
1.3
7.0
4.9
1.8
7.1
28.0
10.2
13.8
17.9
10.1
5.5
4.6
3.2
21.6
計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).
（1） 平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)是，則這組數(shù)據(jù)的平均值為．
問題1：在這個問題中，平均數(shù)是多少？
答：．
（2）中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于中間位置的那個數(shù)（或中間兩數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
問題2：居民用水的中位數(shù)是多少？
答：首先將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，因為100為偶數(shù)，所以存在最中間的兩位數(shù)，第50位數(shù)是6.4，第51位數(shù)是6.8，所以中位數(shù)為．
（3） 眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
問題3：居民用水的眾數(shù)是多少？
答：根據(jù)剛才排序后的數(shù)據(jù)，很容易得到我們有兩個中位數(shù)，他們都出現(xiàn)了4次，所以眾數(shù)有兩個分別為2.0和5.5.
問題4：由此估計總體居民的月均用水量是多少？
答：由樣本的數(shù)據(jù)我們估計出全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)是8.79、中位數(shù)是6.6、眾數(shù)是2.0和5.5．
二、分組數(shù)據(jù)的集中趨勢
【探究2】將100戶居民的月均用水量分成組距相同的9組．請問，如何從頻率分布表和頻率分布直方圖中估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？
（1）平均數(shù)：
EQ \\ac(○,1)頻率分布表
分組
頻數(shù)
頻率
[1.2,4.2)
23
0.23
[4.2,7.2)
32
0.32
[7.2,10.2)
13
0.13
[10.2,13.2)
9
0.09
[13.2,16.2)
9
0.09
[16.2,19.2)
5
0.05
[19.2,22.2)
3
0.03
[22.2,25.2)
4
0.04
[25.2,28.2]
2
0.02
合計
100
1.00
問題5：加權(quán)平均數(shù)的公式是什么？它是處理什么類型的數(shù)據(jù)的平均數(shù)？
答：，其中
問題6：對比剛才的平均數(shù)公式，我們已經(jīng)沒有了原始數(shù)據(jù)，以區(qū)間[1.2, 4.2)為例，我們用什么數(shù)值表示這組數(shù)據(jù)的大小最合理？
說明：通過分析，選擇1.2估計整組數(shù)據(jù)，會使得數(shù)值偏小，選擇4.2估計整組數(shù)據(jù)，會使得數(shù)值偏大，因此使用小組數(shù)據(jù)的中點（即區(qū)間端點的平均值）會更接近于大部分數(shù)據(jù)．
追問：我們還需要求小組數(shù)據(jù)的頻數(shù)嗎？
說明：通過公式發(fā)現(xiàn)對任一個小組，頻數(shù)除以數(shù)據(jù)總個數(shù)即為頻率．在求平均數(shù)時，只需頻率乘以小組數(shù)據(jù)的中點即可．


分組數(shù)據(jù)的平均值等于每個小組的頻率與小組數(shù)據(jù)的中點的乘積，再求和．
同理可得頻率分布直方圖中求平均數(shù)的方法為
EQ \\ac(○,2)頻率分布直方圖

因此
分組數(shù)據(jù)的平均值等于每個小組的頻率與小組數(shù)據(jù)的中點的乘積，再求和．
對于頻率直方圖中數(shù)據(jù)的平均值等于每個小長方形的面積與小組數(shù)據(jù)的中點的乘積，再求和．
答：
注意：
頻率分布表中數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.94
頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)的平均數(shù)8.96
原始數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.79，相差不大．
（2）中位數(shù)
問題7：中位數(shù)是最中間數(shù)據(jù)（中間兩個數(shù)的平均值），我們沒有原始數(shù)據(jù)了，怎么定義中位數(shù)呢？聯(lián)想一下百分位數(shù)，我們是否可以根據(jù)百分位數(shù)定義中位數(shù)？
說明：
第50百分位數(shù)．
（ 一組數(shù)據(jù)中至少有50%的數(shù)據(jù)小于或等于某個值，且至少有50%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值，則這個值為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)）
EQ \\ac(○,1)頻率分布表
分組
頻數(shù)
頻率
[1.2,4.2)
23
0.23
[4.2,7.2)
32
0.32
[7.2,10.2)
13
0.13
[10.2,13.2)
9
0.09
[13.2,16.2)
9
0.09
[16.2,19.2)
5
0.05
[19.2,22.2)
3
0.03
[22.2,25.2)
4
0.04
[25.2,28.2]
2
0.02
合計
100
1.00
月均用水量在 4.2t 以下的居民用戶所占比例為 23%,
月均用水量在 7.2t 以下的居民用戶所占比例為23%+32%=55%，因此，中位數(shù)位于[4.2,7.2)內(nèi)．
所以估計月均用水量樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為 6.73．
EQ \\ac(○,2)頻率分布直方圖
注意：
頻率分布表中數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6.73
頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)的中位數(shù)6.71
原始數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6.6
眾數(shù)：
EQ \\ac(○,1)頻率分布表
分組
頻數(shù)
頻率
[1.2,4.2)
23
0.23
[4.2,7.2)
32
0.32
[7.2,10.2)
13
0.13
[10.2,13.2)
9
0.09
[13.2,16.2)
9
0.09
[16.2,19.2)
5
0.05
[19.2,22.2)
3
0.03
[22.2,25.2)
4
0.04
[25.2,28.2]
2
0.02
合計
100
1.00
問題8：眾數(shù)為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，在分組數(shù)據(jù)中我們能也定義頻數(shù)最大的那組數(shù)據(jù)中包含眾數(shù)？
說明：
分組
頻數(shù)
頻率
[1.2,4.2)
23
0.23
[4.2,7.2)
32
0.32
[7.2, 28.2]
45
0.45
合計
100
1.00
不能，因為原則上組距越寬包含的數(shù)據(jù)有可能越多，用寬組距的頻數(shù)跟窄組距的頻數(shù)比較，不能凸顯眾數(shù)的概念——即有可能出現(xiàn)的次數(shù)越大．所以為了規(guī)避組距對眾數(shù)的影響，我們求單位組距內(nèi)頻數(shù)越多，也就是單位組距內(nèi)頻率越大，這組就包含數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
追問：從字面意思看，眾即為多，也是密，與疏密程度有關(guān)的量是什么？
分析：反映了各組樣本觀測數(shù)據(jù)的疏密程度．
規(guī)定：最大組的區(qū)間的中點是眾數(shù)．
是頻率分布直方圖中各矩形的高，眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標．
答：眾數(shù)為t
注：
頻率分布表中數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5.7
頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)的眾數(shù)5.7
原始數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2.0和5.5
由樣本的分組數(shù)據(jù)我們估計出全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)是8.96、中位數(shù)是6.71、眾數(shù)是5.7．
小結(jié)：
引導(dǎo)學(xué)生思考平均代表三個統(tǒng)計量
從學(xué)生已知的知識出發(fā)，利用實際生活的實例回憶初中針對這部分知識的定義．
通過計算實際問題的集中趨勢，回憶平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計算方法．利用樣本的值估計總體數(shù)據(jù)．
在實際問題中，回憶如何應(yīng)用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法
掌握了原始數(shù)據(jù)的集中趨勢的方法后，探究分組數(shù)據(jù)的計算方法．
先以頻率分布表中平均數(shù)的計算為例，引出分組數(shù)據(jù)平均數(shù)的計算方法．
對比分組數(shù)據(jù)沒有原始數(shù)據(jù)的特點，假定數(shù)據(jù)是均勻分布，得到用小組數(shù)據(jù)的中點去估計小組內(nèi)的所有數(shù)據(jù)的結(jié)論．
同時根據(jù)分組數(shù)據(jù)已知的是頻率的特點，探究頻率、頻數(shù)和數(shù)據(jù)總個數(shù)的關(guān)系，利用小組數(shù)據(jù)的中點和頻率求平均數(shù)的方法．
分組數(shù)據(jù)的估計值與原始數(shù)據(jù)的精確值差別不大．體會估計的有效性．
為沒有了原始數(shù)據(jù)，就不存在最中間的數(shù)據(jù)，假定所有的數(shù)據(jù)都是均勻分布的，結(jié)合百分位數(shù)的定義，得出中位數(shù)就是第50百分位數(shù)．
通過理解頻率直方圖中小長方形的面積即為頻率的特點，體會通過從數(shù)據(jù)小到大對應(yīng)小長方形的面積和判斷中位數(shù)所在的長方形，再根據(jù)成比例求出具體的中位數(shù)．
分組數(shù)據(jù)的估計值與原始數(shù)據(jù)的精確值差別不大．體會估計的有效性．
有原始數(shù)據(jù)的次數(shù)最多，與頻數(shù)相結(jié)合，因為組距相等，得到頻率組多，也就是 頻率直方圖中，小長方形最高的那組數(shù)據(jù)的中間值為眾數(shù)．
引導(dǎo) 學(xué)生利用已學(xué)到的概念探究新問題
總結(jié)概念，深化集中方式的計算方法．
例題
例1：某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(單位:分,均為整數(shù))分成七段后畫出如圖所示的頻率分布直方圖.估計這次成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．
答：平均數(shù)為
=68.5
中位數(shù)：

所以中位數(shù)在區(qū)間[70,80)上．設(shè)中位數(shù)為y,則
解得y≈71.7,所以估計中位數(shù)是71.7分.
眾數(shù)為最高小長方形的橫坐標的小組數(shù)據(jù)的中點，
所以眾數(shù)為．
通過對例題的分析，鞏固分組數(shù)據(jù)中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計算方法，進一步體會每個量的特征及意義，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．
新課
三、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分析
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
7.7
8.79
6.6
2.0和5.5
77
9.483
6.6
2.0和5.5
（1）整體特征
問題9：數(shù)據(jù)的集中趨勢有三個量可以度量，它們分別有什么優(yōu)缺點？
名稱
優(yōu)點
缺點
平均數(shù)
能反映出更多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息
任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)越“極端”,對平均數(shù)的影響越大
中位數(shù)
①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)的影響;②容易得到,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息
對極端值不敏感
眾數(shù)
①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點;②容易得到； = 3 \* GB3 ③不受極端值影響．
①它只能表達樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息;②無法客觀地反映總體特征
（2）平均數(shù)、中位數(shù)
單峰
右邊“拖尾”，左邊“拖尾”
左圖：右邊“拖尾”，平均數(shù)為68.5，中位數(shù)為71.7，平均數(shù)小于中位數(shù)．
右圖：左邊“拖尾”，平均數(shù)為8.96，中位數(shù)為6.71，平均數(shù)大于中位數(shù)．
問題10：左右拖尾對平均數(shù)和中位數(shù)有什么影響？
分析：單峰，
平均數(shù)和中位數(shù)大體上差不多．
右邊“拖尾”，平均數(shù)大于中位數(shù)．
左邊“拖尾”，平均數(shù)小于中位數(shù)．
（3）集中趨勢的選擇
問題11：100戶居民的月均用水量的問題中，用分組數(shù)據(jù)估計出的值：平均數(shù)為8.96、中位數(shù)約為6.71、眾數(shù)為5.7，我們選擇哪一個數(shù)據(jù)度量集中趨勢呢？
提示：根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的特點以及需求選擇符合條件的統(tǒng)計量表示集中趨勢．比如，水利部門考慮供水量則需要用平均數(shù)，極大值要考慮到，如果只選擇眾數(shù)或者中位數(shù)就會出現(xiàn)供水量不足的情況．如果考慮大部分居民的用水情況，則只需選擇眾數(shù)或者中位即可．
通過一個極端大的數(shù)據(jù)，體會極端數(shù)據(jù)對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的影響。
通過對比探究題中的圖形和例1中的圖像得到左右拖尾對平均數(shù)和中位數(shù)的影響．培養(yǎng)學(xué)生分析問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力．
例題
例2：某學(xué)校要制定高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格．據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要的校服規(guī)格如下表所示．
校服規(guī)格
155
160
165
170
175
合計
頻數(shù)
39
64
167
90
26
386
如果用一個量代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適？
分析：校服規(guī)格是分類型數(shù)據(jù)，不能求平均數(shù)．
選擇眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適．
注：
對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；
對分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù)．
校服規(guī)格
155
160
165
170
175
合計
頻數(shù)
39
64
167
90
26
386
用上表的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格，合理嗎？
答：由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學(xué)校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理．
例3：某公司的33名職工的月工資(單位：元)如下：
職務(wù)
董事長
副董事長
董事
總經(jīng)理
經(jīng)理
管理
職員
人數(shù)
1
1
2
1
5
3
20
工資
30000
20000
3500
3000
2500
2000
1500
計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)．試問哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？（精確到1元）
答：平均數(shù)為
中位數(shù)為1500．
眾數(shù)為1500．
哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？
分析：在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映公司員工的工資水平．
回到引例
引例： 假設(shè)你到人才市場去找工作，有個企業(yè)老板說“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬”，你該如何理解這句話？
分析：單純從一個平均收入20萬元，不能判斷這家公司的工資是高還是低，還需要借助工資的分布情況等其他信息進一步判斷．
通過實際問題，體會在度量數(shù)據(jù)的集中趨勢時，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的不同作用．
總結(jié)
對本節(jié)課內(nèi)容做一個回顧，形成整體的認識．并回顧探究新問題的學(xué)習(xí)方法---類比法．
作業(yè)
1.已知某市2015年全年空氣質(zhì)量等級如下表所示．
空氣質(zhì)量等級（空氣質(zhì)量指數(shù)AQI）
頻數(shù)
頻率
優(yōu)（AQI≤50）
83
22.8%
良（50

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

9.2 用樣本估計總體

版本： 人教A版 (2019)

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